|
Аксарият дисоблаш методлари масаланинг қуйилишида қатнашадиган функцияларни унга бирор, муайян маънода яқин ва тузилиши соддароқ бўлган фуикцияларга алмаштириш ғоясига асосланган. Ушбу бобда функцияларни яқинлаштириш масаласининг энг содда ва жуда кенг қўлланиладиган қисми — функцияларни интерполяциялаш масаласи қаралади. Дастлаб интерполяциялаш деганда функциянинг кийматларшш аргументнинг жадвалда берилмаган цийматлари учун топиил тушунилар эди. Бу ҳолда интерполяциялашни „сатрлар орасидагиларни укин билиш санъати“ деб ҳам таърифлаш мумкин. Ҳозирги вақтда интерполяциялаш тушунчаси жуда кенг маънода тушунилади. Интерполяция масаласининг модияти куйидагидан иборат.
Фараз килайлик, [а, b] оралиқда у — f(x ) функция берилган ёки хеч бўлмаганда унинг f(x0), f(x1),..., f(xn) қийматлари маълум бўлсин. Шу оралиқда аниқланган ва ҳисоблаш учун кулай бўлган кандайдир функциялар {P(x)} синфини, масалан, купхадлар синфини оламиз. Берилган у = f(x) функцияни [а, b] оралиқда интерполяциялаш масаласи шу функцияни берилган синфнинг шундай Р (х ) функцияси билан такрибий равишда
алмаштиришдан иборатки, Р(х) берилган x0, x1 . . . , xn, нукталарда f(x) билан бир хил кийматларни кабўл килсин:
Бу ерда курсатилган x0, x1 . . . , xn„нукталар интерполяция тугунлари ёки тугунлар дейилади, Р(х) эса интерполяцияловяи функция дейилади. Агар {P(x)} синфи сифатида даражали кўпҳадлар синфи олинса, у ҳолда интерполяциялаш алгебраик дейилади. Алгебраик интерполяциялаш аппарата ҳисоблаш математикасининг куп соҳаларида кулланилади, чунончи, дифференциаллаш ва интеграллашда, трансцендент, дифференциал ва интеграл тенгламаларни ечишда, функция экстремумини топишда, хамда функция жадвалини тузишда. Тейлор ёйилмаси классик анализда қай даражада аҳамиятга эга бўлса, алгебраик интерполяциялаш ҳам ҳисоблаш математикасида шундай аҳамиятга эгадир. Айрим ҳолларда интерполяциялашнинг бошқа қуринишларини қуллаш мақсадга мувофиқдир. Масалан, f(x) даврий функция бўлса, у ҳолда {Р(х)} синфи сифатида тригонометрик функциялар синфи олинади; агар интерполяцияланадиган функция берилган нуқталарда чексизга айланадиган бўлса, у ҳолда {Р(х)} синфи сифатида рационал функциялар синфини олиш маъқулдир.
Бу бобда, биз, асосан, алгебраик интерполяциялашнинг ҳар хил усулларини куриб чикамиз ва бундай яқинлаштиришнинг анқлигини баҳолаймиз. Бобнинг охирида интерполяциялашнинг айрим татбтқларини кўриб чикамиз.
Интерполяцион кўпҳадларнинг мавжудлиги ваягоналиги. Лагранж интерполяцион формуласи
Биз асосан алгебраик интерполяциялаш билан шугулланамиз.
Масаланинг қуйилиши қуйидагичадир. Даражаси п дан юкори бўлмаган шундай купхад курилсинки, у берилган (п+ 1) та х0, х1,. . . , хп нуқталарда берилган
f(x0), f(x1),..., f(xn)
қийматларни қабўл қилсин. Бу масалани геометрик таърифлаш ҳам мумкин: даражаси п дан ортмайдиган шундай Р(х) кўпҳад курилсинки, унинг графиги берилган ( n + 1 ) та Mk(xk f(х)) (k = ) нуқталардан ўтсин.
Демак, ст коэффициентларни шундай аниқлаш керакки,
(1)
кўпҳад учун ушбу
(2)
тенгликлар бажарилсин. Б у тенгликларни очиб ёзсак, ст(т = ) ларга нисбатан (n + 1) номаълумли ( n + 1) та тенгламалар системаси ҳосил бўлади:
(3)
Бу системанинг детерминанти Вандермонд детерминантидир: W(x0,х1,х2,..., хп). Масала мазмунидан равшанки, xk нуқталар бир-биридан фарқли, демак бу детерминант нолдан фарқлидир. Шунинг учун ҳам (3 ) система ва шу билан бирга куйилган интерполяция масаласи ягона ечимга эга. Бу системани ечиб, ст ларни топиб (1 ) га куйсак, Р(х) купдад аникланади. Биз Р(х) нинг ошкор куринишини топиш учун бошқача йул тутамиз, аввало фундаментал кўпҳадлар деб аталувчи Qnj(x) ларни, яъни
шартларни цаноатлантирадиган я - даражали купдадларни цурамиз.
У ҳолда
изланаётган интерполяпион кўпҳад бўлади. Ҳақиқатан ҳам, барча i = 0, 1, 2, . . . n учун
ва иккинчи томондан Ln(x) n-даражали кўпҳаддир.
Энди Qn,j(x) нинг ошкор куринишини топамиз, бўлганда Qn,j(x) = 0, шунинг учун ҳам Qnj(x ) кўпҳад бўлганда x —xi га бўлинади. Шундай қилиб, n- даражали кўпҳаднинг п та бўлувчилари бизга маълум, бундан зса
келиб чиқади. Номаълум кўпайтувчи С ни эса
шартдан топамиз; натижада:
Бу ифодани (4) га қуйиб, керакли кўпҳадни аниқлаймиз:
Бу куҳад Лагранж интерполяцион, кўпҳади дейилади. Бу формуланинг хусусий холларини курайлик: п = 1 бўлганда, Лагранж кўпҳади икки нуқтадан ўтувчи тўғри чизик формуласини беради:
Агар п = 2 бўлса, у вақтда квадратик интерполяцион кўпҳадга эга бўламиз, бу куҳад учта нуктадан ўтувчи ва вертикал уққа. эга бўлган параболани аниклайди;
Мисол . 0, 1, 2 нукталарда мос равиш да 1, 2, 5 кийм атларни кабўл қилўвчи квадратик кўпҳад қурилсин.
Бу қийматларни охирги формулага қўямиз:
Энди Лагранж интерполяцион формуласининг бошқа кўринишини келтирамиз. Бунинг учун
кўпҳадни киритамиз. Бундан ҳосила олсак
Квадрат қавс ичидаги ифода x = x j ва k j бўлганда нолга айланади, чунки {xi — xj}) кўпайтувчи қатнашади. Демак,
Шунинг учун ҳам Лагранж коэффициентини
кўринишда ёзиш мумкин. Бундан эса Лагранж кўпҳади қуйидаги кўринишга эга бўлади:
Энди тугунлар бир хил узок лик да жойлашган: x1- x0= x2 -x1= …= xn – xn-1=h хусусий ҳолни кўрамиз. Бу ҳолда соддалик учун х = x1 +th алмаштириш бажарамиз, у ҳолда х — xj = h(t - j ) , n+1(x ) = hn+l (t) бу ерда
бўлиб, (2.6) Лагранж интерполяцион кўпҳади куйидаги кўринишни олади:
Do'stlaringiz bilan baham: |
