Algebraik tenglama va tengsizliklar’’

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI

OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
ZAHIRIDDIN MUHAMMAD BOBUR NOMIDAGI ANDIJON DAVLAT UNIVERSITETI

FIZIKA-MATEMATIKA KAFEDRASI

Matematika yo’nalishining
3-kurs 3M16-guruh talabasi
Mo’ydinov Abdulloning
,,Algebraik tenglama va tengsizliklar’’
mavzusidagi
KURS ISHI

Qabul qildi: S.G’ulomov

Bajardi : AMo’ydinov


Reja:
I.Kirish.
II.Tenglama va tengsizliklarning teng kuchliligi.
III.Tenglama,tengsizliklar va ularning sistemalarini asosiy sinflarini o’rganish metodikasi.
IV.Bir noma’lumli chiziqli tenglamalar.
V.Ikki noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi.
VI.Irratsional tengsizliklar


Kirish
Tenglama va tengsizliklar, ularga bog’liq bo’lgan materiallar o’rta maktab matematika kursining katta qismini o’z ichiga oladi. Chunki, tenglama va tengsizliklar matematikaning turli bo’limlarini o’rganishda amaliy mazmundagi masalalarni hal etishda keng qo’llaniladi.
Ma’lumki, qadimgi misrliklar va vavilonliklar matematik xarakterdagi masalalarni yechishda sonli hisoblash usuliga asoslangan edilar. Ammo, kundalik hayotda ham, matematikani o’rganishda ham shunday masalalar uchraydiki, ularni tenglama yoki tengsizliklar sistemasi yordamidagina hal etish mumkin. Dastlabki vaqtlarda bunday masalalarni yechishda arifmetik metodlardan foydalanilgan. Keyinroq esa algebraik tasavvurlar shakllana boshlangan. Masalan. vaveloniyalik hisobchilar ikkinchi darajali tenglamalarni yecha bilganlar. Hunday qilib, matinli masalarni yechish metodi hosil qilinib, u keyinchalik algebraik komponentlarni ajratishda va uning no’malumini o’rganishda qo’llaniladi. Bunday tadbiqlar boshqa davrlarda oldin arab matematiklari ayrim amallar (o’xshash tenglikning hadlarini xchamlash, tenglamani, hadini bir tomondan ikkinchi tomonga teskari ishora bilan utkazish) yordami bilan tenglamalarni standart ko’rinishga keltirganlar. So’ngra esa bu ish Yevropa matematiklari tomonidan amalga oshirilgan. Ko’p izlanishlar natijasida hozirgi zamon algebrasining tili (xarflardan foydalanish arefmetik amal belgilari, qavslar va h.k) yuzaga keldi.
XVI-XVII asrlarda algebra matematikaning maxsus bir qismi sifatida o’zining predmeti metodi, qo’lanilish sohasiga ega bo’ldi. Kelgusidagi taraqiyoti esa uning metodining mukamallashuvi, qo’llanilish sohasining kengayishi, tushunchalarini aniqlash va matematikaning boshqa sohalari tushunchalari bilan bog’lanishi ustida bordi. SHu davr ichida algebraik tushuunchalar ichida tenglama tushunchasining muhimligi yaqqolroq sezila borildi. Koordinatalar metodining (Dekart XVIII asr) yaratilishi, analitik geometriyaning rivojlanishi algebrada faqat sonlar sistemasiga bog’liq bolgan masalardan tashqari, turli xil geometrik figuralarning xossalarini o’rgaanishiga ham imkon yaratdi.
Bunday imkoniyaatlar algebrada tenglamalarni asosiy tushuncha sifatida uchta muhim yo’nalish bo’yicha o’rnini mustahkamladi:

1. 
   Tenglama – matnli masalarni yechishdagi muhim vosita ekanligi ,
   
2. 
   Tenglama – algebraik obyektlarni o’rganadigan maxsus formula sifatida,
   
3. 
   Tenglama – tekislikdagi (fazodagi) nuqtalarning koordinatalari qiymatini aniqlovhi maxsus formula sifatida.
   

Bu har bir yo’nalishning o’ziga xos ijobiy tomoni mavjud. Demak. Tenglama umummatematik tushuncha bo’lib ko’p yo’nalishlidir. Bu yo’nalishlarni birortasini ayniqsa maktab matematikasida etiborda chiqarib bo’lmaydi.
Endi tenglama va tengsizliklar tusshunchalarini shakllantirishga to’xtalib o’taylik. biror to’plamidagi elementni harfi bilan belgilaylik. shu to’plamdagi boshqa elementga mos kelmasin. Agar elementning nomi (ismi) bo’lsa, uni deyish mumkin. SHu elementni boshqa nom biror deb atashimiz mumkin. ham dagi boshqa biror elementga mos kelmaydi. Agar va yagona bir elementni ifodalasa, u holda bu elementlar mos keladi yoki ayniy deyilib, ko’rinishda yoziladi. Ayniy elementlarni ko’pincha teng elementlar ham deyilib, bunday munday munasabatni ko’rinishda yoziladi. Misol uchun, aniqlanish sohasidagi argumentli funktsiyalar to’plamida tenglik munosabati quydagicha aniqlanishi mumkin.
Agar nuqtada va funksiyalarning qiymatlari teng bo’lsa, bunda va funksiyalar teng deyiladi. Bu yerda va lar funksiyalar har xil ko’rinishdagi idolalari bo’lib kelgan. Matematikada tenglik tushunchasiga umumiyroq yondashadilar : ikki va analitik ishorasi bilan bog’lansa, tenglikni hosil qiladi.
tenglikning bunday ta’rifi, ayniqsa tenglama tushunchasini bayon qilishda munozaralarga sabab bo’ladi. munozara yurituvchilarning har xil qatnashchilari, ifodalarda tenglik munosabati bo’lmasa (mazmuniga ko’ra ma’nosida), uholda munosabatini to’g’ri bo’lmagan tenglik deb atashni, ikkinchi xil munozara yurituvchilar esa bunday nuqtai nazarni noo’rin, to’g’ri bo’lmagan tenglik bo’lmaydi deb hisoblaydilar.
Yuzaga kelgan bunday anglashilmovchilikni matematik nuqtai nazari bo’yicha hal qilish mumkin. Agar va sonli ifodalar bo’lsa, munosabat jumlaning simvolik yozuvi sifatida qaraladi: ifodaning qiymati ifodaning qiymatiga teng bo’ladi. jumla chin yoki yolg’on bo’lishi mumkin. Agar jumla yolg’on bo’lsa, u holda munosabat to’g’ri bo’lmagan tenglik deyiladi. Agar ifoda yoki ifoda (yoki ikkalasi) o’zgaruvchilardan iborat bo’lsa, u holda munosabat jumla bo’lmaydi, bunday holda uni predikat dyiladi. va ifodalardagi o’zgaruvchilar o’rniga qiymatlarini qo’ymaguncha uning chimligi to’g’risida gapira olmaymiz. Masalan, ifodaning qiymatiga teng “ jumlasini ifodalovchi predikatga qiymatda chin, da yolg’on jumlaga aylanadi. Tenglama tushunchasining har xil ta’riflarida oshkor yoki oshkor bo’lmagan holda va funksiyalarning argumentlarning qiymatlari sistemasida va funksiyalarning qiymatlarining tengligi izlanadi.
Agar biror to’plamning va elementlari tenglik munosabatida bo’lmasa ( va nomlar turlicha predikatlar) ular tengsizlik munosabatida bo’ladilar deyiladi. Bu munosabat ko’rinishida yoziladi. Haqiqiy sonlarda “kichik” munosabati mavjud. Bu munosabatdan foydalanib quydagi ta’riflarni kirita olamiz : va haqiqiy sonlarni ayirmasi manfiy bo’lsa, u holda soni sondan “kichik” deyiladi, va ko’rinishida yoziladi. Agar bo’lsa, u holda soni dan “katta ” deyiladi va ko’rinishda yoziladi.
Haqiqiy sonlar to’plamida “katt emas”, “kichik emas” munosabatlar ham mavjud.
Agar soni manfiy yoki nolga teng bo’lsa (ya’ni munosabat bo’lmaganda), u holda soni dan katta emas deyiladi va ko’rinishda yoziladi. munosabatlari umumiy holda tengsizlik deb yuritiladi. va va tengsizliklari qarama-qarshi ma’nodagi tengsizliklar, va , va tengsizliklar bir hil ma’noli munosabatlar deyiladi.
Tengsizlik tushunchasi uchun quydagicha formal xarakteristika mavjud :
va ikki analitik ifoda yoki bilan birlashtirilsa yoki tengsizlik hosil qilinadi. Ma’lum bir ko’rinishdagi tenglamalarning (tengsizliklarning) chiziqli, kvadrat, darajali, ratsional, irratsional, soddatrigonometrik, ko’rsatkichli va logarifmik deb atalishi shu ko’rinishdagi funksiyalardan keyin kiritiladi va o’rganiladi.
Endi (tengsizlik) turlariga to’xtaylik:

1. 
   Agar va algebraik funksional bo’lsa, tenglama tengsizligi) algebraik deyiladi.
   
2. 
   va funksiyalardan kamida bittasi transsendent bo’lsa, bunday tenglamalar (tengsizliklar) transsendent deyiladi.
   
3. 
   va ratsional funkasiyalar bo’lsa tenglamalar (tengsizliklar) ham ratsional deyiladi.
   
4. 
   va funksiyalardan kamida biri irratsional bo’lsa, tenglamalar (tengsizliklar) irratsional deyiladi.
   
5. 
   standart ko’rinishidagi ko’phad bo’lib, mos holda birinchi, ikkinchi, uchinchi, darajali bo’ganda, ( ) chiziqli (birinchi darajali), kvadrat (ikkinchi darajali), kubinchi ( uchinchi darajali), chi ( darajai) tenglamalar (tengsizliklar) deyiladi.
   

Tenglamalar va tengsizliklar tushunchalari yordamida borliqning o’zaro bog’lanish qonuniyatlarini o’rganish mumkin, bu esa o’quvchilarda ma’lum darajada qiziqish o’rgatadi. Faqat bugina emas tenglama va tengsizliklarning har bir mavzusini o’rganishda o’quvchilarning nazariy bilimlarini mustahkamlash chuqurlashtirish, takrorlash va kengaytirish, natijda esa ularning matematik faoliyatlarini ijodiy rivojlantirish imkoni yuzaga keladi.
Matematikaning turli bo’limlariga oid masalalarini tenglama va tengsizlik yordamida yechish arifmetika, algebra, geometriyaning yagona matematika fanining turli ko’rinishlardagi ifodalari ekanligini anglashga yordam beradi. Ishlab chiqarish, xalq xo’jaligiga predmetlararo masalalarni tenglama va tengsizliklar yordamida yechish politexnik ta’limni amalga oshirishga matematika o’qitishni kundalik hayot bilan bog’lashga, o’qituvchilarni kasbga to’g’ri yo’naltirishga yordam beradi. SHu sababdan ham o’rta maktabda tenglama va tengsizliklarni o’rganish muhim o’rinni egallaydi.
Matematiklarning va metodistlarning tenglama tushunchasini yoritish yuzasidan turli qarashlari mavjud. Ko’pchilik hollarda tenglama masalaning analitik ko’rinishi sifatida ifodalanib, o’zgarishlarning shunday qiymatlar to’plami izlanadiki, bunda tenglamaning chap va o’ng tomonidagi ifodalar teng qiymatlarni qabul qiladi. Bunday yondashish tenglama tushunchasidan foydalanishni birmuncha chegaralab qo’yadi. “Tenglama” termini ko’pincha masalani yechimiga etibor qilmay ham ishlatamiz. Masalan, “urinmaning tenglamasi” “nuqta harakatining tenglamasi” va hokazo.
O’rta maktabda IV-sinf matematika darsligida ishlatilgan ta’rifdan foydalanish qulay. Tenglama noma’lumli tenglikdir. Tenglamaga misol qilib, ifodalarni ko’rsatish mumkin. Tenglama va tengsizliklarga o’zgaruvchili jumlalarning xususiy bir ko’rinishi sifatida qarashimiz mumkin. Bu fikrni batafsil qarab o’taylik. . Bu tenglama va tengsizliklarning chap va o’ng tomoni sonli ifodalardan iborat bo’lgani uchun ma’noga ega. Bularning har birini chin yoki yolg’onligi haqida gapirish mumkin. SHu sababdan chap va o’ng tomoni sonli tenglik va tengsizliklardan iborat bo’lgan ifoda ma’noga ega bo’lsa, jumla sifatida qarash mumkin.
o’zgaruvchili tenglama va tengsizliklar jumla bo’lmaydi. Agar o’zgaruvchili tenglama (tengsizlik) da o’zgaruvchi o’rniga shunday qiymat qo’yilsaki, unda tenglama (tengsizlik) ning ikkala qismi ham ma’noga ega bo’lsa, u holda chin yoki sonli tenglik (tengsizlik) hosil bo’ladi. Bu yerda o’zgaruvchilar o’rniga qiymatlar qo’yish to’g’risida bormoqda. Demak, har bir tenglama yoki tengsizlikdagi o’zgaruvchilar o’rniga ma’lum qiymatlarni qo’yganda chin yoki yolg’on jumlalar hosil bo’ladi.
Bir o’zgaruvchili tenglama (tengsizlik) ni yechimi deb uni to’g’ri sonli tenglikka (tengsizlikka) aylantiradgan o’zgaruvchining qiymatiga aytiladi. Bir o’zgaruvchili tenglamaning yechimini uning ildizi deyiladi. Bir necha o’zgaruvchili tenglamalarni (tengsizliklarni) yechish ham shunga o’xshash amalga oshiriladi. Tenglama (tengsizlik) ni yechish uni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarini topish demakdir.
TENGLAMA VA TENGSIZLIKLARNING TENG KUCHLILIGI.
Matematikada tenglama va tengsizliklarning tengkuchlilik masalasi mazmun jihatdan juda yaqin va o’zaro bog’liqdir. Biror tenglamaning tenglamalar sistemasiga, tengsizlikni esa tenglamalarga teng kuchli bo’lishini ko’p uchratish mumkin.
Misollar keltiraylik :

1. 
   tenglma quydagi ikki va tenglamalarga teng kuchli.
   
2. 
   tenglama tenglamalar sistemasiga teng kuchli.
   
3. 
   tenglama qatiyb bo’lmagan tengsizlikka teng kuchli.
   
4. 
   tenglama tenglamalar sistemasiga teng kuchli.
   
5. 
   tengsizligi tengsizliklar sistemasiga teng kuchli.
   
6. 
   tengsizligi yoki tengsizliklar sistemalariga teng kuchli.
   
7. 
   tengsizligi tenglamaga teng kuchli.
   

Bu misollardan ko’rinib turibdiki, tenglama, tengsizlik va ularning sistemalari orasidagi teng kuchlilikni bir-biridan ajratib o’rganish maqsadga muvofiq emas ekan.
Tengkuchlilik tushunchasi “dan kelib chiqadi” tushunchasiga asoslanadi. Bu tushunchaning ma’nosini quydagi misolda tushuntiramiz tenglamani tenglama ko’rinishiga (tenglikni ikkala tomonini kvadratga ko’tarish orqali) keltirish mumkin. Bundan ko’rinadiki ning biror qiymatida tenglama to’g’ri sonli tenglikka aylansa, o’zgaruvchining o’sha qiymatida tenglamasi ham to’g’ri sonli tenglikka aylanadi. Bundan berilgan tenglikdan ikkinchi tenglama kelib chiqadi deyiladi. Ikkinchi bir misolni ko’raylik : tengsizligidan tengsizligi kelib chiqadi.
Haqiqatdan ham, ning biror qiymatida berilgan tengsizlik to’g’ri tengsizlikka aylanadi . u holda va shartidan “kichik” munosabatning tranzitivlik xossasiga asosan to’g’ri (chin) tengsizligi kelib chiqadi, ya’ni soni ikkinchi tengsizlikning yechimi bo’ladi.
Demak, birinchi tengsizlikning har bir yechimi ikkinchi tengsizlikni yechimi bo’ladi, ya’ni birinchi tengsizlikdan ikkinchi tengsizlik kelib chiqadi.

TENGLAMA, TENGSIZLIK VA ULARNING SISTEMALARINI ASOSIY SINFLARINI O’RGANISH METODIKASI.
Tenglama, tengsizlik va ularning sistemalarini ikki gruppaga bo’ish mumkin :
Birinchi gruppa – ratsional tenglamalar, tengsizliklar va ularning sistemalari. Bu gruppada muximlari bir noma’lumli chiziqli tenglamalar, kvadrat tenglamalar va bularga mos tengsizliklar, ikki noma’lumli chiziqli tenglama (tengsizliklar) sistemasi hisoblanadi.
Ikkinchi gruppa – irratsional va trantssendent tenglamalar, tengsizliklar va ularning sistemalari. bu gruppa sostaviga irratsional, ko’rsatkichli, logarifmik, trigonometrik tenglamalar va ularga tegishli tengsizliklar kiradi.
To’liqsiz o’rta maktab algebra kursida o’quvchilar birinchi gruppaga tegishli bilimlarini to’liq egallaydilar. Yuqori sinf algebra va analiz assoslari kursida ikkinchi gruppaga tegishli materiallrni xususiy ko’rinishlari va ularning ayrim rurlarini o’rganadilar. Umumiy holda to’lig’icha algebra va analiz kurslarida oliy o’quv yurtlarida tanishadilar.
Turli ko’rinishdagi tenglamalar, tengsizliklar va ularning sistemalarini o’rganish ketma-ketligi turli darsliklarda turlicha talqin etiladi. Bularni asosan ikkiga ajratish mumkin.

1. 
   Oldin tenglamalar va ularning sistemalari, so’ngra esa tengsizliklar o’rganiladi. Bunday usul kbadrat uchhadlarni o’rganish bilan tugaydi. Yuqori sinflarda logarifmik, ko’rsatkichli va trigonometrik tenglamalar va ularga mos tengsizliklar bir-biriga bog’liq holda o’rganiladi.
   
2. 
   Asosiy tengsizliklar sinflari o’zlariga mos tenglamalardan so’ng o’rganiladi. Bu usullarning mavjudligi o’ziga hos ijobiy va salbiy xususiyatlarga ega.
   

BIR NOMA’LUMLI CHIZIQLI TENGLAMALAR.
Bu sinfdagi tenglamalarni o’rganishga algebra kursiga birinchi kirishiladi. SHu sababdan bunday tenglamalarni o’rganish xarakterining muhimligi kelgusidagi tenglama tengsizliklarni o’rganishda muhim o’rinni egallaydi. Bir noma’lumli chiziqli tenglamalarni o’rganish borasida tenglama tushunchasini umumiy holda shakillantirish, tenglama termnini kiritilishi singari savollarga duch kelinadi.
Tenglama tushunchasiga ta’rif berishda o’qituvchi birinchi marta metodik izlanishga majbur bo’ladi. bunday holatda algebraik usulda yechiladigan bir noma’lumli birinchi darajali tenglamaga keltiriladigan uncha murakkab bo’lmagan tekstli masaladan foydalanish maqsadga muvofiq. O’quvchilarning masala yechish mobaynida diqqatini asosiy usulm bo’lgan umumiy ko’rinishi (bu yerda va lar bir xil noma’lumli ifodalar) bo’lgan algebraik modelga o’tkazishga qaratilmog’i kerak bo’ladi.
So’ngra o’qituvchi aniq formula analizi orqali darslikdagi tenglama tarifini beradi va unga tegishli terminlarni kiritadi. Birinchi darajali bir noma’lumli tenglamaga darsliklarda turlicha ta’ris beradilar. Masalan, Makarechev Y.N. va boshqalar “Algebra 6-sinflar uchun darslik” (S.A. Telyakovskiy taxriri ostida) kitobida quydagi ta’rif keltirilgan : Bir noma’lumli tenglama deb ko’rinishidagi tenglamaga aytiladi. Bu yerda noma’lum, va lar ma’lum sonlardan iborat. Tenglamaga berilgan bunday ta’rif juda tor ma’noga ega bo’lib, xattoki eng sodda masalalarni yechishga ham yetarli emas.
SH. A. Alimov va boshqalarning “Algebra 6-8-sinflar uchun” kitobida birinchi darajali bir noma’lumli tenglamaga aniq ta’rif berilmay, misollar yechimlari orqali tushuntiriladi. Kitobda asosiy e’tibor ketma-ket shakl almashtirish qoidasidan foydalanilgan holda tenglama ko’rinishiga keltirilishi ko’rsatiladi. Bu usulda o’quvchilar tenglama haqida yetarli hajmda tasavvurga ega bo’la olmaydi.
Tenglama ta’rifi turli ko’rinishda berilgan bo’lsa ham uni o’rganish metodikasi esa asosan birxildir. Birinchi darajali bir noma’lumli tengalamalarn o’rganishda o’quvchilar quydagi bilimlarni egallashlari lozim : berilgan tenglamani yechish algoritmini bilish, tenglama yechimini tekshirish natijalarini qo’llay olish, tenglamalar umumiy nazariyasidagi asosiy tushunchalarni bilishlari, tekstli masalalarni yechishda shu sinfdagi tenglamalarni qo’llay olishlari lozim.

IKKI NOMA’LUMLI IKKI CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASI.
Bir noma’lumli chiziqli tenglamalar yordamida birgina noma’lum bo’lgan, yoki noma’lumlari ichidan bittasini boshqaari orqali ifodalash mumkin bo’lgan tenglamalarni yechish mumkin.
Ko’pchilik hollarda bir xil xossali birnecha parametrli hodisalar bayon etilishi mumkin. Bunday hodisalarni o’rganish uchun yangi algebraik vosita talab etiladi. SHunday vositalardan biri sifatida algebra kursida ikki noma’lumli ikki chiziqli tenglamalar sistemasi olinadi. Bunday usul yuqoridagi tenglamalar sinfini o’rganish metodikasiga asoslanadi. Mavzuni bayon etishni quydagi masalaga oxshash masalani yechish bilan boshlash yaxshi ntija beradi.
Masala. Bir oila o’z tomorqasiga 41,4 so’mga 26 tup olma va 15 tup gilos ko’chati, ikkinchi olia esa shu narxda 34,2 so’mga 22 tup olma, 12 tup gilos ko’chati o’tqazdi. Har bir tub olma va gilos ko’chatini narxini aniqlang.
Bu masalani eng avval bir noma’lumli tenglama yordamida yechish maqsadga muvofiq. Buning uchun bir tup olma ko’chatini narxini desak, 26 tup olma ko’chati 26 so’m bo’ladi, 15 tup gilos ko’chati esa so’m bo’ladi. Bir tup gilos ko’chati so’m bo’ladi. Ikkala oila ko’chatlarini bir xil narxda olgani uchun quydagi tenglamani tuzamiz :
Tenglamani yechib (bir tub olma ko’chat narxi topildi). Gilos ko’chatini narxini topish uchun tenglamadagi ixtiyoriy bir ifodaga qo’yib 1,2 natijaga ega bo’lamiz.
Demak, olma ko’chati 0,9 so’m, gilos ko’chati esa 1,2 so’m ekan. SHu masalani ikki harf – ikki noma’lum yordamida qanday yechishni ko’raylik. Olma ko’chati narxini so’m, gilos ko’chati narxini esa so’m deb belgilasak, masalaning shartiga asosan quydagi tenglamalarni tuzamiz.

Masalani yechish uchun ikkala tenglamani ham qanoatlantiruvchi va ni qiymatlarini topish kerak, ikkinchi xil aytganda tenglamalarni birgalikda yechish kerak. SHunday hollarda birinchi darajali, ikki noma’lumli tenglamalar sistemasi berilgan deyilib, ikkalasini birgalikda qavsga olinadi.

O’quvchilarga masalaning yuqorida berilgan qiymatlari sistemali javoblari bo’lish bo’lmasligini mustaqil tekshirib ko’rish topshiriladi. Bunday masalalarni yechgandan so’ng sistemaga ta’rif berish mumkin :

1. 
   Bir xil noma’lumlar bitta kattalikni ifodalovchi ikki yoki birnechta tenglama - tenglamalar sistemasini tashkil etadi.
   
2. 
   Ikki tenglama sistemasini yechish undagi noma’lumlarni qanoatlantiruvchi qiymatlarini topish demakdir. Noma’lumlarni qanoatlantiruvchi shunday qiymatlar juftiga sistemaning yechimi deyiladi. Bunday tushuncha bilan ikki noma’lumli tenglamaning yechimi ixtiyoriy son bo’lmay balki tartiblangan juftidan iborat muxim yangi tasavvurga ega bo’ladi.
   

Ikki noma’lumli ikki tenglama sistemasini

Umumiy ko’rinishini ko’rsatish foydali bo’ladi. Mavzuni o’tishda, o’rniga qo’yish, qo’shish usullari yordamida ikki noma’lumli ikki tenglama, sistemasini mustaqil yechishga va bunday sistemaga keluvchi masalalarni hal qilish ko’nikmalariga ega bo’lishga o’quvchilarni diqqatlarini qaratmoq kerak. Ikki noma’lumli ikki tenglama sistemasini grafik usulda yechishda sistemaning yagona cheksiz ko’p yechimlariga ega bo’lgan hamda yechimlari mavjud bo’lmagan hollarga alohida e’tibor qilish lozim bo’ladi.

KVADRAT TENGLAMALAR.
Sakkiz yillik maktablarda kvadrat tenglamalarni yechish va u yordamida masalalarni hal qilish muhim o’rinni egallaydi. SHu sababdan bu mavzuni o’tishda o’qituvchidan kvadrat tenglamani turli ko’rinishlarini yechishni sodda va qulay usullarini, eng muhimi kvadrat tenglama keltiriladigan masalalarni yechish ko’nikmalarini o’quvchilariga puxta o’rgatishga alohida e’tibor qilish lozim. (bu yerda ) ko’rinishidagi tenglama kvadrat tenglama deyiladi. Kvadrat tenglama ildizlarining soni ifodaning musbat, manfiy yoki nolga teng bo’lishiga bog’liq. ifoda kvadrat tenglamaning diskriminanti deyiladi va odatda harfi bilan belgilanadi.
Agar :

1. 
   bo’sa, tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo’lmaydi.
   
2. 
   bo’lganda tenglama yagona ildizga ega bo’ladi.
   
3. 
   bo’lganda esa berilgan tenglama ikkita ildizga va ega bo’ladi. umumiy holda (bu yerda ) ko’rinishida yoziladi. Ko’pchilik algebra kitoblarida yuqoridagi formuladan tashqari keltirilgan kvadrat tenglama uchun quydagi formuladan bu yerda foydalaniladi. Kvadrat tenglamani yechishni o’quvchilar 7-sinfda o’rganadilar. Keyingi sinflarda esa bu mavzuga doir har xil misol va masalar orqali uni takrorlaydi va ayrim xossalari bilan tanishadilar. (bu yerda – uchinchi yoki undan yuqori darajada bo’lgan ko’phad) korinishidagi tenglamalarni, berilgan ko’phad birinchi yoki ikkinchi darajali ko’phadga ega bo’lgan ko’paytuvchilarga ajratish bilan, yordamchi o’zgaruvchi kiritish bilan yoki ko’rinishiga keltirish bilan yechadilar. Aytaylik ko’rinishidagi tenglamani yechish lozim bo’lsin. tenglamadagi ko’phadni ko’paytuvchilarga ajratib quydagiga ega bo’lamiz :
   

Ifodaning har biri ning har qanday qiymatida ma’noga ega bo’lgani uchun berilgan tenglama yoki yoki tenglamalariga teng kuchli. Demak, berilgan tenglamaning yechimlari -1, -4, 4 sonlardan iborat.
Sakkiz yillik maktablarda yordamchi o’zgaruvchi kiritish bilan yechiladigan tenglamalarga misol qilib bikvadrat tenglamani ko’rsatish mumkin. Bu tenglamani yechishga doir aniq misol ko’raylik
Tenglamadagi orqali belgilab, ga ega bo’lamiz. Butenglamani yechib ikkita ildizga ega bo’lamiz. Demak, berilgan bikvadrat tenglama yoki larga teng kuchli bo’ladi. bu tenglamalarni yechib qiymatlarni topamiz. Bu qiymatlarni berilgan bikvadrat tenglamaning ildizlari bo’ladi. ko’rinishidagi tenglamani unga teng kuchli tenglamaga almashtirish mumkin. toq bo’lganda bu tenglamani tenglamaga teng kuchli bo’ladi. juft bo’lganda : ; hollari bo’lishi mumkin. bo’lganda, tenglama yechimga ega emas. bo’lganda tenglama birgina yechimga ega bo’adi. bo’lganda esa tenglama va ikkita ildizga ega bo’ladi. Demak, ifodalar butun bo’lganda ko’rinishidagi chiziqli yoki kvadrat tenglamaga teng kuchli bo’lgan har qanday tenglamani o’quvchilar yecha oladilar. Agar ko’rib o’tilgan tenglamalar uchinchi yoki undan katta darajali bo’lgan ko’phaddan iborat) tenglamaga teng kuchli bo’lsa, u holda bunday bunday tenglamalarni o’quvchilar maxsus ko’rinishtagilarnigina yecha oladilar. Endi va lar ratsional ifodalar, kamida bittasi kasrli bo’lgan ko’rinishidagi tenglamani yechishni ko’raylik. Uni aniq misollarda ko’ramiz.
(1)
Tenglamasi berilgan bo’lsin. Tenglamani hadini teskari ishora bilan tenglikning chap tomoniga o’tqazib nolga tenglashtiramiz.
(2)

1. 
   tenglama (2) ko’rinishga keltirilganda uning ildizi yo’qolishi yoki yangidan ildizga ega bolishi mumkin. Haqiqatdan ifoda ning qiymatlarida aynan nolga teng. ni nolga aylantiradigan qiymatlarida yangidan ildizga ega bo’lishi mumkin. bu qiymatlar (2) tenglamaning ildizlari bo’la olmaydi, chunki bu qiymatlarda ifoda o’z ma’nosini yo’qotadi. SHu tariqa muhokama yuritib ratsional ifodalar va bularning kamoda bittasi kasrli bo’lganda tenglama tenglamaga teng kuchli bo’ladi. yuqorida ko’rib o’tgan misolga qaytaylik
   

Kasrlarning yig’indisi keltirib, quydagi tenglamaga ega bo’lamiz

(3)tenglamaga (2) va (1) tenglamalarga teng kuchli bo’ladi. kasrli ifodani surat va maxraji ko’phadlardan iborat bo’lganda tenglamani almashtirish natijasida o’ziga teng kuchli bo’lgan tenglamaga har doim o’tish mumkinmi ?
Buni aniq misollarda ko’raylik.
1-misol. (4) tenglamani ko’rinishiga keltiramiz.
Tenglamaning chap tomonidagi ifodalarni qisqartirib, quydagiga ega bo’lamiz. (5)
(5) tenglama (4) ga teng kuchli emas.
Haqiqatdan 2 soni (5) tenglamani qanoatlantiradi, (4) ni esa qanoatlantirmayni.
CHunki ayniy almashtirishda teng kuchlilikka zid ish qilindi, natijada torroq aniqlanish sohasidan unga nisbatan kengroq aniqlanish sohasiga o’tildi, ya’ni ifoda dan boshqa hamma qiymatlarda aniqlangan. oifodasi esa ning istalgan qiymatida aniqlangandir.
2-misol. (6)
Bu tenglamada ayirmani nol soni bilan amashtiramiz. U holda (7) tenglikka ega bo’lamiz. (7) tenglama 6 tenglamaga tengkuchli emas, chunki o’zgaruvchi ning shunday qiymati (3 soni) mavjudki, u (7) ni qanoatlantiradi, (6)ni esa qanoatlantirmaydi. Bu yerda tengkuchlilik buzilgan, ifodaning aniqlanish soxasi ifodaning aniqlanish sohasidan kengroq.
Kamida bittasi kasr bo’lgan ratsional ifodani kasri bilan almashtirilganda ko’phadlarda bajarilgan ayniy almashtirishlar aniqlanish sohalarini o’zgartirmasa, u holda tenglamasi tenglamasiga , bundan esa ga teng kuchli bo’ladi. demak, (4) tenglamaga tenglama teng kuchli. (6) tenglamaga esa yoki tenglamasi teng kuchli.
Xulosa qilib aytganda yuqorida ko’rib o’tgan tenglamaning har xil ko’rinishlari bilan o’quvchilar VII sinfda tanishadilar. Bu usul “traditsion usul” hisoblangan maxrajini tashlab yuborish usulidan qatiy ustunlikka ega.

O’ZGARUVCHISI MODULGA TEGISHLI TENGLAMALAR.
Sakkiz yillik maktablarda o’zgaruvchisi modulga tegishli sodda tenglamalar o’rganiladi. Bunday tenglamalarga ni ko’rsatish mumkin. bunday tenglamalarni yechishda modulning ta’rifiga asosan quydagilarni e’tiborga olish kerak : Agar bo’lsa tenglama ildizga ega bo’lmaydi. bo’lsa, tenglama ga teng kuchli, bo’lganda esa tenglama yoki larga teng kuchli bo’ladi.
Undan tashqari VIII sinf o’quvchilari yoki ko’rinishidagi tenglamalar bilan ham tanishadilar. Bunday tenglamalarga misol qilib tenglamalarni ko’rsatish mumkin. Agar bo’lgandagina tengligi to’g’ri bo’ladi, bo’lganda esa bo’ladi. SHuning uchun ham tenglama ga tengkuchli, tenglamasi esa ga tengkuchlidir. Bir noma’lumli tenglama cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’lgan hol bilan o’quvchilar “Sonning butun va kasr qismi” mavzusi bilan tanishganlarida duch keladilar. Masalan, da ning butun qismini ifodalaydi va tengsizligiga tengkuchli bo’lib, tenglamaning yechimi oraliqda joylashgan bo’ladi. va larning tengkuchliligi sonini butun qismi ta’rifidan kelib chiqadi. Sonning kasr qismi ta’rifidan (bu yerda ning kasr qismi) ning yechimi sonlaridan iborat.
Irratsional ko’rsatkichli va logarifmik tenglamalarni boshqa paragrafda qaraymiz.

BIR O’ZGARUVCHILI TENGSIZLIKLAR.
va butun ifodalar bo’lganda ko’rinishdagi tengsizliklar. Sakkiz yillik maktablarda o’ng va chap tomoni butun ifodalar bo’lgan bir o’zgaruvchili tengsizliklar qaraladi.
Tenglamalarda ko’rib o’tganimizdek, chap va o’ng tomonlari butun ifodalar bo’lgan tengsizlikni ikki tomonga ifodani qo’shib, ayniy almashtirishlardan so’ng berilgan tengsizlikka tengkuchli bo’lgan biror ko’phad tengsizlikni hosil qilamiz ko’phadning darajasiga bog’liq bo’lgan quydagi ko’rinishdagi tengsizliklar hosil bo’lishi mumkin :


va h.k.
Biz va singari tengsizliklarni o’rganish bilan chegaralanamiz.
ko’rinishdagi tengsizlik deyiladi. tengsizlikni yechishni ko’raylik. Bunday tengsizlikni yrchishda va hollar bo’lishi mumkin.
bo’ganda tengsizlikning yechimi ( ) yoki oraliqlarda bo’ladi. va bo’lganda ning yechimi oraliqda joylashgan bo’ladi.
va bo’lganda tengsizlik yechimga ega o’lmaydi.
tengsizligi ham yuqoridagi usulda yechiladi. bo’lganda bu tengsizlikning yechimi yoki oraliqda joylashgan bo’ladi. va bo’lganda tengsizlikning yechimi mavjud emas. bo’lganda esa yechimlari oraliqda joylashgan bo’ladi. CHiziqli tenlama va chiziqli tengsizliklarni yechish algoritmlari bir-biriga o’xshash. SHu sababdan bu tomonlarni birgalikda o’rganish chiziqli tengsizliklarni yechish algoritmini o’rganishni osonlashtiradi. Biroq o’quvchilar bu ikki mavzuni birgalikda o’rganishda tengsizlik ishoralarini to’g’ri baholamaydilar.
SHuning uchun o’qituvchi bu borada o’quvchilar bilan maxsus ish olib borishga to’g’ri keladi. Ko’pchilik matematik masalalarda bir o’zgaruvchili chiziqli tengsizliklar sistemasini yechish bilan uni to’g’ri hal qilishga to’g’ri keladi. Masalan, ifodalarni aniqlash sohasini topish uchun sistemani yechimini topish, yoki tengsizlikni yechish uchun esa va sistemalarni yechib, yechimlar birlashmasini topish lozim bo’ladi. shu sababdan algebra kursida bir o’agaruvchili chiziqli tengsizliklar sistemsini o’rganishga alohida e’tibor qilinadi. Sistemani yechishda, undagi har bir tengsizlik alohida yechilib, sistema uchun javob ularniing umumiy qiymatlari olinadi.
Sistemalar ikkidan ortiq tengsizlik ishtirok etsa ularga tengkuchli bo’lgan ikki tengsizlikdan sistenaga keltiriladi. Sakkizlik yillik maktablarda chiziqli tengsizliklardan tashqari ko’rinishdagi tengsizliklarni yechishda funksiya grafigini abstsissa o’qiga nisbatan joylashishiga e’tibor qilinadi. Bunda ikta shart mavjud :

1. 
   kvadrat uchhadning diskriminantining qiymati musbat, nol yoki manfiy bo’lishi mumkin.
   
2. 
   koeffisientining ishorasining belgisi qanday ?
   

Agar bo’lsa, parabola abstsissa o’qini ikki nuqtada kesadi, agar bo’ganda parabol uni abstsissa o’qi bilan kesishadi, bo’lganda esa parabola abstsissa o’qi bilan umumiy nuqtaga ega emas. koeffisientining ishorasi parabolaning “tarmoq” larga bog’liq bo’ladi. bo’lganda parabola tarmoqlari yuqoriga, esa pastga qaratgan bo’ladi.
Bulardan chiqib, funksiyasining grafigini koordinatalar yekkisligida sxematik tasvirlashimiz mumkin.
Tasvirda parabola uchini koordinatalari, ordinata o’ziga nisbatan vaziyati bizni qiziqtirmaydi. Bizni faqat parabola abstissa o’qi bilan kesishadimi ? kesishsa nacha nuqtada va qanday nuqtalarda kesishishligi hamda parabola tarmog’ini yo’nalishi qiziqtiradi. Bu aytilganlarni aniq misolda ko’rib o’taylik. bizga tengsizligi berilgan bo’lsin uchhadni diskriminantini hisoblab ni topamiz. ekan. funksiya grafigi abstsissa o’qini ikki nuqtada kesib o’tadi. Bu nuqtalar va 2 lardan iborat. Parabola tarmoqlari yuqori qaraganigina hisobga olib, parabola lari o’qining va 2 nuqtalaridan o’tishligini bilamiz. CHizamad foydalanib, tengsizlikning yechimini quydagicha yoza olamiz : ( . Misollar ishlashda har doim parabolani chizish shart emas. Berilgan qiymatlarga asosan, parabolani fikridan tasavvur etib, tengsizliklarning javobini yozish lozim. kvadrat uchhadning diskriminantini manfiy bo’lsa, kvadrat uchhaddan ikkihadning kvadratini sjratib olib, ifodasining har doim musbat, yoki har doim manfiy ekanigini bilish mumkin va uni yoki tengsizlik yechimi uchun ifodalanish mumkin, misol uchun tengsizlikdagi kvadrat uchhadning diskriminanti manfiy, uni o’ziga teng kuchli bo’lgan tengsizlik bilan almashtiramiz. Tengsizlikning yechimi mavjud emas. SHunga asosan, berilgan tengsizlikning yechimi ham mavjud emas. Endi tengsizlikni ko’raylik. Uning diskriminanti ham manfiy berilgan tengsizlikning o’ziga teng kuchli bo’lsa tengsizlikka keltiramiz. Bunday tengsizlikning yechimi butun sonlar o’qidan ya’nin dan iborat.
Agar bo’sa, ko’rinishdagi tengsizlik yoki yechimga ega bo’lmaydi yoki uchhdni ildizidan boshqa ning hamma qiymatlariga tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Misol ko’raylik, tengsizligi tengsizligiga tengkuchli. Keyingi tengsizlik ning harqanday qiymatida ham manfiy bo’lolmasligi uchun tengsizlik yechmga ega emas. tengsizligini ko’raylik bu tengsizlik tengsizligiga teng kuchli. Demak, ning dan boshqa hamma qiymatlarida tengsizlik o’rinli. Tengsizlikni qanoatlantiradigan soha dan iborat. Agar bo’lsa, tengsizlikni yechish uchun undagi kvadrat uchhadni ko’paytuvchilarga ajratib, ko’paytmani musbat (manfiy) dan foydalaniladi. Masalan, : tengsizligi tengsizligiga tengkuchli. So’nggi tengsizlik esa yoki sistemalarga tengkuchli. Demak, tengsizlikni ning oralqdagi qiymatlari qnoatlantiradi. va – ratsional ifodalar bo’lib, ularning kamida biri kasr bo’lgan ko’rinishdagi tengsizliklar. SHunday ko’rinishdagi tenglamalarga o’xshash tengkuchli bo’lgan tengsizlikka keltirish mumkin. ifodani surat maxraji ko’phad bo’gan o’ziga aynan teng kasrga keltirish mumkin. agar shunday shakl almashtirishlar bajarilganda ifodaning aniqlash sohasi o’zgarmasa, u holda tengsizligiga tengkuchli bo’lgan tengsizlikka ega bo’lamiz. Agr shakil almashtirishlar natijasida berilgan tengsizlikning aniqlanish sohasidan kengroq tengsizlik yuzaga kelsa, u holda berilgan tengsizlik, hosil bo’lgan tengsizlik bilan ning olishi mumkin bo’lmagan qiymatidan tuzilgan tengsizlik sistemasiga tengkuchli bo’ladi.
Mamanfiy bo’lmagan salan, (1) tengsizligiga tengsizligiga teng kuchli. Agar kasrda qisqartirishni bajarsak kasr ifoda o’rniga butun ifodaga ega bo’lamiz. Bu tengsizlik (1) ga tengkuchli emas. Haqiqatdan tengsizligi oraliqdagi ixtiyoriy sonlarni qanoatlantiradi. SHu jumadan 3 sonini ham. (1) tengsizliklarni esa 3 soni qanoatlantirmaydi. SHuning uchun ham (1) tengsizlikka tengkuchli bo’lgan quydagi sistemaning yechimi berilgan tengsizlikni qanoatlantiradi. tengsizlikni yechimi, tengsizlikdagi sonli kasrni musbat (manfiy) bo’lishligi surat va maxraji bir xil tengsizlikdan (har xil tengsizlikdan) iborat bo’lishligiga bog’liq. SHuning uchun ham tengsizligi yoki sistemaga teng kuchli.
tengsizligi esa, yoki sistemasiga teng kuchli.
Sakkiz yillik maktablarda ko’rinishdagi tengsizliklarni ifodalar chiziqli ikkihadli bo’lgan yoki ulardan chiziqli ikkihad bo’lgan, ikkinchisi esa faqat musbat (manfiy bo’lmagan) qiymatlar yoki faqat manify (musbat bo’lmagan) qiymatlarni qabul qiladi.
ko’rinishdagi tengsizlikni chiziqli tengsizliklar sistemasiga keltirib yechiladi.
Masalan, tengsizligi yoki har bir sistemani yechimini topib, ularni birlashmasini topamiz ( . agar tengsizligiga ifodalardan biri o’z ishorasini saqlasa, u holda ikkita sistemani yechishning xojati yo’q. Haqiqatdan, tengsizligi ga teng kuchli, tengsizligi sistemasiga teng kuchli.

O’ZGARUVCHISI MODULGA TEGISHLI BO’LGAN TENGSIZLIKLAR.
Sakkiz yillik maktablarda o’zgaruvchisi modulga tegishli bo’lgan quydagi ko’rinishdagi tengsizliklar va uchraydi.
Bunday tengsizliklarni yechish koordinatasi to’g’ri chiziqli nuqtala orasidagi masofa tushunchasiga asoslangan.
tengsizlikni yechish kerak bo’lsin.
ifoda koordinatalar to’g’ri chizig’ida koordinatalari va 2 ga teng bo’lgan masofani bildiradi. Bu holda berilgan masalani boshqacha ifodalash mumkin : koordinatasi 2 son bo’lgan nuqtadan uzoqda 6 birlikdan ham bo’lgan nuqtalarning koordinatalari to’plamini toping. Koordinatasi 2 bo’lgan nuqtadan 6 oraliq uzoqda bo’lgan nuqtalarni koordinatalari -4 va 8 bo’ladi. shu nuqtalar orasidagi hamma nuqtalar koordinatasi 2 nuqtadan 6 birlik kichik bo’lgan nuqtalardir. U holda tengsizlik tengsizligiga teng kuchli bo’lib, uning yechimi (-4,8) oraliqda bo’ladi. shuningdek tengsizligi ham yoki tengsizliklariga teng kuchli bo’lib, uning yechimlari to’plami ( oraliqlarda bo’ladi.
Agar tengsizlik bo’lib, musbat son bo’lganda, bu tengsizlikning yechimini ko’rinishda yozish qulayroq. va tengsizliklarini yuqoridagi usuldan boshqacha, ya’ni sonning moduli ta’rifidan foydalanib yechish ham mumkin.
Masalan, tengsizligi uchun quydagicha muhokama yuritish mumkin. Moduli 6 kichik bo’lgan sonlar oraliqda joylashgan bo’ladi. tengsizligini quydagicha yozish mimkin :
bundan Demak, berilgan tengsizlikning yechimlar to’plami oraliqda joylashgan bo’ladi. shuningdek tengsizligi uchun quydagicha muhokama yuritamiz. Modul 6 dan katta sonlar -6 dan kichik +6 dan katta sonlar hisoblanadi, uholda tengsizligiga yoki tengsizliklar teng kuchli ulardan esa yoki kelib chiqadi. Berilgan tengsizlikning yechimi dan iborat.
Qo’shimcha mashg’ulotlarda, ko’rib o’tilgan misollardan murakkabroq topshiriqlar berish mumkin. masalan, tengsizligini yechish talab etilsin. Bu qo’sh tengsizlikni rquydagi ko’rinishda yozish mumkin. ularning har birini yechib, yechimlar to’plamning kesishmasini (umumiysini) yozamia. tengsizlikni boshqacha yozish ham mumkin. buning uchun va bo’lgan hollarni alohida qaraymiz. Agar bo’lsa, u holda bo’ladi. berilgan tengsizlik ko’rinishga kelib, natijani olish mumkin.
Agar bo’lsa, uholda bo’ladi. berilgan tengsizlik ko’rinishiga kelib, natija olish mumkin. u holda tengsizligini yechimi va bo’lib, ularning birlashmasi dan iborat.

IRRATSIONAL TENGSIZLIKLAR.
Sakkiz yillik maktablarda irratsional tengsizliklar ham irratsional tenglamalar singari o’ziga mos funksiya xossasini o’rganish prossesida o’rganiladi. Demak, irratsional tengsizliklar funksiyaning xossasini o’rganishga asoslanadi. Faqat ( ixtiyoriy son) ko’rinishdagi tengsizlik o’rganilib, uning yechimi irratsional tenglama yechimi bilan birga o’rganiladi. Masalan,

1. 
   
   
2. 
   
   

1. 
   Topshiriqda da bo’ladi, funksiyasi o’suvchi va ning har qanday qiymatida aniqlanganligidan foydalanib dan , dan kelib chiqadi.
   

Demak, birinchi tengsizlik uchun oraliqdagi ikkinchisi uchun oraliqdagi qiymatlar toplami javob bo’ladi.

2. 
   Topshiriqda dan bo’ladi.
   

So’ngra funksiyani aniqlanish soxasi va o’suvchiligini hisobga olib, quydagini yozish mumkin
dan
dan
Birinchi tengsizlik uchun , ikkinchisi uchun oraliqdagi qiymatlar javob bo’ladi.