«amaliy matematika va informatika» kafedrasi

Kurs ishining maqsadi: Interpolyatsiya masalasining qo’yilishini o’rganish, Lagranj interpolyatsion formulasini o’rganish, Nyuton interpolyatsion formulasi xatoligini baxolash va olingan bilimlarni mustahkamlab amaliyotda qo’llay bilish.
Kurs ishining dolzarbligi: Kurs ishining dolzarbligi shundaki bu kurs ishi Interpolyatsiya masalasining qoyilishini o’rganib uni zamonaviy EHM dasturlar yordamida hisoblash imkoniyatini beradi.

I BOB. FUNKSIYALARNI INTERPOLYATSIYALASH

1.1. Chekli ayirmalar va ularning xossalari

Masalaning qo’yilishi
Aksariyat hisoblash usullari masalaning qo`yilishida qatnashadigan funksiyalarni unga biror muayyan ma`noda yaqin va tuzilishi soddaroq bo`lgan funktsiyalarga almashtirish goyasiga asoslangan. Bu bobda funktsiyalarni yaqinlashtirish masalasining eng sodda va juda keng qo`llaniladigan qismi funktsiyalarni interpolyatsiyalash masalasi kurib chiqiladi.
Interpolyatsiya masalasining moxiyati quyidagidan iborat. Faraz qilaylik u=f(x}funksiya jadval ko`rinishida berilgan bo`lsin:

Odatda interpolyatsiyalash masalasi quyidagicha ko`rinishda qo`yiladi: Shunday n-tartiblidan oshmagan R(x)= ko`pxad topish kerakki, berilgan nuqtalarda f(x) bilan bir xil qiymatlarni qabul qilsin, ya`ni = .Bu masalaning geometric ma`nosi quyidagidan iborat: darajasi p dan ortmaydigan shunday
(1.1)
ko`pxad ko’rilsinki, uning grafigi berilgan nuqtalardan o’tsin. Bu yerdagi nuqtalar interpolyatsiya tugun nuqtalari yoki tugunlar deyiladi. R(x) esa interpolyatsiyalovchi funksiya deyiladi.
Amalda topilgan R(x) interpolyatsion formula f(x) funktsiyaning berilgan x
argumentning (interpolyatsiya tugunlaridan farqli) qiymatlarini hisoblash uchun
qo`llaniladi. Ushbu operatsiya funktsiyani interpolyatsiyalash deyiladi. (Agar x (a,b) bo`lsa interpolyatsiyalash x(a,b) bo`lsa, ekstrapolyatsiyalash deyiladi).
Faraz qilaylik argumentning o`zaro teng o`zoklikda joylashgan (h-jadval qadami) qiymatlarida f(x) funktsiyaning mos ravishdagi qiymatlari berilgan bo`lsin.
Birinchi tartibli chekli ayirmalar deb
(1.2)
ifodaga ikkinchi tartibli chekli ayirmalar deb


(1.3)
ifodaga va xokazo n-tartibli chekli ayirmalar deb


(1.4)
ifodaga aytiladi. Chekli ayirmalarni quyidagi 1.1- jadval ko`rinishida kam olish
mumkin.
1.1-jadval

						…
…

(1.2) dan quyidagiga egamiz
(1.5)
Bu yerdan ketma-ket quyidagilarni keltirib chiqaramiz:


… … … …

Nyuton binomi formulasidan foydalanib, quyidagiga ega bo`lamiz:

Bundan esa:

yoki
(1.6)
Masalan, (1.6) dan


Chekli ayirmalar quyidagi xossalarga ega.
1.Funktsiyalar yig’indisining (ayirmasining) chekli ayirmasi funktsiyalarning chekli anirmalari yig’indisiga (ayirmasiga) teng:

2. Funktsiya o`zgarmas songa ko`paytirilsa, uning chekli ayirmasi o’sha songa ko`payadi:

3. n-tartibli chekli ayirmaning p-tartibli chekli ayirmasi (p+t)- tartibli chekli ayirmaga teng:

4. n-tartibli ko`paddning p-tartibli chekli ayirmasi o`zgarmas songa, n+1-tartibli chekli ayirmasi esa nolga teng.

1.2. Nyutonning 1-interpolyatsion formulasi

Faraz qilaylik y=f(x) funktsiya uchun =f(x) qiymatlar berilgan va interpolyatsiya tugunlari teng o`zoklikda joylashgan bo`lsin, ya`ni (I=0,1,2,…,h) (h – interpolyatsiya qadami). Argumentning mos qiymatlarida darajasi h dan oshmaydigan mos qiymatlar oladigan ko`pxad tuzish lozim bo`lsin va bu ko`pxad quyidagi ko`rinishga ega bo`lsin:
(1.7)
Bu n-tartibli ko`pxad. Interpolyatsiya masalasidagi shartga ko`ra R(x) ko`pxad , ,… interpolyatsiya tugunlarida , , ,... qiymatlarni qabul kiladi. = deb tasavvur etsak, (1.7) formuladan y0 = = , ya`ni = . So`ngra x ga va larning qiymatlarini berib, ketma-ket quyidagiga ega bo`lamiz:
, bundan
,
ya’ni
yoki , bundan
Bu jarayonni davom ettirib, uchun quyidagi ifodani hosil qilamiz:

Topilgan koeffitsientlarning qiymatlarini (1.7) formulaga qo’ysak,
(1.8)
ko`rinishga ega bo`lamiz. Bu formulada , ya`ni x= +hq belgilash kiritilsa, u xolda

, va x.k
Natijada Nyutonning 1- interpolyatsion formulasiga ega bo`lamiz:
(1.9)
Nyutonning 1-interpolyatsion formulasini [a, b] ning boshlangich nuqtalarida qo`llash qulay.
Agar p=1 bo`lsa, u xolda ko`rinishdagi chiziqli interpolyatsion formulaga, p=2 bo`lganda esa

ko`rinishdagi parabolik interpolyatsion formulaga ega bo`lamiz.
Nyutonning 1-formulasini oldinga qarab interpolyatsiyalash formulasi ham deyiladi.
(1.9) formulaning qoldik hadi
(1.10)
bu yerda
Funktsiyaning analitik ko`rinishi har doim ham ma`lum bo’lavermaydi. Bundai xollarda chekli ayirmalar tuzilib,

deb olinadi. U xolda Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasi uchun xatolik
(1.11)
formula orqali topiladi.

1.3. Nyutonning 2-interpolyatsion formulasi

Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasi jadvalning boshida va ikkinchi formulasi esa jadvalning oxirida interpolyatsiyalash uchun mo’ljallangan. Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasini keltirib chiqaramiz.
Faraz qilaylik y=f(x) funktsiyaning n+1 ta qiymati ma`lum bo`lsin; ya`ni argumentning n=1 ta qiymatlarida funktsiyaning qiymatlar bo`lsin. Tugunlar orasidagi masofa h o`zgarmas bo`lsin. Quyidagi ko`rinishdagi interpolyatsion ko`pxadni ko`ramiz:
(1.12)
Bunda qatnashayotgan noma`lum koeffitsientlarni topishni bo`lgan xoldan boshlash kerak. So`ngra argumentga … qiymatlar berib, qolgan koeffitsientlar animanadi.
Yuqorida qurilgan muloxazalarni (1.12) formula uchun ham qo`llasak, u xolda noma`lum koeffitsientlar larni topish uchun quyidagilarni hosil qilamiz:
, , , ….,
Topilgan koeffitsientlarning qiymatlarini (4.12) formulaga qo’ysak,
(1.13)
ko`rinishdagi Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasi kelib chiqadi. Bu formulada belgilash kiritsak,
(1.14)
hosil bo`ladi. Ba`zan bu formulani orkaga qarab interpolyatsiyalash formulasi ham deyiladi. (1.14) formuladan [a,b] kesmaning oxirgi nuqtalarida foydalanish qulayroqdir.
Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasining qoldik xadini baxolash formulasi quyidagicha bo`ladi:

bu yerda ,
Agar funksiyaning analitik ko`rinishi ma`lum bo`lmasa, u xolda chekli ayirmalar tuzilib,

deb olinadi. Shuning uchun Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasi uchun xatolik formulasi

bo’ladi.

II BOB. INTERPOLYATSIYA MASALASINI QO’YILISHI

2.1 Algebraik interpoiyatsiyalash masalasining qo‘yilishi

Aksariyat hisoblash usullari masalaning qo'yilishida qatnashadigan funksiyalarni unga biror muayyan ma’noda yaqin va tuzilishi soddaroq bo'lgan funksiyalarga almashtirish g'oyasiga asoslangan.
Interpolyatsiya masalasining mohiyati quyidagidan iborat. Faraz qilaylik y=f(x) funksiya jadval ko'rinishida berilgan bo'lsin:

Odatda interpolyatsiyalash masalasi quyidagicha ko‘rinishda qo‘yiladi: Shunday n- tartiblidan oshmagan ko'phad topish kerakki, berilgan x_i=(i=0,1, .... n) nuqtalarda bilan bir xil qiy- matlarni qabul qilsin, ya’ni .
Bu masalaning geometrik ma’nosi quyidagidan iborat: darajasi n dan ortmaydigan shunday
у=Р_n(х)=a₀xⁿ+ a₁x^n-1 ...+ а_n
ko’phad qurilsinki, uning grafigi berilgan (i=0,1,… n) nuqtalardan o'tsín (1- rasm). Bu yerdagi x_i (i=0,1,2,.. n) nuqtalar interpolyatsiya tugun nuqtalari yoki tugunIar deyiladi. R(x) esa interpolyatsiyaIоvchi funksiya deyiladi.

1-rasm. grafigi asosida ko’phad qurish

2.2 Interpolyatsiyalash xatoligi

Amalda topilgan R(x) interpolyatsion formula f(x) funksiyaning berilgan x argumentning (interpolyatsiya tugunlaridan farqli) qiymatlarini hisoblash uchun qo'llaniladi. Ushbu operatsiya funksiyani interpolyatsiyalash deyiladi. Agar xϵ (a, b) bo'lsa interpolyatsiyalash x ϵ[a, b] bo`lsa, ekstrapolyatsiyalash deyiladi). Biz f(x) funksiyani interpolyatsion L_n(x) ko‘phadga almashtirganimizda

xatolikka yo‘l qo‘yamiz. Bu interpolyatsiyalash xatoligi deyiladi. Tugun nuqtalarda xatolik nolga teng. ga tegishli ixtiyoriy x nuqtadagi ifodasini topamiz va baholaymiz. Buning uchun quyidagi funksiyani qaraymiz:
(2.1)
bu yerda zϵ[a,b],K- o‘zgarmas va
(2.2)
(1)dagi o ‘zgarmas K ni λ(x) = 0 shartdan topamiz:
(2.3)
f(z) funksiya da n + 1 marta uzluksiz differensiallanuvchi bo`lsin deymiz. λ (z) funksiya da n + 2 ta nuqtada nolga teng,ular . Roll teoremasiga asosan, ga tegishli n + 1 ta, λ”(z) n ta nolga ega bo`ladi va hokazo. da kamida bitta nolga ega bo'ladi, ya'ni (1) dan n + 1 marta hosila olib, z = , desak, quyidagiga ega b o ‘lamiz:
(2.4)
(2.3) va (2.4) dan
(2.5)
kelib chiqadi. Bundan
(2.6)
bunga ega bo`lamiz, bu yerda

Bizga da aniqlangan funksiyaning ga tegishli turli nuqtalarda qiymatlari ma’lum bo‘lsin.
Quyidagicha aniqlangan
(2.7)
miqdorlar birinchi tartibli ayirmalar nisbati deyiladi, ular yordamida aniqlangan
(2.8)
miqdorlar ikkinchi tartibli ayirmalar nisbati deyiladi.
Yuqori tartibli ayirmalar nisbati ham shunday aniqlanadi, masalan, k-tartibli f(x_i,x_i+1,…,x_i+k) va f(x_i+1,x_i+2,…,x_i+k+1) ayirmalar nisbati m a’lum bo ‘lsa, (k + 1) -tartibli ayirmalar nisbati
(2.9)
aniqlanadi, i = 0 ,1 ,...,n-k-1
Ayirmalar nisbati quyidagi xossalarga ega.
1- xossa. Algebraik yig'indidan olingan ayirmalar nisbati qo‘shiluvchilardan olingan ayirmalar nisbatlarining yig‘indisiga teng.
2- xossa. O ‘zgarmasni ayirmalar nisbati belgisidan tashqariga chiqarish mumkin.
3- xossa. Ayirmalar nisbati o ‘z argumentlariga nisbatan simmetrik funksiyadir.
4- xossa. m-darajali algebraik ko ‘phaddan olingan k-tartibli ayirmalar nisbati, agar k>m b o ‘lsa nolga, k = m da o'zgarmasga va k< m b o ‘lsa argumentlariga nisbatan
(m - k )-darajali simmetrik birjinsli ko‘phadga teng.

2.3. Interpolyatsion kvadratur formulalar

Aniq integralni hisoblashda qo‘llaniladigan
(2.10)
taqribiy tenglik kvadratur formula deb ataladi. Bu yerda bo‘lib, uni odatda vazn funksiya, va (k = 0,1,...,n) lar mos ravishda kvadratur formulaning tugun nuqtalari hamda koeffitsiyentlari deyiladi.
(2.11)
kvadratur formulaning qoldiq hadi deyiladi.
Ta’rif. Agar (1) kvadratur formula m-darajali ixtiyoriy algebraik ko‘phadlar uchim aniq bo‘lib, uchun aniq bo‘lmasa, u holda uning algebraik aniqlik darajasi m ga teng deyiladi.
Biz quyida algebraik aniqlik darajasiga ega bo‘lgan kvadratur formulalar bilan tanishamiz.
Faraz qilaylik, [ a , b] oraliqda o ‘zi va n+1 tartibgacha hosilalari uzluksiz bo‘lgan f(x) funksiyadan vazn funksiya bilan olingan integralni taqribiy hisoblash lozim bo‘lsin. Buning uchun [a ,b] ga tegishli va turii bo'lgan tugun nuqtalar olib f(x) funksiyaning n-tartibli Lagranj interpolyatsion ko‘phadini
tuzamiz, ya’ni
(2.12)
bu yerda - Lagranj interpolyatsion ko‘phadining qoldiq hadi. (3) tenglikning ikki tomonini p(x) vazn funksiyaga ko‘paytirib, [a ,b ] oraliq bo‘yicha integrallasak,

ni hosil qilamiz. Agar interpolyatsiyalash yetarlicha yaxshi o ‘tkazilgan bo'lsa, uchun kichik miqdordir, undan olingan integralning qiymatini ham kichkina deb, tashlab yuborsak
(2.13)
kvadratur formulaga ega bo’lamiz. Bunda

Yuqorida ko'rsatilgan tartibda hosil qilingan (2.10) formula, odatda, interpolyatsion kvadratur formida deyiladi va uning algebraik aniqlik darajasi nga teng. Uning qoldiq hadi

ko'rinishga ega. Bunda .Eng sodda kvadratur formulalar bilan tanishamiz. Bu yerda


o‘rta to‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasi.
Uning qoldiq hadi

ni topish uchun f(x) ni [a,b] da ikkinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega deb faraz qilamiz. U holda Teylor formulasiga ko‘ra:

bu yerda . Bu tenglikning har ikkala tomonini a dan b gacha integrallasak,
(2.14)
kelib chiqadi, chunki .
Integral ostidagi funksiya o‘z ishorasini saqlaydi, shuning uchun (2.14) integralga umumlashgan o ‘rta qiymat haqidagi teoremani qo’llash mumkin:
(2.15)
bunda uuzluksiz bo’lganligi uchun Koshi teoremasiga ko’ra shunday mavjudki,
.
Endi (2.15)
(2.16)
ko’rinishga ega bo’ladi.
Qoldiq had bahosi:


trapetsiya formulasi.

[a,b] oraliqda bo‘lganligi uchun o‘rta qiymat haqidagi umumlashgan teoremani qo‘llasak,
(2.14)
bo’ladi, bunda .
Qoldi had bahosi:



-Simpson kvadratur formulasi. Uning qoldiq hadini keltiramiz:
.
Qoldiq had bahosi:
.
4. Umumlashgan kvadratur formulalar. Taqribiy integrallash formulasining xatoligini kamaytirish maqsadida amaliyotda umumlashgan kvadratur formulalardan foydalaniladi. Buning uchun oraliqni uzunlikda teng N bo’lakka bo’lamiz. Har bir qismiy oraliq uchun o‘rta to‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasini qo’llab, ularni k=0,1,…,N-1 lar bo‘yicha yig‘ib chiqsak, umumlashgan o‘rta to‘g ‘ri to‘rtburchaklar formulasi kelib chiqadi:
(2.15)
Buning qoldiq hadi ni esa har bir qismiy oraliq uchun o‘rta to‘g‘ri to‘rtburchak formulasining qoldiq hadlari yig‘indisiga teng bo’ladi:
(2.16)
bu yerda .
Ikkinchi tartibli hosilaning uzluksizligidan, Koshi teoremasiga binoan shunday mavjudki,
=
bo'ladi. Demak, (2.16) quyidagicha bo‘ladi:

Qoldiq hadi bahosi:

Agar har bir qismiy oraliq uchun trapetsiya formulasini (|qo‘llasak, umumlashgan trapetsiyalar formulasiga ega bo‘lamiz:
.
Uning qoldiq hadi
,
Qoldiq hadning bahosi esa

Ko’rinishga ega.
Endi [a,b] oraliqni teng 2A bo‘lakka bo ‘lamiz va har bir k = 1,2,..., N qismiy oraliqqa Simpson formulasini qo‘llasak,

hosil bo‘ladi. Bu formulaning qoldiq hadi
,
Uning bahosi
ko’rinishga ega.

2.4 Lagranj interpolyatsion ko‘phadi.

Umumiy koʻrinishdagi interpolyatsiyada interpolyatsion koʻphad x_T ning aniqlanish sohasida barcha intervallar uchun (6.2) koʻrinishda izlanadi, ya’ni [x₀, x_n] uchun:
. (2.17)