5-ta’rif. Agar ‹A,+,·› algebra qo‘shish amaliga nisbatan Abel gruppa va ko‘paytirish amali qo‘shish amaliga nisbatan distributivlik xossasiga bo‘ysunsa, ‹A,+,·› algebraga halqa deyiladi.
Demak, ‹A,*,º› halqa bo‘lishi uchun, A to‘plamda * algebraik operatsiya assotsiativ va kommutativ bo‘lishi, * algebraik operatsiyaga nisbatan neytral va simmetrik elementlari mavjud bo‘lishi hamda ◦ algebraik operatsiya * algebraik operatsiyaga nisbatan distributiv bo‘lishi kerak.
Agar aA uchun a+0=a va 0+a=a munosabat o‘rinli bo‘lsa, 0A element A to‘plamning nol elementi, agar aA uchun eA mavjud bo‘lib, a·e=e·a=a munosabat bajarilsa, e elementga A to‘plamning birlik elementi deyiladi.
Misol. N={1,2,3,…,n,…} natural sonlar to‘plamida qo‘shish va ko‘paytirish amallari vositasida tashkil qilingan ‹N,+,·› algebra yarim halqadir. Haqiqatan ham,
1) 4,6,7N 4+(6+7)=(4+6)+7
2) 4+7=7+4
3) 5+12=5+(5+7)12=5+7
4) 5·(6·7)=(5·6)·7
5) 6·(7+4)=6·7+6·4
6·7+6·4=42+24=66
Demak, ‹N,+,·› algebra yarim halqadir.
Agar A to‘plamda berilgan ko‘paytirish amali uchun kommutativlik xossasi o‘rinli bo‘lsa, ‹A,+,·› kommutativ halqa, agar ko‘paytirish amali uchun assotsiativlik xossasi o‘rinli bo‘lsa, ‹A,+,·› assotsiativ halqa, agar ko‘paytirish amaliga nisbatan a·e=e·a=a shartni bajaruvchi neytral element mavjud bo‘lsa, ‹A,+,·› birlik elementli halqa (chunki a·1=1·a=a,e=1) deb yuritiladi.
Agar ‹A,*,º› halqani tashkil qilayotgan A to‘plam elementlari sonlardan iborat bo‘lsa, ‹A,*,º› halqa sonli halqa deb yuritiladi. Endi ko‘rib chiqilgan halqa va uning xossalaridan foydalanib maydon tushunchasini kiritamiz.
Maydon. Faraz qilaylik, kommutativ va birlik elementli assotsiativ halqa berilgan bo‘lsin.
6-ta’rif. Agar ‹A,+,·› algebra kommutativ, assotsiativ va birlik elementli halqa bo‘lib, aA, a≠0 uchun a elementga a·a-1=e shartni qanoatlantiruvchi a-1 teskari element mavjud bo‘lsa, ‹A,+,·› algebraga maydon deyiladi.
Maydon ta’rifidan ko‘rinadiki:
a) har qanday maydonda uning nolga teng bo‘lmagan istalgan elementiga teskari element mavjud va yagonadir;
b) aA, a≠0 uchun ;
d) har qanday maydonda birlik element mavjud va yagonadir;
e) a,bA uchun a·x=b tenglikni qanoatlantiruvchi xA yagonadir, bu a·a-1=e shartni qanoatlantiruvchi a-1 ning yagonaligidan kelib chiqadi:
;
f) maydon nolning bo‘luvchilariga ega emas.
Agar ‹A,+,·› maydonda A to‘plam elementlari sonlardan iborat bo‘lsa ‹A,+,·› maydon sonli maydon deyiladi.
Ratsional sonlar to‘plami Q da qo‘shish va ko‘paytirish amallari vositasida hosil qilingan ‹Q,+,·› algebra maydon tashkil etadi.
Butun sonlar to‘plamida qo‘shish va ko‘paytirish amallari vositasida hosil qilingan ‹Z,+,·› algebra maydon hosil qilmaydi.
Koʻpaytmaning ta’rifi, uning mavjudligi va yagonaligi. Koʻpaytirish qonunlari.
Do'stlaringiz bilan baham: |