Algebra va analiz asoslari

IV BOB. ALGEBRA VA ANALIZ ASOSLARINI

TAKRORLASH.




86–93
ALGEBRA VA ANALIZ ASOSLARINI TAKRORLASHGA OID MISOLLAR

1. 
   Tenglamani yeching:
   

¹⁾ 3(0, 75x  ⁶)  2x  ¹ x  2,5 ^{; 2) 7x(2,5  x)12 x  3  0 ;}
5 4 ^{ 3 }
 
³⁾ (x  1)(x  1)(x  2)  (x²  7x)(x  4)  2  2x ^;

^{4) x}2 ^{ 4}  ^{; 5)}

x²  5x  4 _{ }

; 6*)
8 _ 1  3x _ 4 _;

x  2
x  1 ^{x 1}
x²  6x  8 ^{2  x x  4}

7*)
9*)
x³  3x²  4x  12  0 ^{; 8*)
2x4  5x3  18x2  45x  0} ; 10)
^{24x4  16x3  3x  2  0} ;
x⁶  x⁴  9x²  9  0 _;

11*) ^{(x  1)(x2  2)  (x  2)(x2  1)  2} .

2. 
   ^{a ning qanday qiymatida} (5  a)x  a  5
   

cheksiz ko‘p bo‘ladi?

tenglamaning ildizlar soni

3. 
   Birinchi son ikkinchisidan 15% katta. Agar kichik songa 16 ni qo‘shib, katta sondan 32 ni ayirsak sonlar teng bo‘ladi. Shu sonlarni toping.
   
4. 
   Yangi o‘zgaruvchi kiritib tenglamani yeching:
   

1) (x²  3x)²  2(x²  3x)  8 ; 2) ^{(x2  2x)2  (x  1)2  57} ;

3) ^{(x2  5x  7)2  (x  3)(x  2)  1} ; 4)
21


x²  4x  10
 x²  4x  6 _;

5) ^{3x  7  5x  1  5, 2} ; 6*)
5x  1 3x  7
x²  x x²  x  1
x²  x  2

 
x²  x  2 ^{1 ; 7)}
3x²
(x  1)²
 ^5x  2 ^.
x  1

5. 
   Tenglamalar sistemasini o‘rniga qo‘yish usuli bilan yeching:
   

^{x  6 y  2,}
 ^{x  3y  1} _ ^{y  3x  3} _{ 2,}


_^{x  y  1,}




^{1) }2x  3y  11;

2) _ y
2(x  2)
^{3) }_x³  y³  7.

^_ y  x  1;

6. 
   Tenglamalar sistemasini qo‘shish usuli bilan yeching:
   

^3x  ^y  2,

^ 4 2
_^2x  y²  3,
^^{x2  y2  20,}


^{1) } y x  y


  1;
 5 2
2) _
3x  y⁴
 4;
³⁾ 
_xy  8.

7. 
   Tenglamalar sistemasini yangi o‘zgaruvchni kiritish usuli bilan yeching:
   

^{xy  5,}
 ¹ _ ¹⁰
 1,
3xy  11  4,

 ^x
_{ } ^{x  y x  y} _ y

¹⁾ _ x  y _ x  y _ 13 _;

2) 

1 2 3
3)  _x

^_ x  y x  y 6
^    ;


_ x  y x  y 5
^2xy  3


_ y
 20.

8. 
   Tenglamalar sistemasini yeching:
   

_^{x  y  3,}
^{x  xy  y  11,
}_x²  2 y  1  0,


1) _
 x
³  x² y  12;
^{2) }x  xy  y  1;
3) _{
 y}2
 2x  1  0;

4*)
^_x³  xy²  10,


^_ y³  x² y  5;

5*)
^_(x  y)³  (x  y)²  27


^_(x  y)³(x  y)²  9.

9. 
   Agar (x; y) x²+y² ni toping.
   

^{2x  5 y  12,}


_3x  4 y  5
tenglamalar sistemasining yechimi bo‘lsa,


^^{3x2  y2  19,}

10. 
    Tenglamalar sistemasi nechta yechimga ega:
    


_ y  2x  6?

11. 
    Tenglamalar sistemasining yechimlari sonini toping:
    

^_x²  y²  x  y  18,

_
^x²  y²  x  y  6.

12. 
    Tengsizlikning eng kichik butun yechimini toping:
    

x _ x  2 _{ 1.} 2 6

13. 
    Tengsizlikning butun yechimlari sonini toping: x²  2.
    

14. 
    Tengsizlikni yeching: 1)
    

^{x  1  2} ; 2)
x²  7x  10  0 ^;

1
3) _2x

• 
  ³; 4*) x
  

³  3x²
 x  3  0 ; 5)
x²  6x  9


x  1 ^{0 ;}

₆₎ x²  9
; 7*)
(x  4)(x  5)²

; 8*)

x⁴  2x³  x  2 _{ .}

x²  3x ^{ 0}
x  7
 0 _3x2 ^0
^{2x2  5x  3  0,}

15. 
    Tengsizliklar sistemasini yeching: 1)
    


_5x  6  0;

_{ x}2 

^(x  1)²  1 x 2(x  1)²

x  1

^ x  1 ^0,
 
^ 5 2 10
  3,
2

2) ^ _{x2  3}
3) 
0,5(x  1)  1 2(x  1)  4,5

^  0; ^{1  x   .
} 3x  5 ^{ 2 3}

16. 
    Qo‘sh tengsizlikni yeching:
    

1) 1  ^{x  1}  ^{x  2}  6 ; 2)
2 3


1, 25  ¹ (1  3x)  1¹ ;
4 4

³⁾ 1  ^{3x  1}  x  2  3 ^{; 4) 5x  20  x2  8x .}
12

17. 
    Tekislikda A (8; 7) va B (– 5; 4) nuqtalardan teng uzoqlikda joylashgan
    

C (x; 0) nuqtani toping.

18. 
    Tekislikda A (12; 9) va B (– 9; 7) nuqtalardan teng uzoqlikda joylashgan
    

C (0; y) nuqtani toping.

19. 
    Tenglamani yeching: 1)
    

₄13x5 _{ 4}23 x _{; 2) 7}14 x3 _{ 7}855x _;

³⁾ 6^x7  36^{3x ; 4)} 8^x5  128^{25x ; 5)} 3^x2  3^x  108 ^;

⁶⁾ 2^x2  2^x  5 ^{; 7)} 1116^x  9 12^x  20  9^x  0 ^{; 8)}
₉x² 4 x _{ 243}2( x² 15) _;

⁹⁾ 9^x  6  3^x  27  0 ^{; 10) 6  25x  7 15x  13  9x  0 ; 11) 3x2  3x1  3x  39 .}

20. 
    Savdogar 100 000 000 so‘mni bankka yillik 14% foyda bilan ma’lum muddatga qo‘ydi. Muddat oxirida u 148 154 400 so‘m oldi. Pul necha yilga qo‘yilgan edi?
    
21. 
    Tadbirkor 100 000 000 so‘mni bankka yillik 16% foyda bilan ma’lum muddatga qo‘ydi. Muddat oxirida u 181 063 936 so‘m oldi. Pul necha yilga qo‘yilgan edi?
    
22. 
    Aholi soni yiliga 2% ga ortsa, necha yildan so‘ng, aholi soni 2 barobar
    

ortadi?

23. 
    Aholi soni yiliga 1% kamaysa, necha yildan so‘ng, aholi soni 10%
    

kamayadi?

24. 
    Tengsizlikni yeching: 1)
    

• 
  ₁₅ ; 2)
  
• 
  –17 ^;
  

3)
5*)
7*)
_{ –27} ; 4*)

• 
  x  23 ^{; 6*)}
  

 x  36 ^{; 8*)}

• 
  x  18 ^;
  

 x  23 ^;
_ .

25. 
    1) Tekislikda A (12; 4), B (– 23; 5), C (x; y) nuqtalar berilgan. AC>BC
    

shartni qanoatlantiruvchi to‘g‘ri chiziqni toping;
2) Tekislikda A (24; 34), B (– 25; 37), C (x; y) nuqtalar berilgan. AC>BC shartni qanoatlantiruvchi to‘g‘ri chiziqni toping.

64
26. Tengsizlikni yeching: 1) ₄^x _{ 64} ; 2) ₃^x _{ 81}; 3) (0,5)^x  ¹ ;

 ¹ ^x

9
4) _{ } ^
 
¹ ; 5) 3^{6 x}  3^3x2 ; 6)
27
2^{9 x x3}  1 ^{; 7)} 0, 4^x2 ^{ x20}  1^.

log 50

_{ 1 }12 log₁ 3

^{27. Hisoblang: 1) log2 4 ; 2) log0,5 0, 25 ; 3)} 6 ⁶
; 4) _{ } ⁷ ;

7
 

_{5) 4}log₄ 5log₄ 5 _{; 6) 16}0,5log₄ 10 _{; 7)}
¹ log 0,5log 2
⁴ _{(1  9}log₃ 8 ₎log₆₅ 5 _;
5

⁸⁾ 27³
_{; 9) 5}log 4 log 3
1 27

^{; 10*)} 3log log 16  log 2 ^.

3 ^{5 5}
2 4 0,5

28. 
    Taqqoslang: 1) log 7 yoki log 6 ; 2*) _{log 0,5} yoki log sin ^ .
    

^{6 7} 0,4 ₂

28. 
    Funksiyaning aniqlanish sohasini toping:
    

x²  4x

^{1) y  log3(4  5x) ; 2)} y  log_0,1(x²  3x  4) ^{; 3)}
y  lg
_x2
 3x  4 ^.

30*. b ni a va c orqali ifodalang:
1) b  log₅ 6, a  log₂ 3, c  log₂ 10 ;
2) b  log₃₀ 8, a  log₃₀ 3, c  log₃₀ 5 .

31. 
    Tenglamani yeching: 1) log₃ x  log₃ 1,5  log₃ 8 ;
    

2) log_0,3 x  2log_0,3 6  log_0,3 12 ; 3) log₂ (x²  4x  3)  3 ;
4) log₅ (x  1)  log₅ (2x  3)  1 ; 5) _lg² _{x  1} ; 6)
_xlog₂ x _{ 8 ;}

⁷⁾ log² x  log x  2 ^{; 8*) 1  5  1;}

5 0,2

9*) log₂ (9^x1  7)  2  log₂ (3^x1  1) .

lg x  6 lg x  2

31. 
    Tengsizlikni yeching: 1) log₃(12  2x  x²)  2 ;
    

2) log₄ (x  1)  log₄ x  log₄ 2 ; 3) log₅ (x  3)  2 ;
4) log_0,5 (2x  4)  –1 ; 5) log_0,5 x²  log_0,5 3x ;
_log 3x1

6) ₃ 2 ^x
_{ 1}^{; 7*)} (5x  2) log
0,(3)
x  0 ^.

33*.Tenglamalar sistemasini yeching:
_2log₂ (3x4) _{ 8,}
^log (x²  y²)  log (x  y)  0,5.
^ 9 9
34*. Tengsizliklar sistemasini yeching:
^^{(x  1) lg 2  lg(2x1  1)  lg(7  2x  12),
}log (x  2)  2.
^ x

35. 
    ^{O‘sish tartibida yozing: 1)} sin 30; cos 30; cos180; sin 90;
    

²⁾ sin 45; cos(90); sin 210; cos(–45) ^.

35. 
    Soddalashtiring: 1) ^{(sin  cos)2  (cos sin )2  2} ;
    

_2*) sin 90 tg(45°+)tg(45°+3) _{ tg4 .}
tg(45°+)+ctg(45°–3)

35. 
    Berilgan shartga ko‘ra hisoblang:
    

sin cos 3 3sin²   12sin cos  cos² 

1. 
   sin²  cos²  ^{, ctg  4 ; 2)} sin²  sin cos 2cos² 
   

, tg  2 _.

35. 
    Berilganlarga ko‘ra qolgan trigonometrik funksiyalar qiymatlarini
    

toping: 1) sin  –0,6, 270° <   ; 2) tg=2, 180° <  < 270°.

35. 
    Ko‘paytma ko‘rinishiga keltiring: 1) sin2sin;
    

2. 
   ^{cos x  cos 3x ; 3)} tg3x  tgx ^{; 4) cos 2x  cos 4x  cos8x .}
   

35. 
    Tenglamani yeching: 1) ^{sin 3x  } ; 2) sin ^x  1,5 ;
    

2
³⁾ cos 2x  ^{; 4) cos x  1,5 ; 5)} tg^{ x}  30 ^  0 ^;
₂  ₂ 
 
6) tg_3x  60_  ; 7) _{tg4x  3} ; 8) ^{ctg x – 30  0} ;
 ₂ 
 
^{9) sin2 x  2sin x  3  0 ; 10)} cos 2x  7sin x ^;
11) cos² x  4sin² x  2sin 2x ^{; 12) 7tg2x  2tg x  15 ;
13*)} sin² x  cos² 2x  sin² 3x  1,5 ^{; 14*) sin4 x  cos4 x  7 .}
8

35. 
    Tenglamalar sistemasini yeching:
    

^{cos(x  y)  0,}

1) _{ 3}
cos(x  y)  ;
2*)

_cos x cos y  ,

3*)
_sin x sin y  ³ ,


 ⁴

^ 2
^sin x sin y  ;


 4
^_tg x tg y  3.

35. 
    Tengsizlikni yeching:
    

1) sin x  ¹ ; 2) sin x  ¹ ; 3) sin x  ¹ ; 4) 2cos x  1;
2 2 2
5) sin 3x cos x  cos 3x sin x  ¹ ; 6) cos 2x  1; 7) _{2cos 2x  1};
2

8*)
tg²x  ¹ tgx  ³  0;

9) ^{tg2  x     3}.

4 4 ^{ 3 }
 

35. 
    2, 5, 8... arifmetik progressiyaning 15 – hadini va dastlabki 15 ta hadi yig‘indisini toping.
    
36. 
    Agar a₃=25, a₁₀₌–3 bo‘lsa arifmetik progressiyaning 1-hadini va ayirmasini toping.
    
37. 
    2 xonali 3 ga karrali sonlarning yig‘indisini toping.
    
38. 
    – 4, 16, – 64... geometrik progressiyaning 7– hadini va dastlabki 7 ta hadi yig‘indisini toping.
    
39. 
    Agar b₃=8, b₇₌128 bo‘lsa geometrik progressiyaning 1-hadini va maxrajini toping.
    
40. 
    Yig‘indini toping:
    

1) ^{1  1  1  ...} ; 2)
2 4
   ... ^{; 3*)}
  ¹  ... _.
2

35. 
    ^{y=x2 funksiya uchun}  ^{x va}  ^{y ni toping:}
    

1) x=2,5 va x₀=2; 2) x=3,9 va x₀=3,75;
3) x= –1,2 va x₀= –1; 4) x=–2,7 va x₀= –2,5.

35. 
    Hosilani toping:
    

1) y  4x³  2x²  x  5 ; 2)
3) y  0, 25x⁴  0,(3)x³  0,5x²  1 ; 4)
y  x³  9x²  x  1 _;
y  (x³  1)(x²  x  1) ^;

x²  1
5) y  _{x2  1} ; 6)
y  (x³  1)⁶
; 7)
_{y } 1  sin x _{; 8)}
1  sin x
_{y } 1  cos x _;
cos x  1

9) _{y  cos x}³ ; 10)
y  cos ¹
_x2
; 11)
y  tg(2x²  1) ^;

12)
y  lg (5x²  1) ^{; 13*)}
y  ln² (x²  1) ^;
e^x  1

14)
y  2  5^x  3e^x ; 15)
y  _ex
 1 ^.

51. 
    Berilgan funksiyaning kritik nuqtalari, o‘sish va kamayish oraliqlari,
    

ekstremumlari hamda
x  2
abssissali nuqtadan o‘tuvchi urinma

tenglamasini toping: 1)
y  x²  2x ^{; 2)}
y  x³  3x² ; 3)
y  0,5x⁴ .

51. 
    Berilgan funksiyaning boshlang‘ich funksiyalarini toping:
    

¹⁾ y  7x  4 ^{; 2)}
y  3x²  4 ^{; 3)}
y  2x²  3x  8 ^;

4) y 
¹  4sin x ; 5)
_x2
y  1  cos 3x ^{; 6)
y  x2 } ;

7) y 
² ; 8) _{y }
³ ; 9)


y  7sin ^x  ² _;

sin² 3x
cos² 5x
³ cos² 4x

13)
^{y } 4x  1
; 14)
_{y  e}2 x3 _{; 15)
y  2}0,5x1 _.

51. 
    
    2
    Berilgan chiziqlar bilan chegaralangan soha yuzini toping:
    

¹⁾ y  x²,
y  0,
x  2;
²⁾ y  
x , y  0,
x  1;
x  9;

3) y  ² ,
x
y  0,
x  1,
x  3;

4. 
   y  sin x,
   

y  0, 0  x  ;

4. 
   y 
   

1 _,
x ln 2
y  0,
x  1,
x  4.

51. 
    Integralni hisoblang:
    

2
1) _ x³dx ; 2)
2
2
2
_ sin xdx ^{; 3)}

4

2
_ 4x³dx ;

3
1

⁴⁾ _3x²  4x  5_dx ^{; 5)}
0


2
_x  2

1

2
^x _^dx ; 6)

_  ^{x  1}^{2 dx ;}
1

7) _^{sin(2x  60)dx} ; 8)
0
_3x⁴  2x²  5_dx ^;
0

⁹  ^{2x 1} 
² dx
² xdx

9) _{ 5} ^ _ ^dx ; 10)
^ cos²(2x  60) ^{; 11)  .}

₄  

1. 
   Hosilani toping:
   

_ ^ 4
6