Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti mexanika-matematika fakulteti

Tavtologiya
17
.  Tabiiyki,  berilgan  formula  uning  tarkibida  qatnashuvchi  elementar 
mulohazalarning mumkin bo‘lgan barcha qiymatlar satrlari ucnun turli qiymatlar, jumladan, faqat ch 
yoki faqat yo qiymat qabul qilishi mumkin. 
1-  t a ’ r i f .  Tarkibidagi  elementar  mulohazalarning  mumkin  bo‘lgan  barcha  qiymatlar 
satrlarida faqat ch qiymat qabul qiluvchi formula tavtologiya deb ataladi. 
1- jadval 
x  
y
 
y
x 
 
)
(
y
x
x


 
y
y
x
x



)
(
 
yo 
yo 
ch 
yo 
ch 
yo 
ch 
ch 
yo 
ch 
ch 
yo 
yo 
yo 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
Tavtologiya  iborasi  o‘rnida  aynan  chin  yoki  doimo  chin  formula  iborasi  ham  qo‘llanilishi 
mumkin. Tavtologiya, ko‘pincha, 
J
  yoki 1  bilan  belgilanadi.  Aynan chin  formula, uning tarkibida 
ishtirok  etuvchi  o‘zgaruvchilarning  qiymatlariga  bog‘liq  bo‘lmay,  faqat  bitta  (ch)  qiymat  qabul 
qiladi. 
Berilgan  formula  tavtologiya  bo‘lishi  yoki  bo‘lmasligi,  odatda,  uning  qiymatlar  jadvali 
vositasida aniqlanadi. 
1- m i s o l . 
y
y
x
x
D




)
(
 formula tavtologiyadir. Bu tasdiqning 
to‘griligini tekshirish uchun 1- jadvalni (
D
 formulaning qiymatlar jadvalini) tuzamiz. 
Berilgan 
D
 formula uning tarkibida qatnashuvchi 
x  va 
y
 elementar mulohazalarning mumkin 
bo‘lgan  hamma  qiymatlar  satrlarida  faqat  ch  qiymat  qabul  qilgani  uchun,  u  tavtologiyadir,  ya’ni 
J
y
y
x
x




)
(
. ■ 
2-  m i s o l .  Berilgan 
z
y
x
y
x
B





)
(
)
(
  formulani  tekshirish  uchun  uning  chinlik 
jadvalini tuzamiz (2- jadvalga qarang). 
2- jadval 
x  
y
 
z  
x
 
y
x 
 
y
x 
 
)
(
)
(
y
x
y
x



 
B
 
yo 
yo 
yo 
ch 
ch 
ch 
ch 
yo 
yo 
yo 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
yo 
ch 
yo 
ch 
ch 
ch 
ch 
yo 
yo 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
yo 
yo 
yo 
yo 
yo 
ch 
yo 
ch 
yo 
ch 
yo 
yo 
yo 
ch 
ch 
ch 
ch 
yo 
yo 
ch 
ch 
ch 
yo 
                                                
17
  Bu  so‘z  yunoncha  ταύτό  (shuning  o‘zi)  va  λέγείν  (so‘z)  so‘zlaridan  tuzilgan  bo‘lib,  “ταυτολογία”  shuning  o‘zini 
so‘zlayman ma’nosini beradi. 

 
 
ch 
ch 
ch 
yo 
ch 
ch 
ch 
ch 
2- jadvaldan ko‘rinib turibdiki, 
J
y
x
y
x




)
(
)
(
, lekin 
B
J
. ■ 
Aynan  chin  formulalar  mantiqda  katta  ahamiyatga  ega  bo‘lib,  ular  mantiq  qonunlarini 
ifodalaydi. Shu sababli, mantiq algebrasida yechilish muammosi deb yuritiluvchi chekli miqdordagi 
amal  yordamida  berilgan  ixtiyoriy  mantiqiy  formulaning  aynan  chin  yoki  aynan  chin  emasligini 
aniqlash  masalasi  dolzarb  muammo  hisoblanadi.  Yechilish  muammosi  faqat  mulohazalar  algebrasi 
uchungina  emas,  balki  boshqa  mantiqiy  sistemalar  uchun  ham  qo‘yilishi  mumkin.  Yechilish 
muammosi  mulohazalar  algebrasi  uchun  ijobiy  hal  etiladi  (ushbu  bobning  5-  paragrafiga  qarang). 
Tabiiyki,  yechilish  muammosini  turli  usullar  yordamida  hal  qilish  mumkin.  Bunday  usullarni 
yechuvchi usullar deb ataymiz. Yechuvchi usul iborasi o‘rnida yechish protsedurasi yoki yechish 
algoritmi iboralari ham qo‘llanilishi mumkin. 
Yechish  protsedurasi  sifatida  chinlik  jadvalini  qo‘llashga  asoslangan  usulni  olish  mumkin, 
chunki  chinlik  jadvali  har  bir  muayan  formula  uchun  yechilish  muammosini  to‘liq  hal  qilish 
imkonini beradi. Agar berilgan formulaga mos keladigan chinlik jadvalning oxirgi ustunida faqat ch 
bo‘lsa, u holda bu formula aynan chin, agar oxirgi ustunda hech bo‘lmaganda bitta yo bo‘lgan holda 
esa  formula  aynan  chin  emas  bo‘ladi.  Tabiiyki,  amalda  bu  usulni  har  doim  ham  qo‘llab 
bo‘lavermaydi,  chunki u quyidagi asosiy kamchilikka ega.  Agar  berilgan  formulada 
n ta elementar 
o‘zgaruvchi  mulohazalar qatnashsa, u  holda  bu  formulaning chinlik  jadvali 
n
2 ta satrga ega bo‘ladi 
va 
n ning  yetarli katta qiymatlarida  bu  yechish protsedurasini,  hattoki, komp’yuter  yordamida  ham 
oxiriga yetkazib bo‘lmaydi. Lekin, prinsip jihatdan olganda, “chinlik jadvalini qo‘llashga asoslangan 
usul yordamida chekli miqdordagi amallar bajarib yechilish muammosini hal qilish mumkin” degan 
tasdiq  to‘g‘ridir.  Ushbu  bobning  keyingi  paragraflarida  boshqa  bir  yechuvchi  protsedurani 
keltiramiz. Bu yechuvchi protsedura berilgan formulani normal shaklga keltirish usuliga asoslangan. 
Normal shakllar matematik mantiqning boshqa masalalarida ham ishlatiladi. 
Aynan  yolg‘on  formulalar.  Formula  uning  tarkibida  ishtirok  etuvchi  elementar 
mulohazalarning mumkin bo‘lgan barcha qiymatlar satrlari ucnun faqat yo qiymat qabul qilishi ham 
mumkin. 
2-  t a ’ r i f .  Tarkibidagi  elementar  mulohazalarning  mumkin  bo‘lgan  barcha  qiymatlar 
satrlarida  faqat  yo  qiymat  qabul  qiluvchi  formula  aynan  yolg‘on  (doimo  yolg‘on)  yoki 
bajarilmaydigan formula deb ataladi. 
1- va 2- ta’riflardan yaqqol ko‘rinib turibdiki, aynan yolg‘on formula tavtologiyaning inkoridir, 
va, aksincha, tavtologiya aynan yolg‘on formulaning 
inkoridir. Shuning ucnun aynan yolg‘on formulani 
J  yoki 0 bilan belgilash joizdir. 
Aynan  yolg‘on  formula  ham,  aynan  chin  formula  kabi,  o‘z  tarkibida  ishtirok  etuvchi 
o‘zgaruvchilarning  qiymatlariga  bog‘liq  emas,  u  faqat  bitta  (yo)  qiymat  qabul  qiladi.  Berilgan 
formulaning bajarilmaydigan formula bo‘lishi yoki bo‘lmasligi ham, odatda, uning qiymatlar jadvali 
yordamida aniqlanadi. 
3-  m i s o l . 
y
x
y
x
A




)
(
  formula  aynan  yolg‘on  formuladir.  Haqiqatdan  ham,  asosiy 
chinlik  jadvallari  yordamida 
A
  formulaning  chinlik  jadvalini  tuzsak,  natijada  3-  jadvalga  ega 
bo‘lamiz. 
3- jadval 
x  
y
 
x
 
y
x 
 
y
x 
 
x
y

 
y
x
y
x


 )
(
 
yo 
yo 
ch 
ch 
ch 
yo 
yo 
yo 
ch 
ch 
ch 
ch 
yo 
yo 
ch 
yo 
yo 
yo 
yo 
ch 
yo 
ch 
ch 
yo 
ch 
ch 
yo 
yo 
3- jadvalning oxirgi ustuniga ko‘ra 
J
y
x
y
x



 )
(
. ■ 

 
 
3-  t a ’ r i f .  Agar 
А
  va 
В
 formulalar  uchun 
В
А 
  formula  tavtologiya  bo‘lsa,  u  holda 
В
 
formula 
А
 formulaning mantiqiy xulosasi deb ataladi. 
4-  t a ’ r i f .  Agar 
А
  va 
В
  formulalar  uchun 
В
А 
  formula  tavtologiya  bo‘lsa,  u  holda 
berilgan formulalar mantiqiy ekvivalent formulalar deb ataladi. 
4-  m i s o l .  1-  misolda 
y
y
x
x
D




)
(
  formula  tavtologiya  bo‘lishini  ko‘rgan  edik  (1- 
jadvalga  qarang).  Shu  sababli,  3-  ta’rifga  ko‘ra, 
y
  formula 
)
(
y
x
x


  formulaning  mantiqiy 
xulosasidir. 
2-  jadvalga  ko‘ra  (2-  misolga  qarang) 
y
x 
  va 
y
x 
  formulalar  mantiqiy  ekvivalent 
formulalar  bo‘ladi  hamda, shu  bilan  birga, 
y
x 
  formula 
y
x 
 formulaning  mantiqiy  xulosasidir 
degan  tasdiqlar  to‘g‘ridir.  Albatta, 
y
x 
  formula 
y
x 
  formulaning  mantiqiy  xulosasidir  degan 
tasdiq ham to‘g‘ri. ■ 
1-  t e o r e m a .  Agar 
А
  va 
В
А 
  formulalarning  har  biri  tavtologiya  bo‘lsa,  u  holda 
В
 
formula ham tavtologiya bo‘ladi. 
I s b o t i . 
А
 va 
В
А 
 formulalarning har biri tavtalogiya bo‘lsin. Teorema 
tasdig‘ining  teskarisini,  ya’ni 
А
  va 
В
  formulalar  tarkibiga  kiruvchi  o‘zgaruvchilarning  hech 
bo‘lmaganda bitta qiymatlar satrida 
В
 formula yo qiymat qabul qilsin deb faraz qilamiz. U holda, 
А
 
formula tavtologiya bo‘lganligi uchun, o‘zgaruvchilarning o‘sha qiymatlar satr(lar)ida 
А
 ch qiymat 
qabul  qiladi.  Shu  sababli 
В
А 
  formula  yo  qiymat  qabul  qiladi.  Bu  esa 
В
А 
  formula 
tavtologiyadir degan tasdiqqa qarama-qarshidir. Demak, 
В
 tavtologiyadir. ■ 
2- t e o r e m a . Agar 
1
А  formula tarkibiga bir yoki ko‘p marta kirgan 
А
 formula o‘rniga 
В
 
formulani qo‘yish natijasida 
1
В  formula hosil qilinsa, u holda 
)
(
)
(
1
1
В
А
В
А



 formula tavtologiya bo‘ladi. 
I s b o t i . Agar tarkibidagi o‘zgaruvchilarning biror qiymatlar satrida 
А
 va 
В
 formulalar turli 
qiymatlarga ega bo‘lsa, u holda o‘sha qiymatlar satrida 
В
А 
 formulaning qiymati yo bo‘ladi va, 
natijada, 
1
1
В
А 
  formulaning  qiymati  qanday  bo‘lishidan  qat’iy  nazar, 
)
(
)
(
1
1
В
А
В
А



 
formula ch qiymat qabul qiladi. 
Agar  tarkibidagi  o‘zgaruvchilarning  qandaydir  qiymatlar  satrida 
А
  va 
В
  formulalar  bir  xil 
qiymat  qabul  qilsa,  u  holda  o‘sha  qiymatlar  satrida 
1
А   va 
1
В   formulalar  ham  bir  xil  qiymat  qabul 
qiladi,  chunki  teoremaning  shartiga  asosan 
1
В   formula 
1
А   formuladan 
А
  formulaning  o‘rniga 
В
 
formulani  qo‘yish  natijasida  hosil  qilingan.  Demak,  bu  holda 
В
А 
  va 
1
1
В
А 
  formulalarning 
ikkalasi ham ch qiymat qabul qiladi. Shuning uchun 
)
(
)
(
1
1
В
А
В
А



 formula ham ch qiymat 
qabul qiladi. 
Shunday  qilib,  yuqorida  qaralgan  mumkin  bo‘lgan  ikkala  holda  ham 
)
(
)
(
1
1
В
А
В
А



 
formula ch qiymat qabul qiladi. Demak, 
)
(
)
(
1
1
В
А
В
А



 formula tavtologiya bo‘ladi. ■ 
2- teoremaga ko’ra, agar 
1
А  formula tarkibiga  bir  yoki ko‘p  marta kirgan 
А
 formula o‘rniga 
В
  formulani qo‘yish  natijasida 
1
В  formula  hosil qilinsa, u holda
А
 va 
В
  formulalarning  mantiqiy 
ekvivalentligidan 
1
А  va 
1
В  formulalarning ham mantiqiy ekvivalentligi chiqadi. 
3.3.3. Bajariluvchi formulalar. Endi berilgan formula uning tarkibida qatnashuvchi elementar 
mulohazalarning ba’zi qiymatlar satrlari ucnun ch, ba’zilari ucnun esa yo qiymat qabul qilish holini 
qaraymiz. 
5- t a ’ r i f . Tarkibidagi elementar mulohazalarning kamida bitta qiymatlar satrida  ch qiymat 
qabul qiluvchi aynan chin bo‘lmagan formula bajariluvchi 
formula deb ataladi. 

 
 
5-  m i s o l . 
y
x 
, 
)
(
y
x
x


, 
x
, 
y
x 
  va 
y
x 
  formulalar  bajariluvchi  formulalardir, 
lekin 
y
y
x
x



)
(
, 
)
(
)
(
y
x
y
x



  va 
y
x
y
x


 )
(
  formulalar  bajariluvchi  formulalar 
emas (1-, 2- va 3- jadvallarga qarang). ■ 
 
Asosiy teng kuchliliklar. Teng kuchli formulalarga doir teoremalar. 
 
 Asosiy teng kuchliliklar. Bu paragrafda oddiy algebrada ma’lum bo‘lgan ayrim ayniyatlarga 
o‘xshash  mantiqiy  teng  kuchliliklarini  va  teng  kuchli  formulalarga  doir  ayrim  teoremalarni 
keltiramiz. 
Ma’lumki, haqiqiy sonlarni qo‘shish va ko‘paytirish amali uchun quyidagi tasdiqlar o‘rinlidir: 
1)  ixtiyoriy  ikkita 
R

x
  va 
R

y
  sonlar  uchun 
x
y
y
x



  bo‘ladi  (qo‘shishning 
kommutativlik qonuni); 
2)  ixtiyoriy  uchta 
R

x
, 
R

y
  va 
R

z
  sonlar  uchun 
)
(
)
(
z
y
x
z
y
x





  bo‘ladi 
(qo‘shishning assotsiativlik qonuni); 
3)  ixtiyoriy  ikkita 
R

x
  va 
R

y
  sonlar  uchun 
yx
xy 
  bo‘ladi  (ko‘paytirishning 
kommutativlik qonuni); 
4) ixtiyoriy uchta 
R

x
, 
R

y
 va 
R

z
 sonlar uchun 
)
(
)
(
yz
x
z
xy

 bo‘ladi (ko‘paytirishning 
assotsiativlik qonuni); 
5) ixtiyoriy uchta 
R

x
, 
R

y
 va 
R

z
 sonlar uchun 
xz
xy
z
y
x


 )
(
 bo‘ladi 
(ko‘paytirishning yig‘indiga nisbatan distributivlik qonuni). 
Mulohazalar  algebrasida  bu  ayniyatlarga  o‘xshash,  ixtiyoriy  mantiqiy 
x , 
y
  va 
z  
o‘zgaruvchilar uchun quyidagi teng kuchliliklar o‘rinlidir: 
x
y
y
x



, 
   
 
 
(1) 
)
(
)
(
z
y
x
z
y
x





, 
 
 
 
(2) 
x
y
y
x



, 
   
 
 
(3) 
)
(
)
(
z
y
x
z
y
x





, 
 
 
 
(4) 
)
(
)
(
)
(
z
x
y
x
z
y
x






. 
   
 
(5) 
Bu teng kuchliliklarning to‘g‘riligini tekshirish uchun chinlik jadvalidan foydalanish mumkin. 
Yuqoridagi (1) – (4) teng kuchliliklarning to‘g‘riligini tekshirishni o‘quvchiga havola qilib, faqat (5) 
teng  kuchlilikning  to‘g‘riligini  tasdiqlaydigan  chinlik  jadvalini  keltirish  bilan  kifoyalanamiz  (1- 
jadvalga qarang). (1) – (4) teng kuchliliklardan ko‘rinib turibdiki, diz’yunksiya va 
1- jadval 
x  
y
 
z  
z
y
 
y
x
 
z
x  
)
(
z
y
x


 
)
(
)
(
z
x
y
x



 
yo 
yo 
yo 
yo 
yo 
yo 
yo 
yo 
yo 
yo 
ch 
ch 
yo 
yo 
yo 
yo 
yo 
ch 
yo 
ch 
yo 
yo 
yo 
yo 
yo 
ch 
ch 
ch 
yo 
yo 
yo 
yo 
ch 
yo 
yo 
yo 
yo 
yo 
yo 
yo 
ch 
yo 
ch 
ch 
yo 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
yo 
ch 
ch 
yo 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
 
kon’yunksiya  mantiqiy  amallari,  oddiy  algebradagi  qo‘shish  va  ko‘paytirish  amallari  kabi, 
kommutativlik va assotsiativlik xossalariga egadir. 
Mulohazalar  algebrasida,  oddiy  algebradan  farqli  o‘laroq,  kon’yunksiyaning  diz’yunksiyaga 
nisbatan distributivlik xossasi ((5) teng kuchlilik) bilan bir qatorda diz’yunksiyaning kon’yunksiyaga 

 
 
nisbatan  distributivlik  xossasi  ham  o‘rinlidir.  Diz’yunksiyaning  kon’yunksiyaga  nisbatan 
distributivlik xossasini ifodalovchi 
)
(
)
(
)
(
z
x
y
x
z
y
x






 
   
 
(6) 
teng kuchlilikning to‘g‘riligini 2- chinlik jadvali tasdiqlaydi. 
Shuni  ta’kidlash  kerakki,  oddiy  algebrada  (6)  teng  kuchlilikka  o‘xshash  tenglik  ayniyat 
bo‘lmaydi, ya’ni 
)
)(
(
z
x
y
x
yz
x




 
tenglik ixtiyoriy 
R

x
, 
R

y
 va 
R

z
 sonlar uchun bajarilmasligi mumkin. 
2- jadval 
x  
y
 
z  
z
y 
 
y
x 
 
z
x   
)
(
z
y
x


 
)
(
)
(
z
x
y
x



 
yo 
yo 
yo 
yo 
yo 
yo 
yo 
yo 
yo 
yo 
ch 
yo 
yo 
ch 
yo 
yo 
yo 
ch 
yo 
yo 
ch 
yo 
yo 
yo 
yo 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
yo 
yo 
yo 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
yo 
ch 
yo 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
yo 
yo 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
Yuqorida  ifodalangan  o‘xshashliklar  asosida  kon’yunksiya  amali  iborasi  o‘rnida  mantiqiy 
ko‘paytma amali iborasi, diz’yunksiya amali iborasi o‘rnida esa mantiqiy yig‘indi amali iborasi ham 
qo‘llaniladi
18
. 
Mulohazalar 
algebrasini 
oddiy 
algebra 
bilan 
qiyoslashda 
davom 
etib 
)
(
)
(
x
y
y
x
y
x





 teng kuchlilik o‘rinliligini eslatamiz
19
. Bu teng kuchlilik berilgan 
x  va 
y
  mulohazalarning 
y
x 
  ekvivalensiyasi  ikkita 
y
x 
  va 
x
y 
  implikatsiyalarning 
)
(
)
(
x
y
y
x



  kon’yunksiyasi  shaklida  ifodalanishi  mumkinligini  anglatadi.  Boshqacha  qilib 
aytganda,  ekvivalensiya  (
 )  belgisini  implikatsiya  (  )  va  kon’yunksiya  (
 )  belgilari  vositasida 
ifodalash  mumkin. Oddiy algebrada  esa,  hech qanday  almashtirish  yordamida tenglik (

) belgisini 
arifmetik  amallar  (qo‘shish  (
 ),  ayirish  (  ),  ko‘paytirish  (

),  bo‘lish  (
/
))  vositasida  ifodalab 
bo‘lmaydi. 
Endi  implikatsiyani  boshqa  mantiqiy  amallar  vositasida  ifodalash  masalasi  bilan 
shug‘ullanamiz. 3- chinlik jadvalidan ko‘rinib turibdiki, 
y
x 
 va
y
x 
 
formulalar teng kuchlidir.  
3- jadval 
x  
y
 
x
 
y
x 
 
y
x 
 
yo 
yo 
ch 
ch 
ch 
yo 
ch 
ch 
ch 
ch 
ch 
yo 
yo 
yo 
yo 
ch 
ch 
yo 
ch 
ch 
Demak, (1) – (6) teng kuchliliklar qatoriga yana bitta 
y
x
y
x



 
(7) 
teng  kuchlilik  qo‘shiladi.  (7)  teng  kuchlilik  implikatsiya  (
 )  belgisini  inkor  (

)  va 
diz’yunksiya (
 ) belgilari vositasida ifodalash mumkinligini anglatadi. 
Yuqoridagi  mulohazalar asosida 
 ,   , 
 ,   , 

 belgilar  ishtirok etgan  ixtiyoriy  mantiqiy 
ifodani  (formulani)  faqat 
 ,   , 

  belgilar  qatnashgan  teng  kuchli  mantiqiy  ifoda  (formula)  bilan 
almashtirish mumkin degan xulosaga kelamiz. Ravshanki, bunga o‘xshash xulosani oddiy algebrada 
                                                
18
 Ushbu bobning 1- paragrafiga qarang. 
19
 Ushbu bobning 2- paragrafiga qarang. 

 
 
tasdiqlash mumkin emas. Ixtiyoriy mantiqiy ifodani faqat 
 ,   , 

 belgilar qatnashgan teng kuchli 
mantiqiy  ifoda  bilan  almashtirish  mumkinligi  mulohazalar algebrasining ko‘plab  amaliy tatbiqlarga 
egaligidan darak beradi. 
Mantiqiy ifodada ishtirok etuvchi 
  belgisini    va 

 belgilari orqali hamda 
  belgisini    va 

 belgilari orqali ifodalash mumkin. Bu tasdiq ikki karra inkorni o‘chirish qonuni va de Morgan