Аksiomatik usul. Evklid “Negizlari” Rejasi

II. n = k uchun 1 + 2 + 3 +... + k = ni, ya’ni A(k) predikatni rost deb faraz qilamiz.
III.n = k + 1 uchun A(k + 1) predikatning rostligini, ya’ni

to’g’riligini isbotlaymiz:


Bu esa A(k + 1) mulohazaning o’zidan iboratdir. Demak, A(n) predikat n ning barcha qiymatlarida rost.
b) (n³+2n)⋮ 3 ekanligini matematik induksiya metodi yordamida isbotlang.
Yechish. I. n = 1 da l³+21 = l + 2 = 3⇒3⋮3.
II.n = k da(k³+2k)⋮3 deb faraz qilaylik.
III.n = k + 1 da[(k + 1)³+2(k + 1)]⋮3 ekanligini isbotlaymiz.
Isbot.
(k + 1)³ + 2(k + 1)=k³+3k² +3k + 1+2k + 2 =
= (k³ + 2k) +(3k² + 3k + 3) = (k³ + 2k) + 3∙(k² + k + 1).
Bu yig’indi 3 ga karrali, chunki birinchi qo’shiluvchi (k³ + 2k)⋮3 — farazga asosan, ikkinchi qo’shiluvchi 3 ga karrali ekanligi ko’rinib turibdi: 3 • (k² + k + 1)⋮3. Demak, (n³ + 2n)⋮3bo’ladi.
d)(n³+11n)⋮6bo’lsa, uni matematik induksiya metodi yordamida isbotlang.
Yechish.
I. n=1 da l³ +11 • 1 = 1 + 11 = 12 ⇒12⋮6.
II.n = k da(k³ + 11k)⋮6 deb faraz qilaylik,
III.n = k+ 1 da [(k+l)³+ll(k+l)]⋮6ni isbotlaymiz.
Isbot. (k+ 1)³+11(k+1) = k³ + 3k² + 3k+ 1 + 1k + 11 =(k³ + 12 k) ++(3k² + 3k+ 12) = (k³ + 12k) + 3(k² + k + 4).
Bunda (k + 12)⋮6 — farazga asosan, 3 • [k² + k + 4] — bu ifodaning 3 ga karrali ekanligi ko’rinib turibdi, (k² + k + 4) ifoda esa 2 ga karrali. Demak,(n³ + 11n)⋮6bo’ladi.
Yevklid negizlari — Yevklidning asosiy matematik asari. 13 kitobdan iborat boʻlgan. Yevkliddan keyin Gipsikl (mil. av. 2-asr) va miletlik Isidor (mil. av. 6-asr) Yevklid "Negizlari"ga XIV va XV kitoblarni qoʻshganlar; shuning uchun asar 15 kitobdan iborat ham deyiladi. Asarda Yevklid davrigacha boʻlgan yunon matematikasi bayon etiladi. Yevklid "Negizlari"da geom. deduktiv asosda, yaʼni aksiomatik usulda yoritiladi; birinchi jumla (tasdiq) lar isbotsiz qabul qilinib, qolgan hamma daʼvolar — teoremalar shu aksiomalardan xulosa tariqasida chiqariladi. Yevklid "Negizlari"ning 1-1U kitoblari planemetrik kitoblar boʻlib, asosan, hozirgi oʻrta maktab dasturiga kirgan planemetriya bayon etiladi. V— VI kitoblarida geometrik miqdorlar (kesmalar, yuzalar) ning nisbatlari nazariyasi bayon etiladi. Bunda Yevdoks Knidlikning nisbatlar nazariyasi asos qilib olingan. VII—IX kitoblar arifmetik kitoblar boʻlib, butun sonlarga asoslangan nazariy arifmetika bayon etiladi. X kitobda irratsionalliklar nazariyasi va tasnifi beriladi. XI—XIII va qoʻshimcha XIV-XV kitoblar stereometriya ga bagʻishlangan. Yevklid "Negizlari" kamchiliklardan ham xoli emas. Masalan: nuqta, toʻgʻri chiziq va b. geometrik obrazlarning taʼrifi mantiqiy nuqtai nazardan nuqsonli hisoblanadi. Asarda zaruriyatsiz kiritilgan aksiomalar mavjud (masalan: aksioma sifatida olingan „Xamma toʻgʻri burchaklar oʻzaro teng“, degan iborani isbotlash mumkin), geometriyani aksiomatik asosda qurish uchun zarur boʻlgan harakat aksiomalari va tartib aksiomalari berilmagan, vaholanki asarda ulardan foydalanilgan.
Yevklidning soha bo‘yicha avvalgi hamkasblari – Fales, Pifagor, Aristotel va boshqalar geometriyaning rivoji uchun katta ko‘lamdagi ishlarni amalga oshirishgan edi. Lekin, ularning barcha ilmiy ishlari geometriyaning alohida qism va yo‘nalishlariga taalluqli bo‘lib, yaxlit mantiqiy izchillikka ega bo‘lmagan.

Yevklidning zamondoshlarini ham va undan keyingilarni ham «Boshlang‘ichlar»dagi keltirilgan ma’lumotlar va ilmiy asoslarning mantiqiy izchilligi va tizimlashganligi lol qoldirib kelgan. «Boshlang‘ichlar» 13 ta kitobdan iborat yagona ilmiy asarni o‘zida namoyon qiladi. 13 kitobdan har biri, shu kitobda qo‘llaniladigan tushunchalarning (masalan, nuqta, to‘g‘ri chiziq, kesma va ho kazo) aniq ta’rifini keltirish bilan muqaddimalanadi. Keyin esa, isbotsiz ravishda qabul qilinadigan asosiy qoidalar (5 ta aksioma va 5 ta postulat) keltiriladi va butun Geometriya ular asosiga quriladi. Fanning taraqqiyot darajasi hali amaliy matematikaning maydonga chiqishini taqozo etmagan o‘sha davrlarda, «Boshlang‘ichlar»ning I-IV kitoblarida keltirilgan ilmiy tushunchalar geometriyaning deyarli barcha boshlang‘ich tamoyillarini qamrab olgan va Pifagorchilar maktabining darajasidan ancha o‘zib ketgan edi. V kitobda proporsiyalar haqida so‘z borib, u Knidlik Yevdoksning ta’limotlariga tutashib ketadi. VII-IX kitoblarda streometriyaga doir bilimlar bayon qilinadi, xususan, tekislikning yuzasi, irratsionallik nazariyasi, (ayniqsa X kitobda) haqida batafsil to‘xtalib o‘tiladi. XIII kitobda olim Teetetdan kelib chiquvchi «to‘g‘ri jismlar» bo‘yicha tadqiqotlar keltirilgan.

Yevklidning «Boshlang‘ichlar» asari hozirda Yevklid geometriyasi nomi bilan ma’lum bo‘lgan geometriya fanining asosi hisoblanadi. «Bоshlаngichlаr»ning gеоmеtriyagа doir bo‘limlаri o‘zining mаzmuni jihаtidаn va mаtеriаl bayon etishdagi qat’iyligi jihаtidаn gеоmеtriyaning hozirgi maktab dаrsliklаrigа mos kеlаdi. U fazoning metrik xususiyatlarini bayon qiladi va hozirgi zamon fanida Yevklid fazosi deb ataladi.

Yevklid fazosi, Galiley hamda Nyutonlar tomonidan asos solingan mumtoz fizika hodisalarining namoyon bo‘lish arenasi hisoblanadi. Bu fazo bo‘sh, cheksiz va izotrop bo‘lib uch o‘lchamga ega. Yevklid fazoda atomlar harakatini ilgari suruvchi g‘oyalariga asoslangan o‘ziga xos fazo geometriyasini yaratdi. Undagi eng soda geometrik obyekt bu – nuqta bo‘lib, Yevklidga ko‘ra nuqta tomonlarga ega emas va bo‘linmas hisoblanadi.

Fazoning cheksizligi uchta postulatlar bilan ifodalanadi:
«Har qanday ikki nuqta orasidan to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin»;
«Kesmani har ikki tarafga cheksiz davom ettirish mumkin»;
«Har qanday markaz orqali aylana chizish mumkin»
«Boshlang‘ichlar» haqida gapirilganda uning, Injildan so‘ng ikkinchi mashhur qadimgi yodgorlik asar deb baholanadi. Kitob o‘ziga xos, jozibador tarixga ega. Ikki ming yillik davomida u maktab o‘quvchilarining asosiy darsligi, geometriyaning kirish kursi sifatida Benazir manba bo‘lib xizmat qildi. «Boshlang‘ichlar» o‘z mazmun mohiyatiga ko‘ra soda va ravon tilda yozilganligi, o‘quvchi uchun o‘zlashtirishga qulayligi kabi ajoyib jihatlari tufayli, qadimda ham, yaqin o‘tmishda ham favqulodda mashhurlikka ega edi. Noshirlik ishi hali yo‘lga qo‘yilmagan Gutenberggacha bo‘lgan davrlarda, «Boshlang‘ichlar» turli mamlakatlar va shaharlarda ko‘plab tillardagi qo‘lyozmalar shaklida xattotlar tomonidan minglab nusxalarda ko‘chirib tarqatilgan. «Boshlang‘ichlar»ning qadimgi Misr papiruslariga yozilgan nusxasi, teriga yozilgan bitiklar ko‘rinishidagi namunasi, va qog‘ozga xattotlik usulida yozilgan nusxalari ma’lum. Mazkur asarning amaliy ahamiyati shunda ediki, geometrik bilimlar, kundalik turmushda, uylar, bino va inshootlarni loyihalashda, dastgoh, asbob uskunalarni yasashda va ayniqsa harbiy sohalarda eng zaruriy bilimlar hisoblanardi. XX asrgacha bo‘lgan so‘nggi to‘rt asr ichida «Boshlang‘ichlar» 2500 marotaba nashr etilgan: o‘rtacha bir yilda 6 – 7 nashrda chop etilgan. XX asrgacha mazkur kitob Geometriya fanidan nafaqat maktablarda, balki, universitetlarda ham asosiy darslik bo‘lib hisoblangan.

Yevklidning «Boshlang‘ichlar» asarini to‘liq o‘rganib va mukammal sharhlab chiqqan eng birinchi olimlar – o‘rta asr musulmon sharqi matematik allomalari edi. Musulmonlardan «Boshlang‘ichlar»ning arab tilidagi nusxalari italyan matematiklari orqali Yevropa uyg‘onish davri matematiklari e’tiboriga yetib bordi va lotin tili hamda boshqa Yevropa tillariga muttasil o‘girildi. Dastlabki bosma nashri 1533-yilda Bazelda paydo bo‘ldi. Shunisi qiziqki, «Boshlang‘ichlar»ning ingliz tilidagi eng birinchi tarjima nusxasi, olim yoki tarjimon tomonidan emas, balki, Londonlik savdogar Genri Billingveem tomonidan 1570-yilda amalga oshirilgan va chop ettirilgan.

Yevklidning yana bir qisman saqlanib qolgan matematikaga oid asari ma’lum bo‘lib, unda olim Eng katta umumiy bo‘luvchi – EKUBni topish usullarini yoritib bergan. Mazkur usul tarixda «Eratosfen hisobi» nomi bilan mashhur bo‘lgan va berilgan sonda tub sonlarni keltirib chiqarish masalalarini ko‘radi.

Shuningdek Yevklid Geometrik Optikaning ilk asoslarini ham qo‘ygan va bu boradagi o‘z g‘oyalarini «Optika» va «Katoptrika» asarlarida bayon qilgan. Geometrik Optikaning asosiy tushunchasi bu – to‘g‘ri chiziq bo‘yicha tarqalayotgan nur. Yevklidning fikricha, yorug‘lik nuri inson ko‘zidan chiqib keladi (ko‘rish nurlari nazariyasi), va bu geometrik yashashlar uchun muhim ahamiyat kasb etadi. U qabariq ko‘zguning fokuslovchi va akslantirish qonuniyatlarini aniq ifodalaydi. Lekin fokusning aniq masofasini topish usullarini keltirib chiqara olmagan. Har qanday holatda ham fizika tarixida Yevklidning geometrik optika bo‘yicha tutgan o‘rni juda katta.

Albatta, Yevklid fazosining barcha xususiyatlari birdaniga kashf etilgan emas. Uning ko‘plab jihatlari asrlar davomida, ilmiy tafakkurning uzoq izlanishlari natijasida maydonga chiqqan. Lekin, o‘sha barcha ilmiy ishlarga «Boshlang‘ichlar» asari, o‘z nomiga munosib ravishda ilmiy qanot bergan. Hozirda ham Yevklid geometriyasining asoslarini bilish butun dunyo bo‘yicha ta’lim jarayonlarining muhim shartlaridan biri hisoblanadi.
Nazorat uchun savollar:

1. 
   Nomanfiy butun sonlar to`plamini aksiomatik qurish haqida tushuncha bering.
   
2. 
   Peano aksiomalarini ayting.
   
3. 
   Matematik induksiya haqida tushuncha bering.
   

Asosiy adabiyotlar

1. 
   Xamedova N.A, Ibragimova Z, Tasetov T. Matеmatika. Darslik. T.: Turon-iqbol, 2007. 363b. ( 70-73 betlar)
   

Qo‘shimcha adabiyotlar

1. 
   Abdullayeva B.S., Sadikova A.V., Muxitdinova M.N., Toshpo‘latova M.I., Raximova F. Matematika. TDPU. (Boshlang‘ich ta’lim va sport-tarbiyaviy ish bakalavriyat ta’lim yo‘nalishi talabalari uchun darslik) Toshkent-2012, 284 bet (133-142 betlar)