Algebraik amallar va ularning xossalari. Ta`rif

Algebraik amallar va ularning xossalari.
Ta`rif. Ixtiyoriy A to`plamning tayin bir tartibida olingan istalgan ikkita x,y elementiga shu A to`plamning aniq bir elementi mos qo`yilsa, A to`plamda binar algebraik amal ( kompozitsiya qonuni ) aniqlangan deyiladi.
Biz qisqalik uchun, binar algebraik amallarni binar amallar deymiz.
Umuman , akslantirish n-ar algebraik amal deyilad.
Binar amal kabi belgilanadi.
Misollar. 1) Qo`shish amali butun sonlar to`plami Z da aniqlangan binar amaldir: m , n Z ning ixtiyoriy ikkita elementi ( Z dan olingan ixtiyoriy ikkita son ) bo`lsa, ularning yig`indisi m+n Z ning aniq bir elementidir.
2) Ko`paytirish amali barcha musbat ratsional sonlar to`plamida aniqlangan binar amal, chunki ixtiyoriy ikkita musbat ratsional sonning ko`paytmasi musbat ratsional son, binobarin, yana shu ga tegishlidir, dagi aniq bir elementdir.
3) Barcha funksiyalar sinfida aniqlangan qo`shish va ko`paytirirsh amallari binar amallardir.
4) Vektorlarni qo`shish va ayrish amallari ham binar amallarga misol bo`la oladi.
Agar mos kelsa, biz buni simvolik ravishda kabi belgilaymiz. Bu yerda binar amal belgisi. amal, masalan, geometric almashtirishlar kompozitsiyasi, sonlarni odatdagi qo`shish, ayrish, ko`paytirish, vektiorni qo`shish, ayirish bo`lishi mumkin.
A to`plamda aniqlangan biror amal A ning biror qismida ham binar amal bo`ladimi, degan savol tabiiydir. Umuman aytganda bu savolga javob ijobiy emas.
Misollar. 1) da bo`lish amali binar amal, ammo da bo`lish amali binar amal emas, chunki N dan olingan ixtiyoriy ikkita sonning nisbati natural son bo`lishi shart emas.
2)Z da qo`shish amali binar amal, ammo Z ning qismi bo`lgan musbat toq sonlar to`plamida qoshish amali binar emas, biroq Z ning qismi bo`lgan musbat juft sonlar to`plamida esa qo`shish amali binar amaldir.
Binar amal ta`rifida A ning elementlari x,y larni tayin bir tartibda olishni aytilgan. Bu muhim shart, umuman aytganda, , ya`ni (x,y) ga mos keluvchi element (y,x) ga mos keluvchi element bilan ustma-ust tushmasligi mumkin.
3) da binar amal sifatida bo`lish amali olinsa va bo`lsa, u holda , ammo dagi ko`paytirish amali uchun xy=yx.
Ta`rif. A to`plamda binar amal * aniqlangan bo`lsin. Agar ixtiyoriy uchun

bo`lsa, * binr amal assotsiativ deyiladi.
Agar ixtiyoriy bo`lsa, * binar amal kommutativ deyiladi.
Binar amal * assotsiativ bo`lsa, biz A ma`lum bir tartibda olingan bir qancha elementlarning kompozitsiyasini aniqlashimiz mumkin. Haqiqatan ham, elementlar A ning aniq bir elementini ifodalaydi, bu elementni x,y,z larning kompozitsiyasi deb qarashimiz mumkin.
Ta`rif. A to`plamda ikkita binar amal aniqlangan bo`lsin. Agar ixtiyoriy uchun bo`lsa, binar amal amalgam nisbatan taqsimot qonuniga ega deyiladi.
Misollar. 1) Vektorlarni qo`shish amali - assotsiativ va kommutativ amal.
2) Biror to`plamning qism to`plamida aniqlangan birlashma , kesishma amallari assotsiativ va kommutativ binar amal hamda amali ga nisbatan taqsimot qonuniga ega.
3) Z va R da sonlarni qo`shish, ko`paytirish amallari assotsiativ va kommutativ amallardir.
4) Vektorlarni, haqiqiy sonlarni ayirish amali assotsiativ ham, kommutativ ham emas.
da ratsional sonlarni bo`lish amali assotsiativ ham, kommutativ ham emas.
5) Z da ko`paytirish amali qo`shishga nisbatan taqsimot qonuniga ega, ammo qo`shish amali ko`paytirishga nisbatan taqsimot qonuniga ega emas. Masalan,
6) Biror geometric figura Ф ni shu figura yotgan tekislikda ( o`z tekisligida ) yoki figura joylashgan fazoda siljitish natjasida u yana Ф ga o`tsa, bunday siljish figurani o`z-o`ziga o`tkazish deyiladi.