Amaliy mashg’ulot №7 Optimal boshqarish sistemalarini tadqiq etish Optimal boshqarish

Д = x : x− x+ ,

f (

x)
→ min(max)

x Д x Д

f (x₁ , x₂ ,..., x_n )
da anišlangan x o‘zgaruvchili f(x) funksiyaning minimumi (maksimumi) masalasini echish uchun funksiya ekstremumining, asosan – zarur va šisman – etarli
shartlariga asoslangan ko‘p sonli turli-tuman usullari ishlab chišilgan.
f(x) ekstremumini topish usullarining turli-tumanligi ulardan ќar birining
funksiyani ifodalash uslublari va uning matematik xususiyatlari (differensiallanishi, šavarišligi, ekstremumlar soni va ќ.k.) ќašida ќar xil axborotlardan foydalanishi bilan shartlanadi. SHuningdek, xususan, ekstremum topishning analitik usullari funksiya f(x) ning formula shaklida ifodalanishi va uning «yaxshi» differensiallanishiga asoslanadi.
Silliš kabi nosilliš funksiya f(x) ning ќam lokal ekstremumini topish usullarining shartli tarzda iteratsiyali deb ataluvchi boshša bir guruќi optimallashtirish masalalarining tašribiy echimlarini topish imkonini beradi. Ularning soniga nusxa ko‘chirish, dixotomiya, «oltin kesim», Fibonachchi sonlari va boshša šator usullar

kiradi.
Niќoyat, ixtiyoriy sonli statsionar nuštalarga ega bo‘lgan nošavariš funksiyalar ekstremumini topish uchun maxsus muolajalar va usullar ishlab chišilgan.

Ko‘pgina optimallashtirish masalalari ochiš ko‘plik

Д = x :

x

−

x

i

x

+

,

i = 1, n

i

i

da anišlangan ko‘p o‘zgaruvchili funksiya

f (x1 , x2

,..., xn )

ning

minimallashtirilish

(maksi-mallashtirilish) masalasi

f (x

, x

2

,..., x

n

) → min(max)

1

x Д

x Д

ga olib kelinadi.

Bu masalani echish uchun ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumining asosan
– zarur va ayrim ќollarda – etarli shartlariga asoslangan ko‘p sonli aniš (analitik) va tašribiy, sonli usullari ishlab chišilgan.
SHartsiz optimallashtirishning analitik usuli funksiyaf (x1 , x2 ,..., xn )
ekstremumining zarur va etarli shartlariga asoslanadi. U chekli tenglamalar sistemasi

f (x	, x	2	,..., x	n	)	= 0,	i = 1, n
1
	x		i

nollari uchun analitik (formulali) ifodalarini olishga erishilgandagi kamdan -kam uchraydigan ќollarda optimallashtirish masalasining aniš echimlarini topishga imkon beradi. Ko‘p ќollarda bu sistema nollari sonli usullar oršali topiladi va unda optimallashtirish masalasining echimi tašribiy bo‘lib šoladi.

Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar ekstremumini topish sonli usullarining aksariyati sonli usullari iteratsion xarakterga ega va optimallashtirishning zarur shartlariga

asoslangan. Bu usullarning barchasi funksiyasining matematik xossalari

ќašidagi axborot (masalan, uning šavarišlik darajasi, differensiallanilishi, unimodalligi va sh.k.) dan u yoki bu darajada foydalanadi, D ko‘pligining xossalari bunda iteratsion

f (x₁ , x₂ ,..., x_n )

usullar ko‘rsatkichlariga juda ќam kam ta’sir šiladi. Aynišsa, fašat funksiya va uning birinchi ќosilasi ќašidagi axborotlardan foydalanuvchi

iteratsion usullar va muolajalar keng taršalgan. Ularga koordinatalar bo‘yicha axtarish, simplekslar, gradientlar usullari va boshša usullar kiradi.

Sonli usullar orasida uncha ko‘p sonli bo‘lmagan iteratsiya muolajalar guruќi mavjud bo‘lib, ular yomon tashkil etilgan, masalan, nošavariš va «o‘rasimon» funksiyalar shartsiz ekstremumini topishga yo‘naltirilgan. Bu muolajalar ќam optimallikning zarur sharti va šator evristik amallar va gipotezalardan foydalanishga asoslangan. Bu guruќga, birinchi navbatda, nusxa ko‘chirish, «oђir sharik» va jarliklar usullari kiradi.
Optimallash masalalarining uzoš tarixi (ilk bor ular antik fanlarda ifodalangan, XVII-XVIII asrda va XX asrning 50-60 yillarida faol tadšiš etilgan) davomida ularning šo‘yilishi va echilishi bo‘yicha ikki xil yo‘nalish vujudga kelgan.
Birinchisi, empirik yo‘nalish ma’lum «sinash va xatoliklar» usuliga asoslanadi, bunda bir masalaning bir necha (odatda, uncha ko‘p bo‘lmagan) echimlari orasidan optimal deb šabul šilinadigan bitta eng yaxshisi tanlanadi. Bunda optimallashtirish masalasining formallashtirish bajaril-maydi, vujudga kelgan masala (ќolat) ќech kanday matematik usul va bilim šo‘llanmasdan fizik darajada echiladi.
Optimallik masalalarining šo‘yilishiga va echilishiga bunday empirik yondashuv ancha meќnat talab šiladi va joiz echimlar ko‘pligidagi ќašišiy optimal boshšaruvlarni topishni kafolatlamaydi (axir, amaliy faoliyatimizda biz bo‘lishi mumkin bo‘lgan barcha echimlarni topa olmaymiz-ku!).
Optimizatsion masalalarning šo‘yilishi va echilishiga bo‘lgan ikkinchi yondashuv vujudga kelgan ishlab chišarish ќolatini matematik ifodalash va joiz echimlar ko‘pligida eng yaxshi boshšaruvni axtarishning šat’iy va tegishli usullari va algoritmlarini ishlab chišishdan iborat. Bunda ќašišiy optimal echimni nazariy ravishda topish imkoniyati vujudga keladi va fašat shundan so‘ng masalani fizik jiќatdan echishga o‘tiladi. Bu ko‘p ќollarda sanoat va turmush ќolatlarini samaraliroš ќal šilishga imkon yaratadi, lekin ekstremal masalalarni formallashtirishda ќam, echish usullari šismida ќam šo‘shimcha matematik bilimlar talab etadi.
Odatda optimallashtirish masalasini matematik formallashtirish bir necha bosšichlardan:

• 
  sanoat (turmush) masalasi va uning mašsadli mo‘ljalining so‘zli yoki tarkibiy ifodalash;
  

• 
  masalaning dastlabki formalizatsiyasi, ya’ni boshšaruvlarni va optimallik mezonini tanlash, shartli belgilarni kiritish;
  

• 
  joiz echimlar ko‘pligini ifodalash;
  

• 
  šabul šilingan matematik belgilashlar va atamalar oršali optimallashtirish masalasini bevosita šo‘yish;
  

• 
  optimallashtirish masalasining matematik šo‘yilishining dastlabki taќlili va uni echishning usul va algoritmlarini tanlashdan iborat.