Algebra va sonlar nazariyasi

Rim saltanati davrida algebra va sonlar nazariyasi
Rim saltanatida fan asosan Yuliy Sezar (e.o.104-44) davrida Aleksandriya matematika maktabi ta'sirida rivojlandi. E.o. I asrda rimliklarning quldorlik davlati mislsiz rivojlanib ketdi. Jamiyat rivojlanishi harbiy texnikani, geografiyani, gidrotexnikani, arxitek­turani va matematikani rivojlantirdi.

Yuliy Sezar Yulduzlar haqida degan asar yozdi. Kalendar (taqvim)ni isloh qildi, u e.o. 45 yili amalga oshirildi. Endi bir yil 365 sutka deb olindi, har to'rt yilda bir sutka qo'shib qo'yiladigan bo'ldi. Oldingi kalendarda bir yil 355 sutka edi. Sezar Rim saltanati davlatining hamma yerini o'lchab chiqishni buyurdi. Bu ish Sezar vafotidan so'ng Avgust (e.o.63 yildan bizning eraning 14 yiligacha) zamonida amalga oshirildi. Mana shu topshiriq natijasida rimliklar aleksandriyaliklarning yer o'lchash bo'yicha ishlari bilan, geodeziyasi bilan hamda Geronning geometriyasiga doir ishlari bilan tanishdi.

Shunday qilib, Yuliy Sezardan Trayangacha bo'lgan davrda (tax. 150 yil) rimliklar aleksandriyaliklarning arifmetikasi va algebraik metodlari bi lan tanishishdi. Natijada ular yunonlarning hatto lotin tiliga tarjima qilingan asarlarini ham unutib yuborishdi.

Ular arifmetik masalalarning mavqei haqida meros taqsimlashga doir ushbu masala tasavvur beradi. Bir kishi vafoti oldidan quyidagicha vasiyatnoma qoldirdi. Agar xomilador xotinim o'g'il tug'sa, o'g'limga hamma boyligimning qismini, xotinimga esa qismini vasiyat qilaman agar qiz tug'sa, qizim boyligimning qismini, xotinim esa qismini olsin.

Ammo uning xotini egizak-bir o'g'il va bir qiz tug'di. Endi u kishining boyligini uch kishi orasida qanday taqsimlash lozim

Rim saltanati davrida yashagan buyuk matematiklardan Geron ( asr), Papp (asr) va Diofant (tax. 250 yillar) larni eslash lozim. Geron o'zining o'lchashlarga doir Metrika asari bilan mashhur.

Diofant Aleksandriyada yashagan. Yunon antologiyasida uning qancha umr ko'rganini ifodalovchi she'r bo'lib, uning mazmuni quyidagicha yoshligi uning butun umrining qismini tashkil qiladi, umrining yana qismidan so'ng soqol qo'yadi, yana qismidan keyin uylanadi, besh yildan keyin o'g'il ko'rishadi, o'g'il otasining yarim yoshiga kiradi, undan to'rt yil o'tgach, otasi vafot etadi. Bu aytilganlardan Diofantning yoshini topish mumkin bo'lgan quyidagi tenglama hosil bo'ladi

x x x 5 x 4 x
Bu tenglamani yechsak, x 84. Demak, Diofant 84 yil umr ko'rgan ekan.

Bizgacha Diofant asarlaridan ikkitasi yetib kelgan. Ulardan biri Arifmetika, ikkinchisi Ko'pburchakli sonlar haqida. Shuni aytish kerakki, bu asarlarning birortasi ham to'liq emas. Arifmetikaning so'z boshida Diofant u 13 ta kitobdan iborat ekanini yozgan, bizga esa uning oltitaginasi ma'lum.

Ko'pburchakli sonlar haqida asarining ham oxirgi qismi yo'qolgan. Arifmetikada sonli to'plamlar haqida gap borganda Diofant o'zining Porizm nomli asarini eslaydi. Ammo, Porizm alohida kitobmi, yo'qmi bu noma'lum. Bizgacha esa Diofantning sonli to'plamlar haqidagi birorta ham jumlasi yetib kelmagan.

Arifmetikada Diofant geometrik algebraning klassik formasidan voz kechadi. Ammo u shartli ravishda kvadrat, tomonlar va yuzlar haqida gapiradi. Endi Diofant yuzlarni geometrik miqdor deb emas, balki son deb qaraydi.

Diofant geometrik belgilashlardan voz kechib, matematikaga harfiy belgilashlarni kiritadi. Bu bilan u matematikaga yangi til-harfiy hisoblashlarni kiritdi. Algebra noma'lum kattaliklar bilan ma'lum kattaliklar orasida bajariladigan amallardan boshlangan edi. Algebraik belgilashlar nimadan boshlandi Demak, simvolika ham noma'lumni belgilashdan boshlanadi.

Diofant noma'lumning birinchi oltita musbat va manfiy darajalari uchun belgilashlarni kiritdi. Noma'lumning birinchi darajasini ag'darilgan sigmaga o'xshash harf bilan, noma'lumning kvadratini bilan, kubini bilan, to'rtinchi darajasini bilan, beshinchi darajasini bilan va oltinchi darajasini bilan belgiladi. Bu belgilashlardan birinchi uchtasi alohida bo'lib, keyingi uchtasi esa o'zaro bog'liq, ya'ni to'rtinchi daraja-kvadratu-kvadrat, beshinchi daraja- kvadratu-kub, oltinchi daraja-kubu-qub. U manfiy darajalarni surati birga teng o'sha darajalar bilan belgilaydi. Diofant ozod hadni bir - ko'rinishida tasvirladi. Bundan tashqari, unda ayirish belgisi va qisqartirish belgisi, tenglik belgisi bor edi. Diofant asarida hozirgi bizning belgilashlarda

ko'rinishda bo'ladigan tenglama ham bor.

Shuni qayd qilish lozimki, Diofantdan so'ng qariyb 1200 yil davomida noma'lumni, uning darajalarini, ular ustida amallarni belgilash va bu belgilashlarni takomillashtirish ustida ish olib borildi. Ixtiyoriy o'zgarmas miqdorni belgilashni VI asrda yashagan Viyet asarlarida ko'ramiz.

Diofant o'z asarida ko'phadlarni qo'shish, ayirish va ko'paytirish qoidalarini berdi. Ana shu yerda uning ishoralar qoidasi ham uchraydi: ayriluvchiga ko'paytirilgan ayriluvchi qo'shiluvchini beradi. Shundan so'ng u tenglamalarni qaraydi va quyidagi ikki qoidani beradi

1. 
   tenglamaning hadini tenglamaning bir qismidan ikkinchi qismiga teskari ishora bilan olib o'tish qoidasi (bu qoidani keyinchalik al-Xorazmiy al-jabr termini bilan atadi)
   
2. 
   tenglamaning o'xshash hadlarini ixchamlash (uni al-Xorazmiy al-muqobala deb atagan).
   

Diofantning Arifmetikasida o'rtaga tashlangan asosiy masala noaniq tenglamalarni ratsional sonlarda yechish edi. Odatda Diofant yechimni bitta parametrli ratsional funksiya ko'rinishida tasvirlaydi. U o'zi topgan yechim tenglamaning hamma yechimlarini beradimi yo'qmi, u bilan qiziqmaydi. Diofant asarida birinchi, ikkinchi, uchinchi va to'rtinchi darajali aniqmas tenglamalar bor.

Uning ba'zi masalalarini hozirgi belgilashlarda keltiramiz

1. 
   noma'lumning yoki ifodani to'liq kvadratga aylantiruvchi qiymatlarini toping.
   

Birinchi holda deb, ikkinchi holda esa deb oladi. Ana shunda noma'lum orqali ratsional ifodalanadi. Hozirgi kunda integral hisobida ana shunday o'rniga qo'yishdan foydalaniladi.

Arifmetikaning ikkinchi kitobida Diofant ikkinchi darajali ikkita tenglamalar sistemasini tuzishga keladigan masalalar bilan shug'ullanadi.

2. 
   masalalarni yechishda Diofant ko'pincha formuladan foydalanadi.
   

Masalan, Berilgan ikki songa ayni bitta shunday son qo'shingki, ularning har biri kvadratga aylansin, ya'ni

sistemani yechish lozim. Diofant deb oladi.

So'ngra (x 3)(x 2) 1 ayirmani tuzadi va ko'paytmasi mana shu ayirmaga teng bo'ladigan ikki son (4 va ) ni qidiradi. Keyin yoki deb olib, ekanini topadi.

Bunda Diofant yoki ekanidan foydalangan. Keyin esa undan

, ya'ni

3) Ikkinchi kitobning sakkizinchi masalasi quyidagicha: «Berilgan kvadrat sonni ikkita son kvadratining yig'indisiga yoying».

Diofant berilgan son deb 16 ni oladi, izlangan kvadratlardan biri x2 bo'lsin, u holda ikkinchi va Demak, kvadratlardan biri 256 25, ikkinchi 144 25.

Keyinchalik mana shu masalaga Fermanning bergan izohi ma'lum: «Aksincha, kubni kublar yig'indisiga, bikvadratni bikvadratlar yig'indisiga, umuman kvadratdan katta har qanday darajani shunday ikkita darajaning yig'indisiga yoyish hech ham mumkin emas. Men unga haqiqatan ham ajoyib isbot topdim, ammo kitobning hoshiyasi bu uchun juda tor».

Hozir Fermanning katta teoremasi deb ataluvchi mana shu teorema umumiy holda isbotlangan.

4) sonlar nazariyasi bilan bog'liq bo'lgan yana bitta misol keltiramiz:

Bu Diofant Arifmetikasi ikkinchi kitobning 22-masalasi. Diofant to'g'ri burchakli uchburchak gipotenuzasining kvadratidan katetlar ko'paytmasining ikki hissasi ayirilsa, yoki unga qo'shilsa, u kvadratligicha qolishini topdi, ya'ni Shu sababli, oldin u gipotenuzasi bir xil bo'lgan to'rtta uchburchak qidirdi. Bu masala ushbu masalaga ekvivalent: shunday kvadrat topish lozimki, uni to'rt xil ko'rinishda ikkita kvadratning yig'indisi shaklida ifodalash mumkin bo'lsin.

Bu masalani yechish uchun Diofant avval tomonlari 3, 4, 5 va 5, 12, 13 butun sonlar bilan ifodalangan ikkita to'g'ri burchakli uchburchak oladi. Birinchi uchburchakning hamma tomonini ikkinchi uchburchakning gipotenuzasiga uchburchakning hamma tomonini birinchi uchburchakning gipotenuzasiga ko'paytirib, 39, 52, 65 va 25, 60, 65 sonlarini hosil qiladi. Gipotenuzasi bir xil bo'lgan ikkita uchburchak topildi. Bunda 65 ni ikki xil ko'rinishda ikkita kvadratning yig'indisi sifatida tasvirlash mumkin:

Diofantning bu yoyishi quyidagi ikki formaning kompozitsiyasidan tuziladi:

Shu sababli ham Diofant gipotenuzalari ikki kvadratning yig'indisidan iborat ikkita uchburchak oladi: va .

Endi aniqmas tenglamalarni yechish formulalaridan foydalansak:

65 ni to'rt xil ko'rinishida ikki kvadratning yig'indisi sifatida ifodalashning osonligini ko'ramiz. Buning uchun va ham va deb olish yetarli. Ular quyidagilar: 39, 52, 65; 25, 60, 65; 33, 56, 65; 16, 63, 65.

Bu masalaga Ferma quyidagicha izoh bergan: ko'rinishidagi ixtiyoriy tub son, shuningdek, uning kvadrati yagona usulda ikki kvadratning yig'indisi ko'rinishida tasvirlanadi, tub sonning uchinchi va to'rtinchi darajalari ikki xil usulda ikki kvadratning yig'indisi ko'rinishida tasvirlanadi, beshinchi va oltinchi darajasi uch xil usulda tasvirlanadi va hokazo. ko'rinishdagi ikki tub sonning ko'paytmasi ikki xil usulda ikkita kvadratning yig'indisi sifatida tasvirlanadi.

Diofantning bu asari matematika tarixida juda katta ahamiyatga ega. U o'rta asr Sharq matematiklarining ishlarida algebraning rivojlanishiga, ular orqali XVI-XVII asr Yevropa matematiklari ishiga ham katta ta'sir ko'rsatdi. Diofantning «Arifmetika» si Ferma ijodiga o'z ta'sirini ko'rsatadi. U o'zining sonlar nazariyasiga doir kashfiyotlarini bevosita shu asar ta'sirida qildi.

* Birinchi sonlar – tub sonlar.