Алгебра ва сонлар назарияси 2-мутахассислик учун

Алгебра ва сонлар назарияси – 2-мутахассислик учун.
1-модул. Вектор фазо ва акслантириш.

1. 
   Векторлар, тўплами, базис ва ўлчови. Скаляр кўп. вектор фазо, ортогонал система нормаси.
   
2. 
   Чизиқли акслантириш. Операторлар чиз. Опер-р матрицаси. х ва ᵠ(х) векторлар устун координаталари орасидаги боғланиш. Турли базисдаги векторларнинг устун координаталари орасидаги боғланиш. Хос вектор хос қийматлар.
   

2-модул. Бўлиниш муносабати.

1. 
   Бутун соннинг туб кўпайтувчиларга ёйилмаси. Қолдиқли бўлиш.
   
2. 
   ЭКУБ ЭКУК. Чеклидан каср. Муносиб касрлар. Евклид алгоритми. Эратосфен ғалвири.
   

3-модул. Таққосламалар.

1. 
   Чегирмалар. Уларни тўла ва келтирилган системалари. Эйлер функцияси.
   
2. 
   Биринчи даражали таққосламаларни ечиш усуллари.
   

4-модул. Туб модул бўйича юқори даражали таққосламалар.

1. 
   Бошланғич илдиз. Икки хадли таққосламалар. Икки номаълумли таққосламаларни ечиш. Таққосламалар системаси.
   

Мустақил ишлар (назарий, мисолларда асослаш)

1. 
   Векторлар тўпламининг чизиқли қобиғи. Фазо остилар. Уларни кесишмаси, йиғиндиси, тўғри йиғиндиси. Векторлар системаси базисдаги тўлдириш.
   
2. 
   Фазо остининг ортогонал тўлдирувчиси. Евклид фазосининг ортогонал базиси. Евклид фазоси изоморфизми. Евклид вект. фазолар.
   
3. 
   Чизиқли акслантиришлар устида амаллар. Чизиқли оператор ядроси ва акси. Чизиқли оператор матрицаси. Чиз.опер. турли базисл. нисб. матр. орас. боғл.
   
4. 
   Тескариланувчи чизиқли операторлар чизиқли операторлар ва матрицалар. Чизиқли алгебралари орасида изоморфизм. Ўхшаш матрицалар.
   
5. 
   Натурал сон натурал бўлувчиларининг сони ва йиғиндиси. Евклид алгоритми ва ЭКУБ ва ЭКУКни топишни икки усули.
   
6. 
   Юқори даражали таққосламаларни соддалаштириш. Берилган сон кўрсаткичини таниш. Туб модул бўйича индекслар.
   

Мустақил ечиш учун мисоллар. (назарияга асослаб ечиш)

1. 
   Тўпламни чизиқли фазо ташкил этишини исботланг. Унинг базиси ва ўлчовини топинг. V= }. a=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14.
   
2. 
   Берилган акслантириш учун оператор эканини исботланг. Уни ранги ва дефектини аниқланг.
   

а) f(х)=(х₂+х₃, 2x₁+x₃, 3x₁- х₂+ х₃);
(1,2,3): (2,3,4): (3,4,5): (3,2,1): (4,3,2): (2,1,3): (3,2,1): (4,3,2): (5,4,3): (4,5,3): (3,1,2): (3,2,4): (4,2,3): (5,3,4)

3. 
   M_e₁, e₂, …, e_n базисдаги, M_e₁, e₂, e₃, …, e_n базисдаги матрицалар бўлса, қуйидагиларни исботланг.
   

M (f(x))=M(f)*M(x)
M (x)=T^-1*M(f)*T
x(1,2,3): e₁(2,1,0): e₂(0,3,1): e₃(-1,0,2): x(-1,2,-3): x(2,3,4): x(2,-1,3): x(4,5,2): x(-4,3,-5): x(-3,1,-2): x(9,8,7): x(0,5,4): x(-1,-2,-3):

4. 
   Тескари операторни топинг.
   

А= :

5. 
   Берилган сонни туб ёки мураккаб эканини исботланг.
   

1559, 3051, 1987, 3343, 1051, 3989, 3083, 3001, 1181, 1627, 3444, 4332, 3400, 4500.

6. 
   Икки усулда ЭКУБ ва ЭКУКни ҳисобланг.
   

1. 
   a=1786: b=705, 6. a=1489; b=1126; 11. a=382; b=444
   
2. 
   a=-826: b=822, 7. a=9234; b=6574; 12. a=238; b=442
   
3. 
   a=3655: b=1023, 8. a=3928; b=2937; 13. a=832; b=400
   
4. 
   a=3059: b=1352, 9. a=7362; b=632; 14. a=236; b=632
   
5. 
   a=2737: b=1627, 10. a=37261; b=372;
   

7. Берилган n натурал соннинг бўлувчилари сони ва йиғиндисини топинг. n дан катта бўлмаган ва n билан ўзаро туб сонлар сонини топинг.
1. n=350; 6. n=654; 11. n=642
2. n=542; 7. n=765; 12. n=784
3. n=635; 8. n=558; 13. n=846
4. n=784; 9. n=430; 14. n=468
5. n=234; 10. n=894;
8. Натурал сонлар (х,у) ни топинг.
1. , 6.
2. 7.
3. , 8.
4. , 9.
5. , 10.
9. Касрни чекли занжир каср кўринишида ифодаланг.
1. ; 2. - ; 3. ; 4. ; 5. ;
6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ;
10. Тенгламани бутун ечимини топинг.
1. 38х+117у=209; 8. 64x-39y=15
2. 119х-18у=34 9. 51x+39y=-10
3. 41х+114у=5 10. 71x-59y=210
4. 49х+9у=400 11. 83x+711y=209
5. 12х+31у=170 12. 116x-81y=34
6. 37х+23у=15 13. 14x+114y=15
7. 53х+17у=25 14. 12x+13y=170

Тескариланувчи операторлар
Режа: 1. Тескариланувчи операторлар.
2.
вектор фазонинг чизиқли оператори бўлсин. Е- айний оператор бўлсин.
Таъриф. ᵠ- оператор тескариланувчи дейилади, агар шундай ᵠ оператор топилсаки, у учун
ᵠ-E, ᵠ*ᵠ=E
Теорема. Тенглик бажарилса, (1) шартни қаноатлантирувчи ᵠ оператор ᵠни тескари оператори дейилиб ᵠ=ᵠ^-1 кўринишда белгиланади ва у ягона.
Исбот. ᵠ=ᵠ₁ =ᵠ₁(ᵠ,ᵠ)ᵠ=Eᵠ=ᵠ
Теорема. Агар ᵠ, V нолмас чекли ўлчовли вектор фазонинг чизиқли оператори бўлса, қуйидаги тасдиқлар тенг кучли.
а) ᵠ-оператор тескариланувчан
b) ᵠ, Vни Vга акслантирувчи инъектив акслантириш
с) Кечᵠ={0};
d) дефект ᵠ=0;
e) ранг. ᵠ=dimV;
f) ихтиёрий базисга нисбатан ᵠ оператор матрицаси тескариланувчан.
Исбот. ᵠ-тескариланувчи оператор ва ᵠ оператор унга тескари оператор бўлсин. ᵠни инъектив эканини исботлаймиз. Яъни V a,b V; ᵠ(а)= ᵠ(b)дан a=b келиб чиқиши лозим. Ҳақиқатда ᵠ(a)=ᵠ(b) бўлсин. У холда
ᵠ(ᵠ(a))=ᵠ(ᵠ(b)) ёки (ᵠᵠ)(a)=(ᵠᵠ)(b) ёки E(a)=E(b) ва а=b
Бундан ташқари ᵠ, Vда акслантириш. V а Vни прообрази бор.
Ҳақиқатда ᵠ(ᵠ(a))=(ᵠᵠ)а=E*а=а. Демак ᵠ акслантиришда ᵠ(а) прообраздир.
Агар ᵠ инъекция бўлса, у холда нул.вектор ягона пробразга тенг бўлиб, ᵠ акслантиришда кечᵠ={0}. Агар кечᵠ={0}бўлса, у холда ᵠ оператор ядроси нолга тенг. Яъни дефект ᵠ=0.
Агар дефект ᵠ=0 бўлса, у холда . ᵠ=dimV.
Фараз қилайлик. ганg ᵠ=dimV=n e₁, e₂, …, e_n лар V фазонинг танланган базиси бўлсин. Бизга маълумки М(ᵠ) ранги ᵠ оператор рангига тенг.

6. ЭКУК (360,189,825)ни топинг.

Формулага кўра ЭКУК (360,189,825) ЭКУК (ЭКУК (360,189), 825).
ЭКУК (360,189)= =7560 Бунда
ЭКУБ (360,189)=9 Худди шундай
ЭКУК (7560,825)= = 115800
Бунда ЭКУБ (7560, 825)=15
7. ЭКУК (50,70,30)ни ҳисобланг.

}
8. Системани ечинг.
ЭКУБ (3х, 5х)=7
ЭКУК (х, 2у)=308
х,у € N
Ечим. ЭКУБ (3,7)=1 ва ЭКУБ (5,7)=1. Бу ердан ЭКУБ (3х,5у)=7. Бу эса ЭКУБ (х,у)=7 га тенг кучли. х:5 ва у:3 бўлса. Бундан ташқари ЭКУБ (х,у)=7дан. х ва у бир вақтда жуфт бўла олмайди. Демак ЭКУБ (х, 2у)= ЭКУБ (х,у); Бу ердан
ЭКУБ (х,у)=7
ЭКУК (х,у)=308
х:5; у:3; х:2