«amaliy matematika va informatika» kafedrasi «Hisoblash usullari» fanidan kurs ishi

2.2 Xos qiymat va xos vektorlarni hisoblash

Quyidagi matritsani qaraylik va uning xos qiymatlari va xos vektorlarini topaylik. Qaralayotgan matritsa uchun xarakteristik determinantni tuzib, uni yechamiz:


,
, .
deb olamiz va sistema (6) ga mos sistemani tuzamiz. Natijada:

sistemani hosil qilamiz. Bu tenglamalardan tenglamaga keltiramiz, bo’lsa, bo’ladi. deb olsak

sistemani hosil qilamiz, bundan  , bo’lsa, bo’ladi.

2.3 Xarakteristik determinantni bevosita yoyish usuli

Dastlab, uchinchi tartibli matritsa misolida xarakteristik determinantini bevosita yoyish usuli orqali xarakteristik ko’phadning koeffitsientlari qanday topilishini qaraymiz. So’ngra bu natijani - tartibli matritsa uchun umumlashtiramiz. Matritsa va xarakteristik determinantni qaraylik
,

xarakteristik detirminantni uchburchaklar qoidasi bo’yicha yoyamiz:
yoki
bunda matritsaning diagonali elementlari yig’indisi, u matritsaning o’zi deyiladi va orqali belgilanadi:

koeffitsient matritsaning barcha ikkinchi tartibli diagonal minorlarining yig’indisiga teng:

ikkinchi, uchinchi, n- tartibli dioganal minorlar deb, shunday minorlarga aytiladiki, ularning bosh dioganali elementlari matritsa determinantining bosh dioganali elementlaridan iborat bo’ladi. koeffitsient matritsaning determinantiga teng bo’ladi.

Umuman olganda, - tartibli determinant ni - tartibli ko’phad ko’rinishida yozish talab qilingan bo’lsin, bu holda koeffitsientlar quyidagi qoida bo’yicha hisoblanadi: matritsaning barcha dioganal elementlarining yig’indisi;
matritsaning barcha ikkinchi tartibli dioganal elementlarining yig’indisi;

matritsaning barcha uchinchi tartibli diagonal minorlarining yig’indisi va hokazo.
Nihoyat,  koeffitsient matritsaning determinantiga teng:
.
matritsaning - tartibli minorlarining soni
,
formula bo’yicha aniqlanadi. Metodning tadbiqi. Quyidagi matritsaning xarakteristik ko’phadini bevosita yoyish usuli bilan topish talab qilingan bo’lsin.

Yechish. Dastlab
ni hisoblaymiz.

to’rtinchi tartibli matritsaning ikkinchi tartibli diaganol minorlari soni
ga teng. Ana shu minorlarni hisoblaymiz.
,

ga teng.

ekanligi ma’lum.
To’rtinchi tartibli matritsaning uchunchi tartibli diaganol minorlari soni:
,

ekanligini aniqlaymiz va nihoyat:
.
Shunday qilib,

ga ega bo’lamiz.