«amaliy matematika va informatika» kafedrasi

a_i koeffitsiyentlarni aniqlash uchun (6.3) tenglamalar sistemasi tuziladi:
(2.18)
Ma’lumki, agar i  j lar uchun x_i  x_j shart oʻrinli boʻlsa, tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega boʻladi. (2.17) tenglamalar sistemasini yechish uchun oldin bayon qilingan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish usullaridan foydalanish mumkin. (2.17) sistemani toʻg‘ridan toʻg‘ri yechib, F(х) funksiyani (2.17) koʻrinishida olgan ma’qul, bunda bir nechta hisoblashlar bitta jadval boʻyicha bajariladi. y = f(x_T) ni bir martalik hisoblash uchun ā vektor parametrlarini topish shart boʻlmagan boshqa algoritmlar tavsiya etiladi, interpolyatsion koʻphadlar esa {x_i, y_i}, jadval qiymatlari orqali yoziladi. Bular Lagranj va Nyuton interpolyatsion koʻphadlaridir.

a). Ixtiyoriy interpolyatsion tugunlar sistemasi uchun Lagranj formulasi. Lagranj koʻphadi interpolyatsiya tugunlarida f(х) funksiyaning qiymatlaridan tuzilgan chiziqli kombinatsiya koʻrinishida izlanadi va interpolyatsiya tugunlari sistemasidan maxsus qurilgan qandaydir n– darajali koʻphaddan iborat boʻladi:

. (2..19)
Demak, oldiniga (n+1)– darajali yordamchi koʻphad tuziladi:
(2.20)
va n– darajali koʻphad quyidagicha hosil qilinadi:
. (2.21)
Koʻrinib turibdiki, (2.21) koʻphad x_i interpolyatsiya tugunlarida nolga aylanadi, ya’ni (x_i) = 0, i = , (2.21) koʻphad _i(x) esa x_i tugunlardan tashqari barcha tugunlarda nolga aylanadi, ya’ni:
(2.22)
(2.21) va (2.22) tengliklardan yangi begona (chet) koʻphad kelib chiqadi:
(2.23)
U j– tugundan boshqa barcha tugunlarda nol qiymatni qabul qiladi, x_j tugunda esa uning qiymati 1 ga teng boʻladi, ya’ni
. (2.24)
U holda (2.24) munosabatga koʻra, j– koʻphad l_j(x_i)y_j barcha tugunlarda (x_j dan tashqari) nol qiymatni qabul qiladi va x_j tugunda y_j ga teng boʻladi:
(2.25)
(2.25) ga koʻra quyidagi koʻphadni tuzamiz:
,
bunda .
Yoki yana-da qisqa koʻrinishda quyidagicha boʻladi:
; (2.26)
(2.26) munosabatning nazariy xatoligini aniqlash mumkin:
, bunda [a, b].
(2.26) koʻphaddan farqli ravishda bu yerda barcha koeffitsiyentlarni oldindan aniqlash talab qilinmaydi. Biroq har bir x_Т uchun (2.26) texnologiya asosida Lagranj koʻphadini hisoblash kerak. Shuning uchun ham hisoblash hajmi (2.26) hisoblash texnologiyasiga nisbatan farq qilmaydi.
Amaliyotda agar turli x_Т lar uchun koʻp sonli takroriy hisoblashlar talab qilinsa, u holda (2.26) sxemadan foydalangan ma’qul. Lagranj koʻphadi boshqa sonli usullarni amalga oshirishda ham keng qoʻllaniladi. Shuni alohida ta’kidlash kerakki, n = 1 boʻlganda bu chiziqli, n = 2 boʻlganda parabolik interpolyatsiya hisoblanadi.
b). Teng uzoqlashgan interpolyatsion tugunlar sistemasi uchun Lagranj formulasi. Interpolyatsion tugunlar orasidagi masofa h = x_i+1 – x_i = const oʻzgarmas boʻlsin. U holda ixtiyoriy tugunni quyidagicha yozish mumkin:
x_i = x₀+ih, .
Yangi oʻzgaruvchi kiritamiz: . U holda
x – x_i = x₀ + th – x₀ – ih = (t – i)h . (2.27)
(2.26) ayirmani (2.27) tenglikka qoʻyib, quyidagini hosil qilamiz:

Soʻngra, x_j – x_i = (x₀ + jh) – (x₀ + ih) = (j – i)h ekanligidan, (2.27) dan foydalanib, Lagranj formulasini hosil qilamiz:
, (2.28)
bunda .
(2.28)ning nazariy xatoligini aniqlash mumkin: .
Misol. Jadval bilan berilgan y=f(x) funksiya qiymatini x=0,4 boʻlgan hol uchun Lagranj interpolyatsion formulasidan foydalanib hisoblang:

i	0	1	2	3
xi	0	0,1	0,3	0,5
yi	–0,5	0	0,2	1

Yechish: (2.23) ga asosan ishchi formulani yozib olamiz:

;
Bizning holda n = 3 gacha, shu sababli:




x = 0,4 boʻlganda y  L(x) = 0,3999.
Berilgan jadval asosida n=1 va x_T = 0,4 boʻlgan hol uchun Lagranj koʻphadini tuzamiz:


Bu esa chiziqli interpolyatsion formula bilan ustma-ust tushadi. Berilgan jadval asosida n=2 va x_T = 0,4 boʻlgan hol uchun Lagranj koʻphadini tuzamiz:
y  L(x) =
Qaralayotgan [x₁, x₃] intervalda
x₀ = 0,1; x₁ = 0,3; x₂ = 0,5;
y₀ = 0; y₁ = 0,2; y₂ = 1
qiymatlarni olamiz. U holda 2–tartibli Lagranj interpolyatsion koʻphadi hosil boʻladi:

Bu tenglik kvadratik interpolyatsiya formulasi bilan bir xil.