Amaliy mashg‘ulot

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
TOSHKENT MOLIYA INSTITUTI

«МАТЕМАТИКА» КАФЕДРАСИ


«OLIY MATEMATIKA» FANIDAN

Amaliy mashg‘ulot

TUZUVCHILAR: Dots.Muminova R., katta o‘qit. Turdaxunova S.

Toshkent- 2010

5. CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASINING YECHIMI HAQIDA KRONEKER - KAPELLI TEOREMASI

CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASINI KRAMER

USULI BILAN YECHISH

(1)

Kroneker-Kapelli teoremasi (1) chiziqli tenglamalar sistemasining birgalikda yoki birgalikda emasligini aniqlaydi.

(1) chiziqli tenglamalar sistemasining asosiy va ozod hadlar hisobiga kengaytirilgan matritsasini tuzamiz:

A= (2)

B= (3)

Teorema. Agar A matritsa rangi B matritsa rangiga teng bo’lib, noma’lumlar soniga ham teng bo’lsa, ya’ni r(A)=r(B)=m bo’lsa, (1) tenglamalar sistemasi aniq bo’ladi, sistema birgalikda bo’lib yagona yechimga ega bo’ladi.

Agar r(A)=r(B) bo’lsa, (1) sistema birgalikda bo’lib, cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi.

Agar r(A) bo’lsa, sistema birgalikda bo’lmaydi, sistema yechimga ega bo’lmaydi.

Misollar ko’ramiz: 5.1. Quyidagi sistemalarni birgalikda yoki birgalikda emasligini tekshiramiz:

a)

Buning uchun asosiy va kengaytirilgan matritsa rangini topamiz:

A= ~ ~

2- satr elementlaridan 1- satr elementlarini ayiramiz:

A ~ r(A)=2

B=

bu matritsa rangini topish uchun yana yuqoridagi ishni takrorlaymiz, natijada B matritsa quyidagi ko’rinishni oladi.

B ~ , B₁ =

matritsa rangini topamiz:

M = ; r(B₁) = 3

Demak, r(B)=3 bo’lib, r(A)≠r(B) va sistema birgalikda emas.

b)

Sistema birgalikda yoki birgalikda emasligini tekshiring.

Ozod hadlar hisobiga kengaytirilgan matritsa tuzamiz:

B =

3- satr elementlaridan 1- satr elementlarini ayiramiz:

B = ~ ~

A matritsa B matritsaning qismi bo`lgani uchun r(A)=r(B)=2 ekanini ko’rish mumkin. Demak, sistema birgalikda.

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Kramer formulasi determinantlaridan foydalanib, sistema yechimini topishdir.

Sistema yechimi Kramer formulalari deb atalgan quyidagi formulalar bo’yicha topiladi:

Bu yerda Δ noma’lumlar oldidagi koeffitsiyentlardan tuzilgan kvadrat matritsa determinanti, Δ₁, Δ₂, Δ₃, …, Δ_n lar asosiy matritsada mos ravishda 1, 2, 3, …, n-ustun elementlarini ozod hadlar bilan almashtirishdan hosil bo’lgan determinantlar. Shuni ta’kidlash kerakki, sistemada noma’lumlar va tenglamalar soni teng bo’lgan hollarda Kramer formulasini qo’llash maqsadga muvofiq.

Agar Δ≠0 bo’lsa, sistema yagona yechimga ega bo’ladi.

Agar Δ=0 bo’lib, Δ₁, Δ₂, Δ₃ lardan kamida bittasi noldan farqli bo’lsa, sistema yechimga ega emas.

Agar Δ=0 bo’lib, Δ₁=Δ₂=Δ₃=…= Δ_n=0 bo’lsa, sistema aniqmas, cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi. Formulani 3 noma’lumli 3 ta chiziqli tenglamalar sistemasi misolida keltiramiz:

(1)

sistema uchun

, ,

,

Buni misollarda ko’ramiz:

5.2.-misol.

a) sistemani Kramer formulasi bilan yeching.

= -4+8+9-8-3+12=14

Δ≠0 bo’lgani uchun sistema aniq, yagona yechim Kramer formulalari yordamida topiladi.

= -32+8+30-8+40-24=14

= -20+32+12-40-4+48=28

= 8+80+72-64-24-30=42

b) sistemani Kramer formulasi yordamida yeching.

=256+6-18-216-32+4=266-266=0

Δ=0 Kramer teoremasiga ko’ra, sistema yoki aniqmas, yoki birgalikdamas. Δ₁ ni hisoblaymiz:

= -128+24-128-2= -234≠0

Δ=0, Δ₁≠0 bo’lgani uchun Kramer teoremasiga ko’ra sistema aniqlanmagan.

c) Kramer formulasiga ko’ra yeching.

= 20-3-12+5+8-18=33-33=0

Δ=0, demak, sistema yoki aniqmas, yoki birgalikdamas. Δ₁, Δ₂, Δ₃ larni hisoblaymiz:

= -70+15-3+5-10+63=83-83=0

= -20-21-4-5+56-6=56-56=0

= -10-5+84-35-4-30=84-84=0

Δ=0, Δ₁=Δ₂=Δ₃=0 bo’lgani uchun sistema aniqmas, cheksiz ko’p yechimga ega.

Sistemani Gauss algoritmi bilan yechamiz:

berilgan tenglama sistemaga teng kuchli.

Bu tenglamani Kramer formulasi bilan yechish mumkin.

= -10-4= -14

=5(x₃+7)-3x₃+5=5x₃+35-3x₃+5=2x₃+40=2(x₃+20)

= -2(3x₃-5)-4(x₃+7) = -6x ₃+10-4x₃-28 =

= -10x₃-18 = -2(5x₃+9)

Sistema yechimi bo’ladi.

Mustaqil yechish uchun misollar

Berilgan chiziqli tenglamalar sistemalarining birgalikda yoki birgalikda emasligini tekshiring.

5.3. 5.4.

5.5. 5.6.

5.7. 5.8.

5.9. 5.10.

5.11. 5.12.

5.13. 5.14.

5.15. 5.16

5.17. 5.18.

5.19.

Quyidagi tenglamalar sistemasini Kramer usulida yeching.

5.20. 5.21.

5.22. 5.23

5.24. 5.25.

5.26. 5.27.

5.28. 5.29.