Алгоритмларни лойиҳалаш

“Алгоритмларни лойиҳалаш” фанидан маърузалар матни
Маъруза №8
8-СИГНАЛНИ ЕТАКЧИ ГАРМОНИКАСИНИ АЖРАТИШ АЛГОРИТМИ.
СПЕКТРАЛ ТАҲЛИЛ
Аввалги маърузада рақамли ахборотни Фурье тригонометрик қаторига ёйиш услуби ва назарияси билан боғлиқ масалаларни кўриб чиқиб,шундай хулосага келдикки, (0;Т) оралиқда вақт бўйича ёйилган жадвал кўринишидаги ҳар қандай рақамли ахборотни қатор кўринишида ифодалаш мумкин:
(8.1)
Фурье коэффициентлари ларни ҳисоблаш учун (7.8), (7.10), (7.11) формулалар берилган бўлиб, бу коэффициентларни қийматларига кўра (8.1) қаторни хар бир гармоникасининг қабул қилинган сигналдаги улушини таҳлил қилиш мумкин. Бу жараён илмий ва техник адабиётда спектрал таҳлил номини олган. Маълумки,сигналлар хоҳ ёруғлик сигнали бўлсин хоҳ электромагнит сигнал бўлсин тўлқинли характерига эга. Бизни атрофимиздаги эфир ҳам сигналларга тўла. Бу сигналлар маълум частотага эга. Агар қабул қилувчи ускуналарни маълум частотага созласак, бу сигналларни қабул қилишимиз мумкин. Мисол сифатида телевизор экранини ёдга олишимиз етарли, унда кўплаб каналлар томонидан трансляция қиладиган кўрсатувларни томоша қиламиз ёки радиоприёмникни олсак у орқали турли радиостанциялар эшиттиришларини тинглашимиз мумкин бўлиб,бу радиостанцияларни ҳар бири ўз частотасига эга.
Бизга маълумки , ёруғлик тўлқини ўз ичига турли рангларни қамраб олиб, бу рангларни хар бири ўзига мос узунликдаги тўлқинга ёки частотага эга.
Табиатда ва техникада турли рангларни уйғунлашиши ёки спектрлар бўйича ёйилиши ҳодисаларига дуч келамиз.Камалак ёки кўзгудан аксланган қуёш нурини ёдга олайлик. Бу ҳодисаларни барчасида ёруғлик нурини(сигналини) спектрларга таббий ҳолда тарқалиши рўй бериб рангларни жойлашиш тартиби тўлқинларни узунлигига мос келади. Бу жараённинг математик асосига ва спектрлар бўйича ёйилиш услубининг математик жихатини кўриб чиқайлик.
Бунинг учун (8.1) қаторга қайтамиз. Гармоникаларни амплитудасини аниқлайлик:
(8.2)
Агар (8.1) қатор текис яқинлашувчи бўлса, у ҳолда функция нормаси қуйидаги формула бўйича аниқланиши мумкин:
(8.3)
Таъкидлаб ўтиш керакки (8.1) қатордаги ва (8.3) формуладаги амалий ҳисолашларда талаб қилинган аниқликга эришиш учун етарли бўлган қаторларни чекли йиғиндиси билан чекланилади.
Масаланинг амалий қисмига ўтамиз. Ҳисоблашлар (8.2) формулага кўра маълум n=N гача амалга оширилган бўлсин, бу ерда N (8.1) қаторнинг ҳисобга олинган қўшилувчилари сони. қийматларга кўра сигнални етакчи гармоникаларини аниқлайлик. Бунинг учун қийматларни солиштирамиз. Агар лардан бирортаси,масалан бошқалардан битта ёки иккита тартибга катта бўлса,ушбу гармоника етакчи деган хулосага келамиз ва қабул қилинган сигнал сифатида айнан шу гармоника олинади:
(8.4)
ва (8.4) формулани ўзгартирилиши мумкин деб ҳисобланади.
Айтайлик:

унда (8.4) қуйидагича ёзилиши мумкин:

где
ва қабул қилинган сигнал амплитудаси га тенг, фазанинг бошлангич силжиши га тенг деб ҳисобланади. Сигнал частотаси формулага кўра аниқланади. Шундай қилиб, биз қабул қилинган сигнални аниқлик талабларига жавоб берувчи математик модели (8.4) ни аниқлаймиз.
Баъзи ҳолларда етакчи гармоникалар бир нечта бўлиши мумкин. Бу ҳолда сигнални моделлаштириш алгоритмини кўрайлик. Агар қийматларни солиштириш жараёнида уларни баъзилари,масалан бир хил тартибдалиги аниқланган бўлса ва бошқа лардан бир неча тартибга устун бўлса, у холда етакчи гармоника сифатида айнан шу гармоника олинади ва (8.1) формулада фақат шу гармоникалар қолдирилади, яъни:
(8.5)
Шундан сўнг (8.5) формулага кўра хар бир ҳисобга олинган гармоника улушини аниқлаш бўйича спектрал таҳлил ўтказилади. Қуйидаги усул мумкин бўлган усуллардан бири сифатида олинади:
(8.6)
(8.6) формулалар ҳар бир гармоника улушини фоиз нисбатида аниқлаб беради
Спектрал таҳлил усули мувафақиятли кўлланилаган бир катор амалий масалаларни кўрайлик. Геологияда фойдали қазилмаларни қидируви жараёнида аввалари намуна йигиш усули қўлланилиб, бу намуналарни кимёвий таҳлили асосида алоҳида ҳар бир элементни мавжудлиги фоизи аниқланар эди. Бу жараён етарлича меҳнат ва вақт талаб қилар эди. Масалан ер ва тоғ қаъридан намуналарни йиғиш катта моддий ва молиявий харажатларни талаб қилади. Охириги йилларда анча замонавий ва самарали услуб қўлланиб борилаяпти.
Текширилаётган майдонинг ер қаърига электромагнит тўлқин юборилади ва акс этган тўлқинлар текширилади. Бунда юқорида келтирган услуб қўлланилади. Ҳар бир кимёвий элемент ўз акслантириш частотаси диапазонига эга бўлиб, бу частотага кўра ушбу элементни текширилаётган ер майдонида мавжуд бўлиш фоизи аниқланади. Ушбу маълумотларга кўра у ёки бу минералларга бой конлар аниқланиб, сўнг конларда ишлаб чиқаришни ўзлаштиришга ўтилади. Бу усул космик татқиқотларда ҳам муваффақиятли қўлланилади. Узоқ сайёралар,уларни атмосфераси ёки етарлича узоқликдаги юлдузларнинг кимёвий таркибини намуналар олиш йўли билан ўрганиб бўлмайди. Бундай ҳолларда хам текширилаётган объектлардан тарқалувчи нур тўлқинларидан фойдаланилади. Бу тўлқинларни спектрал таҳлили натижасида ўрганилаётган объектларни кимёвий таркиби аниқланади. Аниқликни ошириш мақсадида космик аппаратлар қўлланилиб, улар ўрганилаётган объектларга яқин масофага келганда объектлардан тарқалаётган сигналларни йиғиб боради ва ушбу сигналларни ерга йўллайди. Бу сигналларни таҳлил қилиш натижасида, космик татқиқотлар марказида глобал масалалар ҳал қилинади ва катта-катта кашфиётлар яратилади.
Таърифланган алгоритм асосида программа тузилган ва синов ҳисоб-китоблари ўтказилган. Уларни натижаси ушбу усул самарадорлигини кўрсатади. Дастлабки маълумотлар жадвал кўринишида келтирилган:

i	ti	fi
0	0	0,9
1	1,5625E-07	-1,13064
2	3,125E-07	-2,49063
3	4,6075E-07	-2,40226
4	6,25E-07	-0,097656
5	7,8125E-07	1,13406
6	9,375E-07	2,50293
7	1,09375E-06	2,40724
8	1,25E-06	0,903125
9	1,40625E-06	-1,12029
10	1,5625E-06	-2,49707
11	1,71875E-06	-2,40148
12	1,875E-06	-0,097656
13	2,03125E-06	1,13320
14	2,1075E-06	2,50137
15	2,34375E-06	2,4049
16	2,5E-06	0,9

Жадвалдан кўриниб турибдики: Тавсияга кўра, ҳисоблашлар чегарасида ўтказилган. Натижада Фурье коэффициентлари олинган. Қуйида гармоникалар амплитудасининг ҳисобланган қийматлари келтирилган:

Натижалар кўрсатадики, берилган ҳолда иккинчи гармоника етакчи бўлади, чунки унинг амплитудаси қолганлардан тартибга каттароқ. Демак ушбу гармоникани асос қилиб олса бўлади ва сигнални мос кўринишда ифодалаш мумкин. Ҳисоблаш натижаларидан маълумки:

Сигнал частотаси формулага кўра аниқланади. Бизнинг ҳолда:
Шундай қилиб, сигнал учун формула ҳосил қиламиз:

Солиштириш учун ҳосил қилинган формула бўйича ҳисоблашлар олиб борилган ва дастлабки жадвал қийматларидан четланишлар хисобланган. Бунда бу четланишлар қиймати модульга кўра оралиқда бўлган, бу эса нисбий хатоликнинг ташкил этади ва бу қиймат йўл қўйиш мумкин бўлган амалий хатолик чегарасига мос.