Amaliy mashg’ulot (2 soat) Mavzu

1 .

Bu qism to‘plamlar juft-jufti bilan kesishmaydi va qism to‘plam­lari­ning birlashmasi birlamchi misolda berilgan to‘plam bilan ustma-ust tushadi.

4-misol. Z butun sonlar to‘plamida aRb ⇔ m | (a - b) muno­sa­bat­ni qaraylik. Bu munosabat m=7 bo‘lganda Z to‘plamni ekvivalent 7 ta sinfga ajratadi:

_{ } = {…, -14, -7, 0, 7, 14, …}

[1] = {…, -13, -6, 1, 8, 15, …}

[2] = {…, -12, -5, 2, 9, 16, …}

[3] = {…, -11, -4, 3, 10, 14, …}

[4] = {…, -10, -3, 4, 11, 14, …}

[5] = {…, -9, -2, 5, 7, 12, …}

[6] = {…, -8, -1, 6, 7, 13, …}

(I). R – haqiqiy sonlar to‘plamidagi "<" munosabati bo‘lsin. Bundan kelib chiqadiki, R={(х,у)∈R×R|х<у}.

(II). m natural sonini olamiz va eslatib o‘tamizki, agar a∈Z, va m|a bo‘lsa, demak a soni m ga karrali. Z butun sonlar to‘plamidagi R munosabat quyidagicha aniqlangan bo‘lsin:

aRb ⇔ m | (a – b).

E`tibor beringki, biz bu munosabat bilan 1.4.3.- bo‘limda tanishgan edik.

(III). T₅ - {1, 2, 3, 4, 5} to‘plamning barcha 2-elementli toplam ostilaridan iborat bo‘lsin. R munosabatni T₅da A₁RA₂⇔A₁∩A₂=∅ ko‘rinishda belgilaymiz. Bu misolda |R|ni hisoblah mumkinmi (quyidagi 3-mashqqa qarang)?

(IV). Haqiqiy sonlar o‘qi R da R munosabatni хRу⇔х-у∈Z kabi aniqlaymiz. π soniga mos elementni toping.

R-haqiqiy S to‘plamdagi munosabat bo‘lsin. Quyidagi 3 ta xossa bajarilsa, R ni ekvivalentlik munosabati deyiladi:

R refleksiv: sRs ixtiyoriy s ∈ S uchun;

R simmetrik: s₁Rs₂ ⇔ s₂Rs₁, s₁, s₂ ∈ S;

R tranzitiv: s₁Rs₂ и s₂Rs₃ ⇒ s₁Rs₃, s₁, s₂, s₃ ∈ S.

Yuqorida keltirilgan 4 ta misoldan (II) va (IV) dagi munosabatlar ekvivalentlik munosabati bo‘ladi. (I) misolda berilgan munosabat refleksiv ham, simmetrik ham emas: (х<х har qanday haqiqiy son uchun yolg‘on, 1<2, lekin 2_{ }1). Shunga qaramay, bu munosabat tranzitivligini oson isbotlash mumkin. Qolgan hollarni misollarda qaraymiz.

S biror to‘plam va R S dagi ekvivalentlik munosabati bo‘lsin. Ixtiyoriy s∈ S uchun [s] to‘plamni [s] = {s′∈ S | sRs′} ⊆ S ko‘rinishda aniqlaymiz va bu to‘plamni S dagi s ∈ S ni o‘z ichiga oluvchi ekvivalentlik sinflari deb ataymiz.

Eslatma: agar s₁Rs₂ bo‘lsa, so‘ng [s₁]=[s₂], chunki s₁ va s₂ ekvivalent, S ning aynan bir xil elementlaridir.