Algebraik aniqlik darajasi eng yuqori bo’lgan formulalar

1-teorema. (3.1) kvadratur formula darajasi 2n-1 dan ortmaydigan barcha ko`phadlarni aniq integrallashi uchun quyidagi shartlarning bajarilishi zarur va yetarlidir: 1) u interpolyatsion va 2) <sub>п</sub>(х)ko`phad [a, b] oraliqda (х) vazn bilan darajasi n dan kichik bo`lgan barcha Q(x) ko`phadlarga ortogonal bo`lishi kerak:

(3.2)

Isbot. Zaruriyligi. Faraz qilaylik, (3.1) formula darajasi 2n-1 dan ortmaydigan barcha kop`hadlarni aniq integrallasin. U holda 2-§ dagi teoremaga ko`ra u interpolyatsiondir. Endi darajasi n dan kichik bo`lgan ixtiyoriy Q(x) kop`hadni olib, f(x) = _п(х) Q(x)deb olamiz. Ko`rinib turibdiki, f(x) darajasi 2n-1 dan ortmaydigan kop`had. Shuning uchun ham uni (3.1) formula aniq integrallaydi:

Bu yerda, (x )= 0 (к = ) ni hisobga olsak (3.2) tenglik kelib chiqadi.

Yetarliligi. Faraz qilaylik (3.1) formula interpolyatsion va _n(х) ko`phad darajasi n dan kichik bo`lgan barcha ko`phadlarga (х) vazn bilan ortogonal bo`lsin. Endi (3.1) formula darajasi 2n-1 dan ortmaydigan barcha f(x) ko`phadlarni aniq integrallashini ko`rsatamiz. Haqiqatan ham f(x) ni _n(х) ga bo`lib,

f(x)= _n(x)Q(x) + r(x) (3.3)

ni hosil qilamiz, bu yerda Q(x) va r(x) larni darajalari n dan kichik. Bu tenglikning har ikkala tomonini (х) ga ko`paytirib, a dan b gacha integrallaymiz:

p(x)f(x)dx =

Teorema shartiga ko`ra o`ng tomondagi birinchi integral nolga teng, ikkinchi integral esa

chunki r(x) darajasi n dan kichik ko`phad va (3.1) formula interpolyatsiondir. Demak,

Lekin, (3.3) ga ko`ra r(x_k) =f(x_k). Shuning uchun

Shu bilan teoremaning yetarli sharti ham isbot bo`ldi.

_п(х) ko`phad (х) vazn bilan [a, b] oraliqda darajasi n dan kichik bo`lgan barcha ko`phadlar bilan ortogonal va bosh koeffisiyenti birga teng bo`lganligi uchun, funksiyalarni yaqinlashishi natijalariga ko`ra, bunday <sub>п</sub>(х) ko`phad yagona hamda uning ildizlari haqiqiy, har xil va [a, b] oraliqda yotadi.

Demak, agar (х) vazn [a, b] oraliqda o`z ishorasini saqlasa, u holda har bir n = 1,2,..., uchun 2n- 1 darajali ko`phadni aniq integrallaydigan yagona (3.1) kvadratur formula mavjud. quyidagi teorema (3.1) formulaning eng yuqori aniqlik darajasi 2n-1 ekanligini ko`rsatadi.

2-teorema. Agar (х) vazn [a, b] oraliqda o`z ishorasini saqlasa, u holda x<sub>k</sub> va A<sub>k</sub> lar har qanday tanlanganda ham (3.1) tenglik 2n darajali barcha ko`phadlar uchun aniq bo`la olmaydi.

Isbot. Kvadratur formulaning tugunlarini х₁, х₂, ..., х_п lar orqali belgilab, quyidagi

f(x) = = [(х – х₁)(х - х₂)...(х – х_n)]²

2n - darajali ko`phadni qaraymiz.

Ko`rinib turibdiki, (3.1) formula bu ko`phad uchun aniq emas, chunki

va ixtiyoriy А_к koeffisiyentlar uchun