Алгоритмы решения интегралов

МИНИСТЕРСТВО ПО РАЗВИТИЮ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И КОММУНИКАЦИЙ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАНА
ТАШКЕНТСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ИМЕНИ МУХАММАДА АЛЬ-ХОРАЗМИ
Лабораторная работа №1
по предмету: “Проектирование алгоритмов”

Тема: Алгоритмы решения интегралов

Проверил: Асадов К.У.

Выполнил(а): Сайфуллаев Б.
Группа: 321-19

Ташкент-2021 г.

План
1) Теоретическая часть
2) Пример
3) Решение
4) Алгоритм блок-схема
5) Код программы
Результат программы
7) Выводы

1.Теоритическая часть
Метод парабол (Симпсона) - суть метода, формула, оценка погрешности, иллюстрация.
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и нам требуется вычислить определенный интеграл  .
Разобьем отрезок [a; b] на n элементарных отрезков  длины  точками  . Пусть точки  являются серединами отрезков  соответственно. В этом случае все "узлы" определяются из равенства  .
Суть метода парабол.
На каждом интервале  подынтегральная функция приближается квадратичной параболой  , проходящей через точки  . Отсюда и название метода - метод парабол.
Это делается для того, чтобы в качестве приближенного значения определенного интеграла  взять  , который мы можем вычислить по формуле Ньютона-Лейбница. В этом и заключается суть метода парабол.
Геометрически это выглядит так:

Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона).
Красной линией изображен график функции y=f(x), синей линией показано приближение графика функции y=f(x) квадратичными параболами на каждом элементарном отрезке разбиения.

Вывод формулы метода Симпсона (парабол).
В силу пятого свойства определенного интеграла имеем  .
Для получения формулы метода парабол (Симпсона) нам осталось вычислить  .
Пусть  (мы всегда можем к этому прийти, проведя соответствующее геометрическое преобразования сдвига для любого i = 1, 2, ..., n).
Сделаем чертеж.

Покажем, что через точки  проходит только одна квадратичная парабола  . Другими словами, докажем, что коэффициенты  определяются единственным образом.
Так как  - точки параболы, то справедливо каждое из уравнений системы

Записанная система уравнений есть система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных переменных  . Определителем основной матрицы этой системы уравнений является определитель Вандермонда  , а он отличен от нуля для несовпадающих точек  . Это указывает на то, что система уравнений имеет единственное решение (об этом говорится в статье решение систем линейных алгебраических уравнений), то есть, коэффициенты  определяются единственным образом, и через точки  проходит единственная квадратичная парабола.
Перейдем к нахождению интеграла  .
Очевидно:

Используем эти равенства, чтобы осуществить последний переход в следующей цепочке равенств:

Таким образом, можно получить формулу метода парабол:

Формула метода Симпсона (парабол) имеет вид
.
Оценка абсолютной погрешности метода Симпсона.
Абсолютная погрешность метода Симпсона оценивается как 



2.Пример
[последний 2 цифра номер групп] = 21; [Jurnal N] = 17; [Variant] = (21+17) mod 29 + 1 = 9. Значит, я буду выполнять 0- задание 9- вариант.

3.Решение

График функции



Начало
4.Алгоритм блок схема


a b n






h=(b-a)/(2n)





x=a;i+=x^-1*e^x





I=1;i








x=a+(2i-1)*h





I+=F1+f2

f1=x^-1*e^x




f2=x^-1*e^x

x=a+2i*h



x=b
i+=x^-1*e^x



I=i*h/3





I





конец


5.Код программы


6.Результат программы





7.Вывод
В данной лабораторной работе мы узнали как использовать метод Симпсона для нахождения интеграла функции. Мы использовали редактор Visual Studio Code и язык программирования Python для написания кода и выполнения нашего алгоритма. Как мы увидели точность программы и подсчетов через калькулятор показали разность в через что мы можем делать выводы что наш алгоритм можно считать приблизительно точным.