Algebraik ifoda. Algebraik

Agar piramidada uning asosiga parallel kesim o'tkazilgan bo'Isa:

 

1) kesim piramidaning asosi va yon qirralarini proporsional qismlarga bo'ladi; 

2)  kesimda  asosga  o'xshash ko'pburchak hosil bo'ladi; 

3) asos va kesim yuzlarining nisbati piramida uchidan  ulargacha  bo'lgan masofalar kvadratlari 

nisbatlari kabidir. 

I s b o t i.  1) Teoremaning shartiga ko'ra, o'zaro parallel 

va AB...F (20.7- chizma) 

tekisliklar piramidaning yon yoqlari bilan kesishadi va mos kesishish  chiziqlari o'zaro paralleldir. 

 

 

Bundan tashqari, piramidaning S uchidagi tekis burchak-larning tomonlari parallel to'g'ri chiziqlar 

bilan kesilgan. Fales teoremasiga binoan,

burchaklar uchun, 

mos ravishda, 

 

munosabatlarni olamiz. Bulardan talab qilingan 

 

munosabatlar kelib chiqadi. 

2) 

 yoqdagi 

 kesmalarning o'zaro parallelligidan 

 )   va, demak, 

 

Endi BSC yoqdagi 

 va BC   kesmalarning ham o'zaro parallelligidan 

  va, demak, 

 

Olingan ikkita proporsiyani taqqoslab, 

 

munosabatni olamiz. Yuqoridagiga o'xshash tahlil o'tkazib, 

 

bo'lishini ko'rsatish mumkin. Bu jarayonni davom ettirib, piramidaning kesimi va asosi tomonlari 

o'zaro proporsionalligini olamiz: 

 

Kesim va asosning tomonJari parallelligidan, A

}

B

l

...E

]

 va AB...E ko'pburchaklarning mos 

burchaklari o'zaro teng bo'ladi: 

 

Ko'pburchaklarnmg o'xshashligi ta'rifidan

 bo'ladi. 

 

27 

3) Ma'lumki, o'xshash ko'pburchaklar yuzlarining nisbati ularning mos tomonlari kvadratlari nisbati 

kabidir. Shuning uchun 

 (6) 

Faraz qilaylik, O va 

lar piramida OS balandligining mos ravishda, asos va kesim bilan kesishish 

nuqtalari bo'lsin. Ikkita o'xshash uchburchaklar juftlarini,

 larni 

qaraymiz. Uchburchaklarning o'xshashligidan, 

 

kelib chiqadi, bundan 

 bo'ladi. U vaqtda piramidaning kesimi va asosi uchun 

 (7) 

ya'ni talab qilingan ifodani olamiz. Teorema isbotlandi. 

Faraz qilaylik, ixtiyoriy piramidaning yon yoqlari asos tekisligi bilan o'zaro teng φ burchak hosil 

qilsin. Piramida asosidagi ikki yoqli burchakning chiziqli burchagini yasash uchun piramidaning S 

uchidan 

kesma va piramidaning SO balandligini o'tkazamiz (20.8- chizma). Uch 

perpendikular haqi-dagi teoremaga ko'ra, 

va ikki yoqli burchakning chiziqli 

burchagi

 bo'ladi. Piramida yon yoqlaπning asos tekisligiga proyeksiyalarini yasaymiz. 

SCD yon yoqning proyeksiyasi

dan iborat 

 



cos





yon

asos

S

S

  

 

 

 

bo'ladi. Qolgan proyeksiyalarni ham shunga o'xshash yasaymiz. Yon yoqlarning proyeksiyalari 

piramidaning asosini ustma-ust tushmasdan va egilmasdan to'ldiradi. Shu sababli, shakl ortogonal 

proyeksiyasining yuzi haqidagi teoremani qo'llash mumkin: 

 (8) 

Shunday qilib, agar piramidaning asosi va asosdagi ikki yoqli burchagi ma'lum bo'lsa, uning yon 

sirtining yuzi  

 (9)  

formula bo'yicha hisoblanar ekan.