Amaliy mashg’ulotlar. 1, 2, 3, 4-amaliy mashg’ulot

Chiziqli tenglamalar tizimini yechish

.   

Texnika,  iqtisod  va  boshqa  jarayonlarda  ko’p  amaliy  masalalar  Yechishi  chiziqli 

tenglamalar  tizimini  Yechishiga  keltiriladi.  Shuning  uchun  ularni  yechish  bu  nihoyatda 

muhim masala. n noma’lumli n chiziqli tenglamalar sistemasini yechish.   

Berilgan n noma’lumli n chiziqli tenglamalar tizimi, qayerda aij, bi (i=1, 2, …, n; j=1, 

2, …, n) ixtiyoriy sonlar va ular uzgaruvchilardagi koeffitsiyentlar va tenglamalarning erkin 

a’zolari. a

11

x

1

 +a

12

x

2 

+ …+a

1

n 

x

n

 =b

1

 a

21

x 

1 

+a

22

x

2 

+ … +a

2

n 

x

n 

=b

2

  

 

…………………………….. ,  

  

  

  

(1)  

an1 x

1

 +an2 x

2 

+ … +ann x

n

 =bn  

(1)  yozuv  chiziqli  tenglamalar  tizimini  normal  shaklda  yozilishi  deb  aytiladi.  Bu 

tenglamalarni Yechishi deb n sonlarni majmuasi (x1 = k1,x2= k2,..., xp=kn) aytiladiki ularni 

tenglamaga qo’yilganda tizimning har bir tenglamasi aniq tenglikka aylanadi. Tenglamalar 

tizimi birgalikda, agar u bo’lmaganda bitta Yechishga ega bo’lsa va birgalikda emas agar 

Yechishga  ega  bo’lmasa.  Agar  tenglamalar  sistemasi  bitta  Yechishga  ega  bo’lsa  unda  u 

aniqlangan deb ataladi; agar tenglamalar tizimi bitta yechishdan ko’p bo’lsa u aniglanmagan 

deb ataladi.  

 (1) tizimni matritsa tenglamasi shaklida keltirish mumkin:  

 

A×X=B  

  

  

  

  

  

(2)  

qayerda A- o’zgaruvchilarning matritsa koeffitsiyentlari, yoki tizim matritsasi:  

а

11

;

а

12

;...;

а

1

п 

 

 

 

 

а

21

;

а

22

;...;

а

2

п 

 

А

....................... 

;

 

 

 

 

а

п

1

; 

а

п

2

;...;

а

пп

 

X-

noma’lumlar matritsa-ustuni (vektor):  

х

1 

 

 

 

 

х

2 

 

Х 

...  ;

 

 

 

 

---

х

п 

 B-

erkin a’zolar matritsa-ustuni (vektor):  

b

1 

 

   

b

2 

 

В 

...  ;

 

 

 

b

n 

  

Yoyilgan holda  (2) tizimni quyidagi ko’rinishda keltirish mumkin:  

а

11

;

а

12

;...;

а

1

п 

 

х

1 

 

b

1 

 

           

а

21

;

а

22

;...;

а

2

п 

 

х

2 

 

b

2 

 

....................... 

*

... 

... 

.

 

 

 

   

   

 

а

п

1

; 

а

п

2

;...;

а

пп

 

х

п 

 

b

n 

  (1)  tizimni  qo’l  uslubida 

hisoblashni  bir  nechta  uslubi  bor:  Kramer,  Gauss  va  boshqa  uslublar.  Kompyuter 

yordamida hisoblashlarni olib borishni nazarda tutganda (1) tizimni umumiy holda  ko’rib 

chiqish  nazarda  tutiladi  (teskari  matritsa  usuli).  App  tizimining  kvadrat  matritsasini 

nevo’rojdenno’y  deb  hisoblaymiz,  ya’ni  uning  aniqlovchisi  |A|≠0.  Bu  holda    teskari 

matritsa mavjud bo’ladi A-1.  

Matritsa tenglamasi (2) ikkala qismini teskari A-1 matritsaga ko’paytirib, olamiz:  

A-1×A×X=A-1×B, 

E×X=A-1×B; 

E×X=X  

bu  yerda  teskari  matritsa  uslubi  bilan  tizimning  Yechishi  matritsa-ustun 

bo’ladi  

 

X=A-1×B.  

  

  

  

  

(3)  

Shunday  qilib  (2)  tenglamani  (X  vektorini  aniqlash  uchun)yechish  uchun  teskari 

matritsa koeffitsiyentlarini aniqlab va o’ngdan erkin a’zolar vektoriga ko’paytirish lozim.  

n noma’lumli m chiziqli tenglamalar sistemasini yechish  

Berilgan n noma’lumli m chiziqli tenglamalar tizimi quyidagi ko’rinishga 

ega: a

11

x

1

 +a

12

x

2 

+ …+a

1

n 

x

n

 =b

1

 a

21

x 

1 

+a

22

x

2 

+ … 

+a

2

n 

x

n 

=b

2

  

                                                                               (4)  

……….. ,  

am1 x

1

 +am2 x

2 

+ … +amn x

n

 =bm  

  

(1) tizimdek (4) tizim matritsa shaklida keltirilishi mumkin: A×X=V.  

Uchta holat bo’lishi mumkin: t < p, t = p i t > p. Oldinroq biz t = p teng bo’lgan holatini 

ko’rib  chiqqan  edik  (p  chiziqli  tenglamalar    p  noma’lumlar  bilan).  Agar  t  

chiziqli tenglamalar  p noma’lumlar bilan birgalikda bo’lsa u holda  tizim aniqlangan emas 

nihoyatda  ko’p  Yechishga  ega.  m  >  p  bo’lgan  holda    va  tizim  birgalikda  bo’lsa  unda  A 

matritsa bo’lmaganda t-p chiziqli bog’liq satrlardan iborat.Bunda yechish ixtiyoriy p chiziqli 

bog’liq tenglamalarni tanlash (agar ular mavjud bo’lsa) va (3) formulani qo’llash yordamida 

bajariladi  (oldingi  ko’rilgan  masalaga  keltiriladi).  Bunda  olingan  natija  qolgan  m-n  

tenglamalarni  ham  qoniqtiradi.  Agar  masalani  yechishda  elektron  hisoblash  mashinasidan 

---

foydalanilsa u holda  umumiy yondoshuvdan foydalanish kerak – kichik kvadratlar usulidan. 

Buning  uchun  matritsa  tenglamalar  tizimi  (2)  ikkala  qismini  chap  tomondan 

transponerlashtirilgan matritsa At ko’paytiramiz.   

ATAX = ATV.  

Keyin matritsaning ikkala qismini chapdan (ATA)-1 matritsasiga ko’paytiramiz. Agar 

bu matritsa bo’lsa u holda  tizim aniqlangan.  (ATA)-1*(ATA)=E ni hisobga olgan holda, 

olamiz   

 

X=(ATA)-1ATV.  

  

  

  

  

  

  

(5)  

(5) matritsa tenglamasi n noma’lumli m chiziqli tenglamalar tizimi m >p bo’lgan holda  

Yechishini tashkil qiladi. Electron  jadvalda iqtisodiy-matematik masalalarni echish.  

Massivlar bilan ishlash.  

Iqtisodiy  jarayonlarni  modellashtirishda  matematik  dasturlash  usullarining 

qo`llanilishi  

Hozirda iqtisodiy jarayonlar tobora rivojlanib, murakkablashib bormoqda. Iqtisodiy 

jarayonlarni o`rganishda va tahlil qilishda modellashtirish bizga yordam beradi. Odatda 

iqtisodiy jarayonlarni modellashtirishda matematik modellashtirishdan foydalaniladi.   

Iqtisodiy  obyektning  yoki  jarayonning  matematik  modeli  bu  –  shu  obyektning 

tenglamalar, tengsizliklar, mantiqiy munosabatlar, grafiklar yordamidda tavsiflashdan iborat. 

Boshqacha  qilib  aytganda,  obyektning  matematik  modeli  uning  shu  obyektni  o`rganishni 

soddalashtirish  maqsadida  ko`rilgan  shartli  aksidan  iborat.  Albatta,  qurilgan  model  obyekt 

haqida  yangi  ma`lumotlar  berishi  yoki  mavjud  holatda  eng  yahshi  yechimni  aniqlashga 

yordam  berishi  kerak.Iqtisodiy-matematik  modellarning  bir  necha  turlari  mavjud  bo`lib 

ularning asosiylari quyidagilar: Makroiqtisodiy modellar;  

Mikroiqtisodiy modellar;  

Nazariy modellar;  

Tatbiqiy modellar;  

Optimallashtirish modellari;  

Muvozanat modellari;  

Statistik modellar;  

Dinamik modellar;  

Makroiqtisodiy modellar yiriklashtirilgan iqtisodiy ko`rsatkichlarni, masalan YaMM, 

iste`mol, investitsiya, kapital, harajat, milliy daromad kabilarni va ular orasidagi bog`lanishni 

tavsiflaydi.   

Mikroiqtisodiy  modellar  iqtisodiyotning  tuzilishi  va  funksional  tashkil  etuvchilar 

orasidagi o`zaro munosabatlarni tavsiflaydi.  

Nazariy modellar iqtisodiyotning umumiy va uning muhim elementlarining umumiy 

xossalarini bor ma`lumotlarni e`tiborga olgan holda o`rganadi.  

Tatbiqiy modellar muayyan iqtisodiy obyektning parametrlarini baholash va amaliy 

qarorlar qabul qilish imkonini beradi. Bunday modellarga ekonometrik modellar misol bo`la 

oladi.  Ekonometrik  modellar  iqtisodiy  ko`rsatkichlarning  son  qiymatlariga  tayanadi  va  bu 

ko`rsatkichlarning qanchalik ishonchliligini tekshiradi.  

Optimallashtirish modellari kam harajat qilib ma`lum hajmda mahsulot ishlab chiqarish, bor 

homashyodan maksimal hajmda mahsulot ishlab chiqarish va h.k. uchun iqtisodiy 

ko`rsatkichlar orasidagi optimal munosabatlarni toppish bilan shug`ullanadi.  

Muvozanat modellari bozor iqtisodiyotida alohida o`rin tutadi. Ular iqtisodiyotning 

shunday holatini tavsiflaydiki, iqtisodiyotni berilgan holatdan boshqa holatga o`tkazishga 

intiluvchi kuchlar yig`indisi nolga teng bo`ladi.  

Matematik  modellashtirishning  qanday  uslubda  amalga  oshirilishiga  qarab  ham 

analitik va kompyuter modellariga bo`linadi:  

---

Analitik  modelning  asosiy  elementlari  quyidagilardan  iborat: 

Ekzogen va endogen o`zgaruvchilar;  

Iqtisodiy  o`zgaruvchilar  orasidagi  bog`liqliklar  va  ularning  ifodasi; 

Tenglamalar, ayniyatlar, tengsizliklar va ularning sistemasi.  

Umuman  iqtisodiy-matematik  modellashtirish  jarayoni  quyidagi  ketma-ketlikda 

amalga oshiriladi:  

Masalaning qo`yilishi, uning nazariy va mantiqiy ifodasi;  

Tadqiq  qilinayotgan  iqtisodiy  tizimning  tarkibini  tahlili  va  uning  funksional 

elementlarini aniqlash. Model elementlari orasidagi mantiqiy bog`liqlikni ifodalash;  

Masalaning iqtisodiy shartlarga mos keluvchi modelini yaratish;  

Boshlang`ich ma`lumotlarni to`plash va tayyorlash;  

Iqtisodiy masalani yechishni amalga oshirish, hisoblangan natijalarni tahlil qilish va 

iqtisodiy talqin etish. Matematik   

Chiziqli dasturlash usuli masalasining umumiy qo`yilishi, matematik modeli va uning 

iqtisodiy talqini  

Ishlab chiqarish jarayonidagi moddiy va iqtisodiy bog'lanishlarni hisobga olgan holda 

maqsadga  muvofiq  keladigan  eng  maqbul  rejani  tanlash  masalasining  matematik  ifodasi 

ilmiy  va  o'quv  adabiyotlarida  chiziqli  programmalashatamasi  bilan  ifodalanadi.  Bunday 

masalalarning matematik ifodasini keltirib chiqarishda odatda ishlab chiqarish jarayoni bilan 

bog'liq  bo'lgan  barcha  resurslar,  narxnavolar,  ishlab  chiqarish  normativlari  hamda  masala 

mohiyatiga ko'ra maqsad funksiyasini tuziladi. Agar muammo harajatlar bilan bog'liq bo'lsa 

bu  harajatlarni  ifodalovchi  maqsad  funksiyasining  eng  kichik  qiymatini,  agar  maqsad 

funksiyasiishlab  chiqarishdan  keladigan  daromadni  ifodalasa  bu  funksiyani  eng  kata 

qiymatini topish talab qilinadi.  

Aksariyat  hollarda  ishlab  chiqarish  resurslari  va  ishlab  chiqarish  kuchlari,  ularning 

imkoniyatlarini  ifodalovchi  shartlar,  hamda  harajat  yoki  daromadni  ifodalovchi  maqsad 

funksiyalari  chiziqli  funksiyalar  bilan  ifodalanganligi  uchun  bu  turdagi  masalalar  chiziqli 

programmalash masalalari deb ataladi.   

Chiziqli  programmalash  usullari  ishlab  chiqarishning  barcha  sohalarida  keng  va 

samarali tatbiq qilib kelinayapti. Axborot texnologiyalarining rivojlanishi, kompyuterlarning 

imkoniyat va tezliklarining jadal o'sishi esa chiziqli programmalash masalalarining tatbiqini 

kengayishi  hamda  yanada  mukammalashishiga  yo'l  ochayapti.  Chiziqli  programmalash 

masalalarining  matematik  ifodasi  sodda  bo'lsada  uni  yechishda  funksiya  maksimum, 

minimumlarini  topishga  mo'ljallangan  an'anaviy  usullarni  tatbiq  qilib  bo'maydi.  Bu  yerda 

asosiy  muammo  –  masala  shartlariga  bog'liq  tarzda  mumkin  bo'lgan  yechimlar  sohasini 

topishdan  iborat  bo'ladi.  Optimal  reja    ham  ana  shu  mumkin  bo'lgan  yechimlar  sohasidan 

izlanishi kerak.  

Chiziqli dasturlash masalasining modeli quyidagicha bo`ladi:  

F(X)=c1x1+c2x2+c3x3+…+cnxn → opt(max, min) 

a11x1+a12x2+a13x3+…+a1nxn ≤ b1 

a21x1+a22x2+a23x3+…+a2nxn ≤ b2  

………………………………  

  

X=(x1,x2…xn) – korxonaning optimal ish 

rejasi; F(x) – jami foyda; b1, b2,…bn – 

resurslar zahirasi; c1, c2,…cn – mahsulot 

narxi;  

[aij]  –  ishlab  chiqarishda  resurslardan  samarali  foydalanish  normativi 

matritsasi;  

---

Yuqorida keltirilgan mulohazalarni oydinlashtirish uchun oddiy bir masalani ko'rib chiqamiz. 

Faraz  qilaylik,  kichik  korxona  meva  sharbatlarini  chiqaradigan  bo'lsin.  Korxonada  30kg 

olcha, 45kg olma, 12kg shakar bor. Korxona ikki xil turdagi meva sharbatlarini chiqaradi. 1 

– tur meva sharbatining bir bankasiga 0,1kg olcha, 0,5kg olma, 0,1 kg shakar solinsin. 2 – tur 

meva  sharbatining  bir  bankasiga  0,3kg  olcha,  0,2kg  olma,  0,1kg  shakar  solinsin.  Agar  1 

banka 1 – tur sharbat narxi 1000so'm, 2 – tur meva sharbati 1400so'm tursa, korxona har bir 

tur  meva  sharbatidan  qanchadan  ishlab  chiqarganda  korxonaning  meva  sharbatlarini 

sotishdan tushgan daromadi eng katta bo'ladi  

Masalaning  matematik  ifodasini  tuzish  uchun  masala  shartlariga  ko'ra  kelib 

chiqadigan  munosabatlarni  hosil  qilishimiz  kerak.  Avvalo  masala  shartiga  ko'ra  topilishi 

kerak bo'lgan 1 – va 2 – tur meva sharbatlarining noma'lum sonini x1, x2deb belgilaymiz. Bu 

holda  1  –  ,  2  –  va  3  –  tur  xomashyo  (olcha,  olma,  shakar)  sarflarini  hisoblab  bu  sarflar 

korxonadagi bor bo'lgan xomashyo zaxiralaridan ortmasligini talab qilamiz. Xususan olcha 

sarfi bo'yicha har bir banka 1 – tur meva sharbatiga 0,1kg olcha , 2 – tur meva sharbatiga esa 

0,3kg  olcha  solinadigan  bo'lsa  mos  ravishda  x1banka  1  –  tur  ,  x2  banka  2  –  tur  meva 

sharbatlariga jami x1 × 0,1 + x2 × 0,3 kg olcha sarflanadi. Bu esa korxonada bor bo'lgan 30kg 

olchadan ortmasligi kerak. Demak olchalar bo'yicha qo'yiladigan shart  

0,1x1+ 0,3 x2 ≤ 30  

ko'rinishini oladi. Xuddi shunday mulohazalarga ko'ra olma va shakar sarfi bo'yicha korxona 

imkoniyatlaridan kelib chiqqan holda3  

0,5x1+  0,2x2≤ 

45  0,1  x1+  0,1 

x2≤ 12  

ko'rinishdagi shartlarni hosil qilamiz. Meva sharbatlarini sotishdan tushadigan daromad esa 

keltirilgan narxlarga ko'ra jami L (x1,x2) = 1000 x1+ 1400 x2 bo'lar ekan. Bu yerda L 

(x1,x2)  maqsad funksiyasi bo'lib, shunday ishlab chiqarish rejasini tanlash kerakki , bu reja 

avvalo resurslar bo'yicha shartlarga mos kelsin va maqsad  

funksiyasining  

eng 

  katta   qiymatini  

keltirib  

chiqarsin.  

Keltirilgan iqtisodiy masala quyidagicha ifodalanadi:  

L(x1,x2)  = 1000 x1+ 1400 x2 max  

0,1x1+ 0,3 x2 ≤ 30  

0,5x1+  0,2x2≤ 

45  0,1  x1+  0,1 

x2≤ 12  

Chiziqli dasturlash masalasini yechishda Excel dasturining qo`llanilishi  

Iqtisodiy-matematik  modellashtirishda  turli  kompyuter  dasturlari  yechimlarni  topishimizni 

osonlashtiradi. Chiziqli dasturlash masalalarini yechishda MS Excel dasturidan foydalanishni 

misol  qilamiz.  Chiziqli  dasturlash  masalasini  yechishda  MS  Excel  dasturining 

“поискрешения”  (yechimni  qidirish)  dasturidan  foydalaniladi.  Bu  dastur  masalaning 

optimal  yechimini  topishga  xizmat  qiladi.  “