Algebra va sonlar nazariyasi

Ko‘phadlarni ko‘paytirish. K[i] to‘plamda ko‘paytirish amalini quyidagicha kiritamiz: /(x), g(x) e Щх] ko‘phadlaming ko‘paytmasi sifatida koeffitsientlari
^j
di = Z ^ak^bi ^{e K, 1} ^ j ^ n + m.
к+l=0
tenglik bilan aniqlangan
n+m
p( x) = Z dx¹
j=0
ko‘phadga aytiladi, bu yerda
d_Q = a₀b₀, d = ^ab + ^abo, d = ab+ab + ^ab),.... Ma’lumki, ko‘phadlar ko‘paytmalarining darajasi berilgan ko‘phadlar darajalarining yig‘indisiga teng, ya’ni degp( x) = degf (x) + deg g (x).
Misol 16.1. f (x) = x³ - 2x² + 3x - 5 va g(x) = 3x² - x + 2 ko‘phadlarni yig‘indisi va ko‘paytmasini toping.
g(x) + f (x) = (3x² - x + 2) + (x³ - 2x² + 3x - 5) =
= x³ + (3 - 2)x² + (-1 + 3) x + (2 - 5) = x³ + x² + 2x - 3.
Ushbu ko‘phadlarning ko‘paytmasi quyidagiga teng: g(x) • f (x) = (3x² - x + 2)(x³ - 2x² + 3x - 5) =
= 3x⁵ - 6x⁴ + 9x³ - 15x² - x⁴ + 2x³ - 3x² + 5x +
+2x³ - 4x² + 6x -10 = 3x⁵ - 7x⁴ +13x³ - 22x² +11x -10. Kop’hadlar ustida aniqlangan amallar quyidagi xossalarga ega.

2. 
   xossa. a) f (x) + g(x) = g(x) + f (x);
   

2. 
   (f (x) + g (x)) + h( x) = f (x) + ( g (x) + h( x) );
   

2. 
   f (x) ■ g (x) = g( x) ■ f (x);
   
3. 
   ( f (x) ■ g (x) ) ■ h( x) = f (x) ■ ( g (x) ■ h(x) );
   
4. 
   (f (x) + g(x)) ■ h(x) = f (x) ■ h(x) + g(x) ■ h(x) .
   

Isbot. Dastlabki ikkita xossaning isboti sodda bo‘lganligi uchun
biz ularning isbotini keltirmaymiz.
n m

100. 
     f (x) = Za_ixⁱ va g(x) = Zbjx^J bo‘lsin. U holda
     

i=0 j=0
n+m j n+m j
^{f (x)} ■ g^(x)=Z Z ^ak^bx =Z Z ^bl^ak^x = g^(x) ■^{f (x)}.
j=0 k+l=0 j=0 k+l=0

4. 
   Ko‘phadlarni ko‘paytirish assotsiativ ekanligini ko‘rsatamiz.
   Aytaylik,
   

p
^ck^x


f (x) = Z a/, g (x) = Z ^bjx^J, h( x) = Z c.x^k


i=0 j=0 k=0
bo‘lsin. U holda (f (x) ■ g(x))- h(x) ko‘phadning x‘ hadi oldidagi
koeffitsienti
t ( i Л

• 
  - ^V -^hCk
  

Z Z ^ai^bj ^ck = Z ^ai^bj^ck


l+k=0


v ⁱ+^j=⁰ J


i+ j+k=0


bo‘lib, f (x)(g(x) ■px)) ko‘phadning xⁱ hadi oldidagi koeffitsienti
esa,
^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ,


i+l=0


Z ^ai Z ^bj^ck = Z ^ai^b


rk
i+ j+k=0


V^j+^k=⁰ J
bo‘ladi. Bu ikki yig‘indining tengligiga ko‘ra ko‘phadlar ko‘paytma- sining assotsiativligi kelib chiqadi.


n+m n+m

4. 
   Z (at + b_k)C = Z a_kCj + Z b_kc_l ekanligigidan ko‘phadlar
   

k+l=0 k+l=0 k+l=0
to‘plami ustida qo‘shish va ko‘paytrish amallari distributiv ekanligi kelib chiqadi. □
Endi ko‘phadlar ustida ko‘paytirish amaliga teskari bo‘lgan bo‘lish amalini o‘rganamiz.

3. 
   ta’rif. Agar f (x) va (p(x) ko‘phadlar uchun
   

97

f (x) = p( x) • /( x)

(16.3)


tenglikni qanoatlantiruvchi i//(x) e K[x] ko‘phad mavjud bo‘lsa, /(x) ko‘phad p( x) ko‘phadga bo‘linadi deyiladi.
Agar f (x) ko‘phad p( x) ko‘phadga bo‘linsa, f (x) bo‘linuvchi,
) esa bo‘luvchi ko‘phad deyiladi, hamda tp(x) \ fix) yoki f{x):
kabi belgilanadi.

4. 
   xossa. Ko‘phadlar uchun quyidagilar o‘rinli:
   

1. 
   agar g(x)| f (x) va h(x)| g(x) o‘rinli bo‘lsa u holda h( x) | f (x);
   
2. 
   agar p(x)| f (x) va p(x)| g(x) o‘rinli bo‘lsa, u holda p( x)|(f (x) ± g (x)).
   
3. 
   agar p(x)| f (x) o‘rinli bo‘lsa, u holda ixtiyoriy g(x) uchun p(x) | f (x) • g(x).
   

Agar p(x) | f (x), p(x)| f₂(x), ..., p(x)| f_s(x) bo‘lsa, u holda ixtiyoriy g_l(x), g₂(x),..., g_s(x) ko‘phadlar uchun
p(x) | (f (x) • g1 (x) + f2(x) • g2(x) +... + fs(x) • gs(s)).

4. 
   xar qanday f (x) ko‘phad istalgan nolinchi darajali ko‘phadga bo‘linadi.
   
5. 
   agar cp(x) \ f (x) bo‘lsa, ccpix) \ f (x), bu yerda ceK,c^0.
   
6. 
   agar g(x)|/(x) va /(x)| g(x) bo‘lsa, u holda fix) va g(x) ko‘phadlar bir-biridan o‘zgarmas с e К ko‘paytuvchi bilan farq qiladi.
   

Isbot. a) shartga ko‘ra, f (x) = g(x) -p(x) va g(x) = h(x) •px) ko‘rinishda yozib olsak,
f (x) = h(x) •(p x) •/( x)).

2. 
   f (x) = p(x) • /(x) va g(x) = p(x) • h(x) ekanligidan
   

f (x) ± g (x) = p( x) • (/(x) ± h( x))
kelib chiqadi.

2. 
   agar f (x) = p(x) • /(x) bo‘lsa, u holda ixtiyoriy g (x) uchun
   

f (x) ■ g (x) = p( x) ■ (^( x) ■ g (x)) tenglik o‘rinli bo‘ladi.

2. 
   f (x) = c ■ c^- ■ f (x) = c ■ (c^- ■ f (x)) tenglikdan xar qanday ko‘phad nolinchi darajali ko‘phadga bo‘linishi kelib chiqadi.
   
3. 
   f (x) = p(x) ■ y(x) tenglik o‘rinli ekanligidan
   

f (x) = ( c p( x) ^c-¹ ^( x) )
tenglik kelib chiqadi.

2. 
   shartga ko‘ra f (x) = g (x) ■ p(x) va g( x) = f (x) ■ iy( x), demak, f (x) = f (x) ■(p(x) ^( x)). Bundan 1 = p(x) ■^ x) tenglik hosil bo‘ladi. Bu esa p(x) va ty(x) ko‘phadlarning xar biri nolinchi darajali ko‘phadlar bo‘lgandagina o‘rinli bo‘ladi. П
   

Agar f(x) ko‘phad g(x) ko‘phadga bo‘linmasa qoldiqli bo‘lishni amalga oshirish mumkin.

5. 
   ta’rif. Agar f (x) va g (x) ko‘phadlar uchun q( x) va r (x), deg r( x) < deg g( x) ko‘phadlar topilib,
   

f (x) = g( x) ■ q(x) + r( x), (16.4)
tenglik o‘rinli bo‘lsa f (x) ko‘phad g (x) ko‘phadga qoldiqli bo‘lingan deyiladi.
Bu yerdagi q(x) ko‘phadga bo‘linma, r(x) ga qoldiq deyiladi,

4. 
   tenglikka esa qoldiqli bo‘lish formulasi deb ataladi.
   

6. 
   teorema. Ixtiyoriy f (x) va g (x) ko‘phadlar uchun fix) = g(x) ■ q(x) + r(x), degr(x) < degg(x),
   

tenglikni qanoatlantiruvchi q(x), r(x) e Щх] ko‘phadlar mavjud va yagonadir.
Isbot: Dastlab (16.4) tenglikni qanoatlantiruvchi ko‘phadlar mavjud ekanligini ko‘rsatamiz. Agar degf (x) < degg(x) bo‘lsa, u holda (16.3) tenglik o‘rinli bo‘ladi. Chunki, bu holatda q(x) = 0 va r (x) = f (x) deb olamiz.


99

Faraz qilaylik, degf (x) > degg(x) bo‘lsin. f(x) va g(x) ko‘phadlar

nm
f (x) = Za,x^n-, g^(x) = Z^bj^x"^1, a₀ * 0, b₀ * 0.
1=0 j=0
ko‘rinishlarda bo‘lsin. U holda quyidagi ayirmani qaraymiz:
f( x) = f (x) - Ol xⁿ-^mg (x). ^b0
Bu ayirmadan ko‘rinib turibdiki, n = degf (x) < deg f (x) . Agar degf(x) < deg g( x) bo‘lsa, u holda (16.4) tenglik to‘g‘ri bo‘ladi, aks holda bu jarayonni davom ettirib, quyidagi ayirmani qaraymiz: