Algebra va sonlar nazariyasi

Rim saltanati davrida Aleksandriya

matematika maktabi
Dastlab butun O'rta Yer dengizi rimliklarning qo'l ostida edi. Keyin ular ellinizm davri davlatlari-Yunoniston, Ptolemey va Selevkid podshohliklarini bosib oldi. Ular Misrning Ptolemey podshohligiga qaraydigan qismini e.o. 30-yili bosib oldi, ammo Aleksandriya Rim saltanati davrida ham o'zining ilmiy markazlik mavqeini saqlab qoldi. Yunon tili o'sha davrda ham xalqaro ilmiy til bo'lib qoldi. Keyinchalik lotin tili katolik dini uchun asosiy tilga aylangandan so'ng xalqaro ilmiy til darajasiga ko'tarildi.

Shuni ham eslatish joizki, Rim saltanati davridagi Aleksandriya matematika maktabi ellinizm davridagi Aleksandriya matematika maktabidan tubdan farq qiladi. Buning asosiy sababi Aleksandriya maktabi tomonidan Bobil matematiklari astronomlari an’analarining qabul qilinishida.

Ma'lumki, an’analarni o'zlashtirish juda uzoq davrni o'z ichiga oladi, ammo Rim urushi vaqtidagi Misr va Bobilning o'zaro hamkorligi bu jarayonni tezlashtirib yubordi. Natijada Aleksandriyada matematikani, ayniqsa, hisoblash matematikasini amaliyotga tatbiq etish kengaydi. Jumladan, matematika (trigonometriya) astronomik hisoblashlarga qo'llanila boshlandi.

Rim saltanati davrida Aleksandriyada yashab ijod etgan olimlardan biri Gipparx (e.o. II asrning 2-yarmi). U ko'proq astronomiya bilan shug'ullangan.

Shunday olimlardan ikkinchisi Posidoniy (tax. e.o.150-50 yillar).

U Yerning kattaligini, Quyoshning diametrini hisoblash bilan shug'ullangan.

Proklning aytishicha, Posidoniy geometriya bilan ham qiziqqan. U parallel to'g'ri chiziqlarni bir-biridan bir xil masofada yotuvchi chiziqlar deb qaraydi. (Bu Yevklidning V postulatiga ekvivalent jumlalardan biri). Posidoniyning ta'rifi quyidagicha: Parallel to'g'ri chiziqlar deb, shunday to'g'ri chiziqlarga aytiladiki, ular bir tekislikda yotib, bir-birlariga yaqinlashmaydi ham, bir-biridan uzoqlashmaydi ham, ularning birining nuqtalaridan ikkinchisiga o'tkazilgan perpendikularlar o'zaro teng.

To'g'ri chiziqdan baravar uzoqlikda yotgan nuqtalarning geometrik o'rni to'g'ri chiziqdir deyilgan jumla, Yevklidning V postulatiga teng kuchli, demak, Posidoniy Yevklidning bu postulati bilan shug'ullangan, ya'ni unga qiziqqan.

Shu davrning matematiklaridan yana biri-Menelay (1 asr) dir.

U mashhur Sferika asarining muallifi. Menelayning bu asari bizga faqat arab tilida yetib kelgan. Uning Geometriya elementlari va Uchburchaklar haqida deb nomlangan ikki asari ham faqat arab tilida saqlanib qolgan.

Menelayning Sferikasi uchta kitobdan iborat. Unda sferik geometriyaning dastlabki asosiy tushunchalariga ta'rif beriladi. Jumladan, sferik uchburchakka (31-rasm) sfera uchta katta doiralarining kesishishidan hosil bo'lgan ABC figura deb ta'rif berilgan. Sferikaning anchagina qismi sferik uchburchaklarning xossalariga bag'ishlangan. Demak, Menelay sferik trigonometriya asoslarini yaratuvchilaridan hisoblanadi.

Trigonometriya tarixida Menelay teoremasi deb ataluvchi teorema ( kitob, birinchi teorema) muhim rol o'ynaydi. Bu teorema tekis uchburchaklar uchun quyidagicha o'zaro juft-jufti bilan kesishib ACGB shakl hosil qiluvchi AB, AC, BE, va CD to'g'ri chiziqlar berilgan bo'lsin (32-rasm)

32-rasm
u holda quyidagi munosabatlar o'rinli bo'ladi

Sfera ustida hosil bo'lgan shunday figura qaralsa, yunon matematikasida ikki hissa orttirilgan yoyga mos vatar qaraladi. Agar sfera katta doiralari yoylarining kesishishidan hosil bo'lgan ACGB (33-rasm)

figura berilgan bo'lsa, ushbu munosabatlar o'rinli bo'ladi

Menelay o'z asarida sferik trigonometriyaning keyingi rivojlanishiga katta ta'sir ko'rsatgan ko'pgina teoremalarni isbotlagan. To'rtta miqdor qoidasi deb ataluvchi teorema ana shunday teoremalar jumlasiga kiradi agar ikkita ABC va DEG sferik uchburchak berilgan bo'lib (34-rasm),

34-rasm
ularning A va D, C va G burchaklari teng (yoki birgalikda 180⁰ tashkil qilsa), u holda


Sferikaning  kitobidagi Tangenslar qoidasi deb ataluvchi jumla quyidagicha agar ikkita to'g'ri burchakli ABC va DEG sferik uchburchaklar berilgan bo'lib (35-rasm) va ularda A D 90⁰, C   90⁰ bo'lsa va N hamda T nuqtalar AC va DG katta doiralarning qutblari (ya'ni AN DT ⁰) bo'lsa,

u holda

Mana shu davrning buyuk matematiklaridan biri - Klavdiy Ptolemey ( asr) dir. Ptolemey matematik, astronom, geograf va fizik (optik) edi. U 127 yildan 151 yilgacha Aleksandriyada astronomik kuzatishlar olib borgani va 168 yili vafot etgani haqida ma'lumotlar bor. Ptolemey o'z kuzatishlari asosida O'n uch kitobdan iborat matematik to'plam deb atalgan asar yozgan. Arabchada u Almagest (to'g'rirog'i Almajistiy) deb ataladi. Ptolemeyning bu asari o'sha davrdagi barcha astronomik ma'lumotlarni o'z ichiga oladi.

Ptolemey Almagestdan tashqari, astronomiyaga doir Analemma (Yordamchi figura) hamda Planisfera degan asarlar yozgan. U oxirgi asariga matematikani keng qo'llagan, chunki Planisfera da osmon sferasi o'zaro perpendikular uchta tekislikka – meridian tekisligi, gorizont va birinchi vertikal doira tekisligiga proyektsiyalanadi. Mana shu proyeksiya yordamida astronomiyaning juda ko'p masalalari hal etiladi. Masalan, ma'lum geografik kenglik uchun tayin kun va soatda Quyoshning gorizontdan balandligi topiladi.

Ptolemeyning bu asari arabchadan lotin tiliga tarjima qilingan. U asarda osmon sferasining stereografik proyeksiyasi ham bor. Stereografik proyeksiyada osmon shimoliy yarim sharining ekvator tekisligiga janubiy qutbga joylashtirilgan nuqtadan proyeksiyalash bayon etilgan (36-rasm).

36-rasm
Stereografik proyeksiyada doiralar yana doiralarga almashadi, ammo Ptolomey ining isbotini bermaydi. Stereografik proyeksiyaning muhim xossalaridan biri-burchaklarning o'z kattaligini saqlashi haqida ham Ptolemeyda hech gap yo'q.