«amaliy matematika va informatika» kafedrasi

1.2 O`zgaruvchilari ajraladigan va bir jinsli differensial tenglamalar.

Birinchi tartibli ikkala qismini oddiy integrallash yo`li bilan yechiladigan sodda tenglama
(3)
ko`rinishga ega. Natijada, va agar funksiyaning bosh-lang`ich funksiyalaridan biri bo`lsa, umumiy yechim ko`rinishda yoziladi.(3) tenglamaning muhim umumlashmasi bo`lmish o`zgaruvchilari aj-raladigan differensial tenglama:
(4)
shaklda yozilishi mumkin.
Noma`lum funksiya ning qaralayotgan o`zgarish sohasida shart bajariladi deb, (4) tenglamani o`zgaruvchilari ajralgan.

shaklda yozamiz va ikkala qjsmini integrallab,

tenglikni olamiz. funksiya funksiyaning, esa ning boshlang`ich funksiyalaridan biri bo`lsa, (4) tenglamaning umumiy integrali:

ko`rinishdan iborat.
Masala. tenglamaning barcha yechimlarini topish talab qi-lingan bo`lsin. shart o`rinli deb, tenglama o`zgaruvchilarini ajratamiz.
yoki
Tenglamani integrallab, yoki
ko`rinishda umumiy yechimni olamiz. Ushbu yechimga tenglamani yechish jarayonida yo`qotilgan yechimni ham qo`shish lozim. Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglama deb,
(5)
ko`rinishdagi tenglamaga aytiladi.
(5) tenglamani yechish uchun noma`lum funksiyadan funksiyaga o`tamiz. Unda,
tengliklar o`rinli bo`lib, (5) tenglama:
yoki
ko`rinishga keltiriladi. Oxirgi tenglama o`zgaruvchilari ajralgan differensial tenglamadir va ma`lum usulda yechiladi. Natijada,

funksiya topilgandan so`ng, funksiyaga qaytiladi.
Masala.

tenglamani yeching. Ushbu tenglama bir jinsli tenglama, chunki

bu yerda,
Noma`lum u funksiyaga nisbatan o`zgaruvchilari ajralgan:
yoki
tenglama hosil bo`ladi. Tenglamani integrallasak,
tenglikni va so`ngra, yoki yechimlarni va oxirida funksiyaga qaytib, oshkormas shaklda:

umumiy integralni quramiz.
1. Differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.

yechish:
Tenglamani yechish uchun uning har ikki tomonini ifodaga bo’lib yuboramiz va o’zgaruvchilarini ajratamiz.
tenglikni ikkala tomonini integrallaymiz.
ning ixtiyoriyligidan foydalansak ga almashtirsak , u holda umumiy yechim quyidagicha bo’ladi.

1-Ta’rif. funksiya va o’zgaruvchilarga nisbatan -o’lchovli bir jinsli funksiya deb ataladi, agarda ixtiyoriy  uchun f(x, y)q ⁿf(x,y) ayniyat o’rinli bo’lsa.