Amaliy matematika va informatika” yo’nalishi 18. 07-guruh talabasi Normatov Omadbek Rahmonjon o’g’lining

Misol. To`g’ri turtburchaklar formulalari (5.2) va (5.3) yordamida integralning taqribiy qiymatlari topilsin.
Yechish: Bu yerda


(5.2) dan
(5.3) dan
Ma’lumki, Bulardan kurinadiki, aniq yyechim chap va o’ng formulalar orqali topilgan yechimlar orasida yotadi. Topilgan yechimlar 0,718 va 0,668 ning o’rta arifmetigini olsak, bu 0,693 ga teng bo`ladi, bu esa aniq yyechim bilan ustma-ust tushadi. Bu xulosalarni nazarga olgan xolda (5.2) va (5.3) formulalar xad-larini mos ravishda kushib o’rta arifmetigini olsak, quyidagi ifoda hosil bo`ladi:
(5.4)
(5.4) formula trapetsiyalar formulasi deb ataladi. Bu formula yordamida topilgan
integralning taqribii qiymatining aniqligini oshirish uchun bulinish nuqtalari soni n» ni ikki, uch va x.k. marta oshirish kerak bo`ladi. Albatta bunda ham hisoblash xajmi bir necha marotaba oshadi.

II BOB. TO`G’RI TO`RTBURCHAK VA TRAPETSIYA USULLARI. ANIQ INTEGRALLARNI TAQRIBIY HISOBLASHDA SIMPSON (PARABOLA) USULI

2.1. Masalaning qo`yilishi

Kundalik xayotimizda uchraydigan ko`p muxandislik masalalarini yechishda aniq integrallarni hisoblashga to`g’ri keladi. Faraz qilaylik, hisoblash talab etilsin. Bu yerda f(x) - [a; b] kesmada berilgan uzluksiz funksiya. Bu integralni hisoblashda quyidagi formula (N’yuton—Leybnits formulasi) qo`llaniladi:

bu yerda F(x) – boshlangich funksiya. Agar boshlangich funksiya F(x) ni elementar
funksiyalar orqali ifodalab bo`lmasa yoki integral ostidagi funksiya f(x) jadval ko`rinishida berilsa, u xolda (5.1) formuladan foydalanish mumkin emas. Bu xolda aniq integralni taqribiy formulalar orqali hisoblashga to`g’ri keladi. Bunday formulalarga kvadratur formulalar deyiladi.

2.2. Usullarning ishchi algoritmlari, ularning xatoliklari. Miqdorini baholash va uni susaytirish yo`llari

Faraz qilaylik, integralning aniq qiymati I bo`lsin. U xolda
I = Im + R (5.12)
bu yyerda Im – trapetsiyalar formulasi yoki Simpson formulasi yordamida integralni hisoblaganda chiqqan natija; R – shu formulalarni qo`llaganda yo`l qo`yilga xatolik. Agar integral ostidagi f(x) funksiya analitik (formula) ko`rinishda bo`lsa, integrallarni taqribiy hisoblash xatoligini ifodalovchi formulalarni matematik analiz usullari bilan keltirib chiqarish mumkin. Agar integral ostidagi funksiya jadval yoki grafik ko`rinishda bo`lsa, bunday formulalarni keltirib chiqarishning iloji bo`lmaydi. Shuning uchun bu xolda boshqa usullar qo`llashga to`g’ri keladi. Shulardan ba`zi birlarini ko’rib chiqamiz.
O’quvchiga ortiqcha qiyinchiliklar tug’dirmaslik hamda qisqalik uchun formulalarni keltirib chiqarishni (isbotlashni) lozim ko’rmadik. Yuqorida aytilganidek, bular xammasi matematik analiz usullari yordamida isbotlanadi.
Faraz qilaylik, integralni n=2m ta va n=4m ta bo’lakchalarga bo`lib,
Simpson formulasini qo`llab olingan natijalar va bo`lsin. ning qiymatini bilan solishtirib Simpson formulasining aniqligi xaqida muloxaza yuritish mumkin. Bunda ning xatoligi quyidagi sondan katta bo`lmaydi:
(5.13)
[a,b] kesmada . (5.12) dan . Bu xolda xatoliklar quyidagicha baxolanadi:

Trapetsiyalar formulasi uchun

(5.14)
Simpson formulasi uchun
(5.15)