|
II BOB. EYLER USULINING HISOBLASH FORMULALARI 2.1Koshi masalasini yechishning sonli usullarining yaqinlashuvi.
Koshi muammosining yechimi bo'lsin. Qo'ng'iroq qilaylik xato raqamli usul, tarmoq tugunlarida berilgan funktsiya. Mutlaq xato sifatida biz qiymatni olamiz.
Koshi masalasini echishning raqamli usuli deyiladi yaqinlashish, agar uning uchun. Agar xato uchun taxmin qilingan bo'lsa, usul aniqlik darajasiga ega deyiladi – doimiy, .
Eyler usuli
Koshi masalasini yechishning eng oddiy usuli Eyler usulidir. Keling, Koshi muammosini hal qilaylik
segmentida. Keling, qadamlarni tanlaymiz va tugunlar tizimi bilan panjara quramiz. Eyler usuli tarmoq tugunlarida funksiyaning taxminiy qiymatlarini hisoblab chiqadi:. Hosilni segmentlar bo'yicha cheklangan farqlar bilan almashtirib, biz taxminan tenglikni qo'lga kiritamiz:, uni quyidagicha qayta yozish mumkin
II.BOB EYLER USULINING HISOBLASH FORMULALARI.
Eyler usulining bir qadamining geometrik talqini shundan iboratki, segmentdagi yechim shu nuqtadan o‘tuvchi integral egri chiziqqa nuqtada chizilgan tangens bilan almashtiriladi. Bosqichlarni bajargandan so'ng, noma'lum kümülatif egri chiziq singan chiziq bilan almashtiriladi (Eylerning siniq chizig'i).
Xato taxmini. Eyler usulining xatosini baholash uchun quyidagi teoremadan foydalanamiz.
Teorema. Funksiya quyidagi shartlarga javob bersin:
.
Keyin Eyler usuli uchun quyidagi xato bahosi amal qiladi: , bu erda segment uzunligi. Eyler usuli birinchi darajali aniqlikka ega ekanligini ko'ramiz.
Eyler usulining xatosini baholash ko'pincha qiyin, chunki u funktsiyaning hosilalarini hisoblashni talab qiladi. Xatoning taxminiy bahosi tomonidan berilgan Runge qoidasi (ikki marta hisoblash qoidasi), aniqlik darajasi --chi darajaga ega bo'lgan turli xil bir bosqichli usullar uchun qo'llaniladi. Runge qoidasi quyidagicha. Qadam bilan olingan yaqinlashishlar va qadam bilan olingan yaqinlashishlar bo'lsin. Keyin taxminiy tenglik to'g'ri bo'ladi.
Shunday qilib, qadam bilan bir bosqichli usulning xatosini baholash uchun oxirgi formulada o'ngdagi qiymatni hisoblash uchun qadamlar bilan bir xil echimni topishingiz kerak, ya'ni Eyler usuli birinchi aniqlik tartibiga ega bo'lgani uchun, ya'ni, taxminiy tenglik ko'rinishga ega:.
Runge qoidasidan foydalanib, berilgan aniqlik bilan Koshi muammosining yechimini taxminiy hisoblash tartibini qurish mumkin. . Buning uchun ma'lum bir qadam qiymati bilan hisob-kitoblarni boshlash kerak, har safar taxminiy qiymatni hisoblab, bu qiymatni ikki baravar kamaytiring, . Shart bajarilganda hisob-kitoblar to'xtaydi: . Eyler usuli uchun bu shart quyidagi shaklni oladi. Taxminiy yechim qiymatlar bo'ladi .
1-misol Quyidagi Koshi muammosining segmentida yechim topamiz:,. Keling, bir qadam tashlaylik. Keyin.
Eyler usulining hisoblash formulasi quyidagi shaklga ega:
, .
Biz yechimni 1-jadval shaklida taqdim etamiz:
1-jadval
Dastlabki tenglama Bernulli tenglamasidir. Uning yechimini aniq topish mumkin: .
Aniq va taxminiy echimlarni solishtirish uchun biz aniq echimni 2-jadval shaklida taqdim etamiz:
jadval 2
Jadvaldan xato ekanligini ko'rish mumkin.
Eyler usuli - bu kerakli funktsiyaning taxminiy qiymatlari jadvali ko'rinishida yechim beradigan raqamli usullarni anglatadi. y(x). Bu nisbatan qo'pol va asosan taxminiy hisob-kitoblar uchun ishlatiladi. Biroq, Eyler usuli asosidagi g'oyalar bir qator boshqa usullar uchun boshlang'ich nuqtadir.
Birinchi tartibli differentsial tenglamani ko'rib chiqing
dastlabki holat bilan
[ segmentidagi tenglamaning yechimini topish talab qilinadi. ].
Keling, segmentni ajratamiz [ ] n ta teng qismga ajrating va ketma-ketlikni oling qayerda integratsiya bosqichi.
Eyler usulida taxminiy qiymatlar formulalar bo'yicha ketma-ket hisoblab chiqiladi:
Bunday holda, kerakli integral egri nuqtadan o'tish siniq chiziq bilan almashtiriladi cho'qqilari bilan har bir havola deb nomlangan bu singan chiziq Eyler singan chizig'i, nuqtadan o'tuvchi (1) tenglamaning integral egri chizig'ining yo'nalishiga to'g'ri keladigan yo'nalishga ega. M i(2-rasmga qarang):
2-rasm. Eyler siniq chizig’ining ko’rinishi
Do'stlaringiz bilan baham: |
