Алгебра ва сонлар назарияси

Teorema. to`plam guruhni tashkil etadi.
Bu teoremani isbotini mustaqil bajarish mumkin. Yuqorida tuzilgan guruh siklik guruh deyiladi. elementning biror darajasi ga teng bo`lsin, ya’ni (1)
Shu shartni qanoatldantiruvchi sonlarning eng kichigi elementning tartibi deyiladi.
Masalan: amal ko`paytirish . guruhdir. . Faraz qilaylik to`plam biror amalga nisbatan guruhni tashkil etsin. to`plamning biror qismini ajratamiz. . ning o`zi da aniqlangan amalga nisbatan guruhni tashkil etsa, uni qism guruh deb ataladi. Qism guruh bir nechta bo`lishi mumkin . guruh chekli yoki cheksiz bo`lishi mumkin. guruh cheksiz bo`lsa uning qism guruhsi chekli ham, cheksiz ham bo`lishi mumkin. Endi guruhni qism guruh bo`yicha yoyishni ko`rib o`tamiz. Avvalo ikki to`plamning to`g’ri yig’indisi tushunchasini keltiramiz.
Agar va berilgan bo`lsa, u holda deb yozamiz, bunda .
TEOREMA. P guruh uchun quyidagi tenglik o`rinlidir. (1).
ISBOT. Agar qism guruh guruhga ustma-ust tushsa, ya’ni , u holda deb yoza olamiz. Agar ustma-ust tushsa, u holda . dan element olamiz. U ga kirmasin, ya’ni .
Endi bo`lsa u holda agar to`plam guruh bilan ustma-ust tushsa deb yoza olamiz. Agar (2) tenglik o`rinli bo`lmasa, u holda ga kirmaydigan ning boshqa elementini olib qaraymiz. . Bunday holatda quyidagi yig’indini olamiz. agar bu yig’indi bilan ustma-ust tushsa, deb yoza olamiz. Agar ustma-ust tushmasa yuqoridagi muhokamani davom ettirib, (1) tenglikni hosil qilamiz. Bu hosil bo`lgan (I) tenglik guruhning qism guruh bo`yicha yoyilmasi deyiladi.
Ta’rif. Chekli guruhda elementlarning miqdori shu guruhning tartibi deyiladi.
Chekli guruhning yoyilmasidagi qo`shiluvchilar soni cheklita bo`ladi. Agar guruh cheksiz bo`lsa, u holda uning yoyilmasi chekli bo`lishi ham bo`lmasligi ham mumkin. Chekli guruh haqida teoremani keltirib o`tamiz.
Teorema. (Logranj) chekli P guruhning tartibi uning qism guruhsining tartibi bilan uning indeksining ko`paytmasiga teng.
Isbot. desak, guruh indeksi ta, . Agar va deb olsak, u holda ekanligini ko`rsatish qiyin emas. Bunda guruhning tartibi. guruhning indeksi.