Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti mexanika matematika fakulteti

+ад/ +ад


e~^{{M) t+lЛ}dЛ =
u(x,t) = — jl jp(s)e~^iAsds

RO’ZIQULOV AZIZJONNING “ISSIQLIK O’TKAZU VCHANLIK TENGLAMASINI MAPLE PAKETI YORDAMIDA YECHISH” 1

BITIRUV MALAKAVIY ISH 1

Q = uV 7

u(0, t) = д (t)' 10

^{U(£, t)} = M2^{(t )}J 10

V ⁱ J 23

к x^t) = § ^vn^{(x, t)} 38

= je-(^°⁾²¹+^Л(x-s)dЛ = . e ^4a2t . (1.2.16)

2m-i 24 m ²t

Natijada qaralayotgan Koshi masalasi yechimi uchun quyidagi integral tasvirni

olamiz

1 +ад ^(x-s)

u(x,t) = —, je ^4c,2t p(s)ds. (1.2.17)

1. 
   л/m²t -ад
   

Ba’zan (1.2.8)-( 1.2.9) Koshi masalsining topilgan (1.2.17) ko’rinishdagi yechimini

+ад

u (x, t) =j G(x, s, t)p(s)ds (1.2.18)

-ад

yoziladi. Bunda

( x-s )²


2

4a t

e

G (x, s, t) =

1

2л/ ma ²t

funksiya odatda issiqlik tarqalish tenglamasining fundamental yechimi deb aytiladi. Bu funksiya quyidagicha fizik ma’no kasb etadi: Agar boshlang’ich t = t₀ vaqtda sterjen s nuqtasida Q = cp issiqlik miqdori ajralgan bo’lsa, u holda

1. 
   ^{(x-s )2} G(x,s,t -10) = , e ^4a2(t-t0)
   

cp2yj m (t -1₀)

funksiya sterjen x nuqtasining t ondagi temperaturasini ifodalaydi. Bundan tashqari G(x,s,t -1₀) funksiya o’zining (x,t) o’zgaruvchilar bo’yicha u_t = a²u_xx issiqlik tarqalish tenglamasining yechimi bo’ladi. Haqiqatan ham integralni hadlab

differensiallash haqidagi teoremani qo’llab quyidagi xususiy hosilalarni topamiz:

„\2

1 x - s

4a²(t-t0)

G (x, s, t - L) = ;= e

^x2[a2(t -1₀)]²

^Gxx ^{(X, S, t - t}0^{) 1}
( x-s )²


24л
> e ^4a2(t-t0<sup>)

2[a2(t - t</sup>0^{)]2 4[a2(t - t}0^)]2

( x-s )²


1 (x - s)<sup>2


2[a2(t - t</sup>0^{)]2 4[a2(t - t}0^)]5

Bularni o’rniga qo’yib haqiqatan ham G = a²G_xx ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Hisoblashlarga ishonch hosil qilish uchun yuqoridagi xusuiy hosilalarni va tenglama yechimi ekanligini mustaqil tekshirib chiqing.

Koshi masalasidagi boshlang’ich shartdagi berilgan (p funksiya uzluksiz va chegaralangan funksiyadir. Koshi masalasining integral tasviri, ya’ni (1.2.17) formula odatda chegaralanmagan sohada Koshi masalasi yechimi uchun Puasson formulasi hamda undagi integralga esa Puasson integrali deg yuritiladi.

1.3-§. Parabolik tipli tenglamalarga qo’yilgan chegaraviy masalalarni yechishning Fur’e usuli

Bu mavzuning asosiy mohiyati xuddi biz to’lqin tenglamasiga qo’yilgan chegaraviy yoki aralash masalani yechishda qo’llanilgan Fur’e usulining issiqlik


_> e ^{4 a2(f-t}0⁾

■ +

^Gt⁽x^{s,t - t}0⁾

a²

tarqalish tenglamasiga tadbiq etishdan iboratdir. Avvalgi mavzularda biz issiqlik tarqalish tenglamasiga qo’yilgan uch turdagi chegaraviy masalalarning qo’yilishi, ular yechimining yagonaligi masalasini hal etilishi bilan tanishgan edik.

Ayytilgan usul bilan biz dastlab issiqlikning bir jinsli tenglamasiga qoyilgan bir jinsli 1-tur chegaraviy masala misolida tanishamiz, ya’ni quyydagi masalani yechamiz:

U = a²u_xx,0 < x < t,t > 0 (1.3.1)

issiqlik tarqalish tenglamasining

u(x,0) = p(x), 0 < x < t (1.3.2)

boshlang’ich hamda

u(0,t) = 0, u(t,t) = 0, t > 0 (1.3.3)

chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi va 0 < x < t, t > 0 sohada aniqlangan ikkinchi tartibgacha uzluksiz yechimini topish talab qilinadi. Bunda p(x) berilgan uzluksiz differensizllanuvchi funksiya bo’lib, p(0) = 0 shartni qanoatlantiradi.

Ushbu masalaning izlangan ko’rinishdagi nolmas yechimi mavjud deb faraz

qilib

u(x,t) = X(x)T(t) ф 0 (1.3.4)

ko’rinishda izlaymiz. Yechimning kerakli xususiy hosilalarni topib (1.3.1) tenglamaga qo’ysak, u quyidagi tenglamaga teng kuchli bo’ladi:

X(x)T'(t) = a²X”(x)T(t), 0 < x < t,t > 0.

Xuddi to’lqin tenglamasidagi kabi, bu tenglamaninig ikkala qismini nolmas a² X (x)T (t) ifodaga bo’lib quyidagi tenglamalarga kelamiz:

X ”(x) T\t) ₌__я X (x) a ²T (t) .

Bu tenglama biz avval tanishganimiz kabi ikkita oddiy differensial tenglamalarga ajraladi:

X ”(x) + AX (x) = 01

T\t) + ^a ²T (t) = 0 J ⁽ . . ⁾

3. 
   chegaraviy shartlar quyidagi ko’rinishni oladi:
   

u( x,0) = 01 X (0)T (t) = 01 X (0) = 01

u(x, t) = 0J ^ X(t)T(t) = 0J ^ X(t) = 0J ^,

chunki T (t) = 0 bo’lsa (1.3.4) ga asosan u(x, t) yechimning aynan nolga tengligiga

kelamiz. Bu esa shartga ko’ra mumkin emas.

Shunday qilib biz X(x), 0 < x < t funksiya uchun quyidagi qo’shimcha

masalaga keldik:

X”( x) + AX( x) = 0 (1.3.6)

tenglamaning

X(0) = 0, X(t) = 0 (1.3.7)

shartlarni qanoatlantiruvchi nolmas yechimini topish lozim. Odatda bu masala issiqlik tarqalish tenglamiga qo’yilgan bir jinsli 1-tur chegaraviy masalaga mos Shturm-Liuvill masalasi deb yuritiladi. (1.3.6) tenglama nolmas yechimga ega bo’ladigan Я ning qiymatiga Shturm-Liuvill masalasi xos qiymati va unga mos nolmas X (x) yechimga esa unga mos xos funksiya deyiladi.

Shturm-Liuvill masalasi yechimini X(x) = Ce^kx ko’rinishda izlaymiz. U holda ikkinchi tartibli oddiy chiziqli (1.3.6) differensial tenglamaning xarakteristik tenglamasi deb ataluvchi

k² +Я = 0 (1.3.8)

tenglamaga kelamiz. Ushbu chala kvadrat tenglamaning yechimi Я qiymatining ishorasiga (manfiy, nol yoki musbatligiga) bog’liq. Shuning uchun ham bu uchta holni alohida-alohida qarab chiqamiz.

1. 
   hol. Я< 0 manfiy bo’lsin. Bu holda (1.3.8) tenglama ikkita har xil
   

haqiqiy k_l2 = ±л/-Я ildizlarga ega bo’lib, (1.3.6) tenglamaning umumiy yechimi

X (x) = Ae^^x + Be ~'^ГЯ ko’rinishda bo’ladi. Bundagi A va В koeffitsiyentlarni shunday tanlaymizki, (1.3.7) chegaraviy shartlar ham bajarilsin. Bu shartlar asosida quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasiga kelamiz:

X(0) = 01 A + B = 0 I A = -B I A = 0

X(i) = 0J ^ Ae^- + Be^ = 0j ^ B(e^^e - e^) = 0]^ B = 0j

Oxirgi tenglik Я < 0 bo’lganda (А ф 0 bo’lishi yetarli) e"^rii ф e~^^u ga asoslanib yozilgan. Demak А < 0 bo’lgan holda Shturm-Liuvill masalasi faqat nol yechimga ega bo’lib, xos qiymat va xos funksiyaga ega emas ekan. Endi ikkinchi holni qaraymiz.

2. 
   hol. A = 0 bo’lsin. Bu holda (1.3.6) tenglama X"( x) = 0 ko’rinishni oladi. Uning umumiy yechimi X(x) = Ax + B ko’rinishda bo’ladi. Bunda ham A va В koeffitsiyentlarni shunday tanlaymizki, (1.3.7) chegaraviy shartlar ham bajarilsin:
   

X (0) = 01 B = 0 1 A = 0|

X (i) = 0 j ^ Ai = 0j ^ B = 0j

Demak A = 0 bo’lgan holda ham Shturm-Liuvill masalasi faqat nol yechimga ega bo’lib, xos qiymat va xos funksiyaga ega bo’lmas ekan. Endi so’ngi holni qaraymiz.

3. 
   hol. A>0 musbat bo’lsin. Bu holda (1.3.8) tenglama ikkita qo’shma kompleks k₁₂ = ±z'VI ildizlarga ega bo’lib, (1.3.6) tenglamaning umumiy yechimi
   

X(x) = A cos VI x + B sin VI x ko’rinishda bo’ladi. Bu holda ham umumiy yechimdagi ixtiyoriy A va B koeffitsiyentlarni shunday tanlaymizki, (1.3.7) chegaraviy shartlar bajarilsin. Bu shartlar asosida quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasiga kelamiz:

X (0) = 01 A = 0 X(i) = 0J ^ BsinVIi = 0

Oxirgi sistemadan X(х) ф 0 bo’lganligidan (B=0 bo’lsaX(x)=0 bo’lar edi)


A = A =
/ \^{2 /} пк'

n = 1,2,3,

i

\ /

ekanligini va ularha mos yechim o’zgarmas ko’paytuvchi aniqligida

X (x) = sin ^ПКx . ^{n ( )} i

Demak Я > 0 bo’lgan holda Shturm-Liuvill masalasi musbat пк

пк

,n = 1,2,3,— xos qiymatlarga va ularga mos X_n (x) = sin—х xos

Я =
V ⁱ J

funksiyalarga ega bo’lib, xos funksiyalar skalyar ko’paytmasi uchun n Ф m £ N

bo’lganda


= 0
(X_n, X_m )= f sin x sin ^тк xdx =¹ —¹—sin(n - т)к ¹—sin(n + т)к

_ i i 2'^ — ^w n -i- ni

n - m n + m

tenglikni, ya’ni ortogonallik shartini qanoatlantiradi.

/ \² пк

Demak (1.3.1) tenglama faqatgina A_n = — ,n = 1,2,3,— bo’lgandagina

V ⁱ J

f V пк

nolmas yechimga ega bo’lar ekan. A = A„= — ,n = 1,2,3,— bo’lganda (1.3.5)

V ⁱ J

sistemaning ikkinchi tenglamasi yechimi quyidagicha tasvirlanadi:

T (t) = Qe~^a2In. (1.3.9)

U holda (1.3.4) ga asosan

пк Y

• 
  . пк
  

u (x,t) = T (t)X (x) = Ce ^{V J} sin—х.

n\“/ n\ / n\ / n ^

1. 
   ning chiziqli differensial tenglama ekanligidan va hozircha yaqinlashishi noma’lum bolgan
   

30

30
пк )²

• 
  . пк
  

с e 'ⁱ

n

n=1 n=1

qator har biri uning yechimidan iboratligidan yig’indi ham (1.3.1) tenglamaning

3. 
   chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bo’ladi.
   

Bundan esa bu koeffitsiyentlar uchun

О ^£

^Cn =Фп = - j^^{(x)sin ln}j ^{xdx (1}.³.¹¹⁾

formula o’rinli ekanligini olamiz.

Shunday qilib biz koeffitsiyentlari (1.3.11) formulalar bilan aniqlanuvchi (1.3.10) qatorning yaqinlashuvchi bo’lib, uning yig’indisi u(x,t) ning (ya’ni

qatoming) x bo’yicha ikki marta va t bo’yicha bir marta differensiallanuvchanligini ko’rsatsak, qo’yilgan (1.3.1)-( 1.3.3) masalaning yechimini topgan bo’lamiz.

Shu maqsadda biz

“ du_n » d ²u У—- va У—n

n=i dt n=i dx

qatorlarning tekis yaqinlashuvchiligini ko’rsatamiz. Buning uchun funksional qatorlar tekis yaqinlashuvchi bo’lishligi haqidagi Veyershtrass teoremasini tadbiq etamiz. Faraz qilaylik t₀ > 0 ixtiyoriy son va t > t₀ bo’lsin.

2

. nn sin—x

i

nn

T

a I t

C.I

£

<

a

e

du		- C	f nn Л
n	=		—a
		n	V i J

2

£

e

\ ² f nn

Shartga ko’ra
funksiya yopiq 0 < x < i sohada uzluksiz bo’lganligi uchun chegaralangan bo’ladi, ya’ni shunday M > 0 son topilib barcha 0 < x < i lar uchun |^(x)| < M tengsizlik bajariladi. U holda

£

£
2

jV(x)sin ^ППxdx < ² j|^(x)|dx < 2M

0 ^{i i} 0

tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bundan foydalansak quyidagi munosabatga ega bo’lamiz:

Umumiy hadi

2

a I t

0

£

a

e

du	< 2M	fnn Л	2
n		—a	e
dt		V ^i V

/ \² f nn

a I t

£

a = 2M

nn

bo’lgan

У a

n