Agar shunday bo'lmasa, dsolve funksiyasi xato xabarini chiqaradi

4.1 ODE va ularning tizimlarining ramziy yechimlari. Mathematica tizimi oddiy differensial tenglamalar va ularning tizimlarini ramziy shaklda yechish uchun keng imkoniyatlarga ega. Buning uchun DSolve funksiyasidan foydalaniladi, uning algoritmi hozirda ma'lum bo'lgan analitik usullarning ko'pini amalga oshiradi. Yechimni izlashda DSolve funksiyasi qidirilayotgan funksiyalar nomlari va mustaqil o‘zgaruvchining nomi tizimning ish maydonida qiymatlarni o‘z ichiga olmaydi deb hisoblaydi. Agar shunday bo'lmasa, DSolve funksiyasi xato xabarini chiqaradi. Bunday holda, DSolve tomonidan qo'llaniladigan o'zgaruvchilar va funktsiyalarning nomlari Remove[name1,name2,...] buyrug'i bilan ish maydonidan olib tashlanishi kerak. Keyingi barcha misollar bu allaqachon amalga oshirilgan deb taxmin qiladi. Agar siz hali ham misollarni bajarishda muammolarga duch kelsangiz, iltimos, qo'llanmaning oxiridagi "Ishga tushirish misollari bo'yicha eslatmalar" bo'limiga qarang, u erda biz duch kelishi mumkin bo'lgan qiyinchiliklarni va ularni qanday hal qilishni qisqacha tasvirlab beramiz.

4.1.1 Oddiy differensial tenglamalarni yechish. Mathematica tizimi DSolve funksiyasidan foydalangan holda ko'plab ODElarni ramziy shaklda echishga imkon beradi. Funktsiya quyidagi sintaksisga ega D yechish[tenglama,y,x] U x ni tenglamaning mustaqil o'zgaruvchisi sifatida ko'rib, y funktsiyasini belgilaydi. Birinchi argument funksiyalar va uning hosilalari (y[x], y'[x], y''[x] va boshqalar) bo'yicha yozilgan tenglama (yoki tenglamalar ro'yxati), lekin undan foydalanish maqbuldir. hosilalarni belgilashning boshqa usullari (masalan, 𝐷[𝑦[𝑥], 𝑥], 𝑦(2)[𝑥], ∂𝑥 𝑦[𝑥], ∂𝑥𝑥 𝑦[𝑥] va boshqalar). Ikkinchi argument - kerakli funktsiyaning nomi. Uchinchi dalil mustaqil o'zgaruvchidir. Natija almashtirish qoidalari ro'yxati sifatida qaytariladi.

𝐃𝐒𝐨𝐥𝐯𝐞[𝒚′[𝒙] == 𝒙^𝟐, 𝒚[𝒙], 𝒙]

_𝑥3

{{𝑦[𝑥] → ₃ + 𝐶[1]}}

Bu yerda C[1] ixtiyoriy integrasiya konstantasini ifodalaydi. DSolve funksiyasi birinchi argument sifatida tenglamalar ro'yxatini olishi mumkin, ular orasida boshlang'ich shartlar bo'lishi mumkin.



Shuningdek, u ixtiyoriy parametrlar bilan yechim topishi mumkin koeffitsientlar sifatida.



Ramziy parametrlar boshlang'ich sharoitlarda koeffitsientlar yoki qiymatlar sifatida mavjud bo'lishi mumkin.



DSolve funksiyasi simvolik yechimni qidiradi va kvadratik yechimni qaytarishga harakat qiladi. Agar tenglama noaniq funktsiyani o'z ichiga olsa, u holda yechimda noaniq integrallar paydo bo'ladi.



Bu yerda K[1] integratsiya o‘zgaruvchisini, C[1] esa ixtiyoriy doimiyni bildiradi. Agar bunday belgi sizga mos kelmasa, siz quyidagi tarzda almashtirish/almashtirishni amalga oshirishingiz mumkin 𝐃𝐒𝐨𝐥𝐯[𝒚′[𝒙] − 𝒚[𝒙] == 𝒇[𝒙], 𝒚[𝒙], 𝒙]/. {𝑲[𝟏] → 𝒕, 𝑪[𝟏] → 𝑪𝟏} 𝑥

hapdagi rasmda yoriq funktsiyasi ko'rsatiladi, o'rtada-odu qarorining grafigi, o'ngda-o'zgarishlar traektori.

Ba'zan siz biron – bir qiymatni hal qilishda yoki biron – bir shartni bajarayotganda hisob-kitoblarni to'xtatishingiz kerak. Buning uchun Ndsolve funktsiyasining variantlarida When Event funktsiyasidan foydalanish ko'zda tutilgan. Uning sintaksisi bor

When Event[shart, harakat]

Ushbu funktsiyani NDSolve variantlari ro'yxatiga kiritganingizda, har bir qadamda "shart" mantiqiy ifodasini tekshirish amalga oshiriladi va u haqiqiy qiymatga ega bo'lganda, buyruqni bajarish amalga oshiriladi

mustaqil o'zgaruvchining hozirgi qiymati bilan" harakat". Bu buyruq almashtirish operatori bo'lishi mumkin, masalan, y[x]=qiymati yoki chiziq "Stop integratsiya", to'xtatish hisoblash. Malumot tizimi bilan tanishishingiz mumkin bo'lgan boshqa ma'nolarga ham ruxsat beriladi.

Quyidagi misolda biz duni hal qilish nolga teng bo'lgunga qadar hal qilamiz(qaror Cos[x]).

Qaror jadvali mustaqil o'zgaruvchining x qiymatiga qadar qurilgan bo'lib, unda qaror nolga aylandi. Ushbu qiymatni aniqlash uchun indekslashni qo'lladik.

Bu erda "sakrash" harakati vertikal ravishda to'pni (tortishish kuchi ta'siri ostida) modellash vazifasini misol qilib keltiramiz, bu yerdan chiqib ketayotganda uning tezligining 10 foizini yo'qotadi.

Tenglamalarning raqamli echimi hisob-kitoblarning aniqligiga ta'sir qiluvchi ndsolve funktsiyasining quyidagi variantlari muhim ahamiyatga ega:

AccuracyGoal har bir qadamda hisob-kitoblarning mutlaq xatosini belgilaydi, muhim raqamlar sonini ishlatadi; AccuracyGoal → ∞ ushbu parametr hisob-kitoblarni tugatish mezonlari sifatida ishlatilmasligini aytadi (ya'ni, boshqa variantlar ishlatiladi);

PrecisionGoal hisoblashning har bir bosqichida "nisbiy xato" ni aniqlaydi va muhim raqamlar soni bilan belgilanadi; PrecisionGoal → ∞ ushbu parametrni hisoblashni to'xtatish mezonlari sifatida ishlatilmasligini bildiradi (accuracygoal variant ishlatiladi);

WorkingPrecision opsiyasi ichki hisoblashda ishlatiladigan muhim raqamlar sonini aniqlaydi; ushbu parametrning qiymati odatda AccuracyGoal variantining qiymati ko'proq bo'lishi kerak; WorkingPrecision->MachinePrecision-ni o'rnatish protsessor aniqligi bilan hisob-kitoblarga olib keladi;

MaxSteps variant namuna olish qadamlar maksimal sonini belgilaydi;

MaxStepSize variant namuna olish qadamlar maksimal uzunligini sozlash;

MaxStepSize → Infinity qadam hajmi chegarasini o'chiradi;

StartingStepSize dastlabki qadam hajmini belgilaydi

2-usul

Haqiqiy hayot muammolarining matematik formulalarida paydo bo'lganda, differentsial tenglamalar matematika, fizika va biologiya fanlari yoki muhandislik o'rtasidagi o'zaro aloqalarni ko'rsatishda Markaziy rol o'ynaydi . Demak, differensial tenglashuvlarning yechim usullarini o'rganish doimo muhim tadqiqot sohasi bo'lib kelgan. Kompyuter algebra tizimlarini ixtiro qilish bilan differentsial tenglamalar echimlarini hisoblashning yangi usullarini topish bo'yicha davom etayotgan harakatlar qiziqarli o'zgarishlarga olib keldi. Bunday tizimlarda miqyosi va o'rnatilgan algoritmlarni tushunish ularni amalda qo'llashda juda foydalidir, chunki ular odatda differentsial tenglamalarni echish uchun turli xil yondashuvlarga (ramziy, raqamli va grafik) imkon beradi.

Ushbu maqolada biz oddiy differentsial tenglamalarni (ODEs) yopiq shaklda echishning mavjud usullari haqida umumiy ma'lumot beramiz va DSolve, Mathematica [5] da differentsial tenglamalarni echish funktsiyasi, asosiy kompyuter algebra tizimi. 2-bo'limda birinchi tartibli odalarni yechish usullari ro'yxatini keltiramiz. 3-bo'limda ikkinchi yoki undan yuqori tartibli chiziqli odalarni yechish usullari keltirilgan. Bo'lim 4, biz nochiziqli ikkinchi yoki undan yuqori tartibi ODEs bilan shug'ullanish. 5 bo'limida ODEs tizimlarini boshqarish usullari mavjud. Misollar ODEs har bir sinf tipik a'zolari tuzilishini misol uchun tanlangan va biz ularni hal qilish uchun ishlatiladi asosiy g'oyalar va algoritmlar tushunish berishga harakat qildik. Differensial tenglamalarning populyatsiya dinamikasi va differensial geometriyasiga tatbiqlarini ham kiritdik. Yakuniy bo'limda differentsial tenglamalarni Mathematica yordamida chuqurroq o'rganishga intilish bo'yicha takliflar berilgan.

Yuqori tartibli tenglamalar va ODEs tizimlarini echishda ular ham foydali bo'lganligi sababli, birinchi darajali Odeslarni hal qilish usullarini o'rganish juda muhimdir. Birinchi tartibli odalarning ayrim sinflari uchun yechish usullari ma'lum va yaxshi o'rganilgan [3, 4]. Bu tenglamalar sinflari orasida quyidagilarni sanab o'tishimiz mumkin: chiziqli, ayirmali, Bernulli, bir jinsli, teskari chiziqli, aniq va Clairaut tipidagi birinchi tartibli odalar. Riccati, Abel [6] va Chini

birinchi darajali odalar ham yaxshi o'rganilgan va bu echim topilishi mumkin bo'lgan ushbu tenglamalarning ko'pgina kichik sinflari aniqlangan. Bu sinflar biriga mos emas birinchi tartibi ODEs uchun, bir harakat qilib ko'rishingiz mumkin: fizika maxsus funktsiyalari aniqlash differensial tenglamalarni tan, integratsiya omillar topish yoki to'la yolg'on nosimmetrik hisoblash [7, 8, 9].

Kamke [3] va Murphy [4] ning taniqli kitoblarida standart usullar yoritilgan. [3] da keltirilgan tenglamalar statistikasiga asoslanib, birinchi tartibli ODE bilan ishlaganda qo'llash usullarining ketma-ketligini tanlash mumkin. [576] da keltirilgan 3 ta birinchi tartibli odalarning katta qismini chiziqli, ajraladigan, Riccati va Abel tipidagi tenglamalarni yechishning standart usullari bilan yechish mumkin. Masalan, ayirmali sinfga 103 ta tenglama mos keladi.

2.1. Chiziqli tenglamalar

Chiziqli birinchi tartibli odalar y'(x) a(x) y(x) a(x) y (x) a (x) a (x) deb belgilanadi va yechim integrallashdan keyin beriladi:

Yuqoridagi eritmada,

K[1] va K[2]

qo'g'irchoq integrallash o'zgaruvchilarini ifodalang. Uchun

DSolve tomonidan hosil mumkin xabarlarni bostirish, biz dastlab quyidagi buyruq yugurib:

2.2. Ayirmali tenglamalar

Sifatida yozilgan bo'lishi mumkin birinchi tartibi ODEs

y ' (x) ajratuvchi f( x) g(y (x)) ajratuvchi deyiladi

tenglamalar va yechim yana integrallashdan keyin beriladi:

Logistik tenglama y'(x)  y(x)(1 b y(x)) taniqli ajratiladigan tenglama. Endi ruxsat

ush boshlang'ich shart bilan logistik tenglamani yechamiz y (0) ni yechamiz. :

Endi a va b o'zgaruvchilarining turli xil sozlamalari bilan topilgan echimni tuzaylik :



Oddiy differentsial tenglamalarni yechish uchun matematikada usullar



2.3. Bernulli tipidagi tenglamalar

Shakldagi tenglamalar Bernoulli turi deyiladi

tenglamalar va yechim integrallashdan keyin topiladi. Quyidagi misolni shu tenglamaga misol qilishimiz mumkin.

2.4. Bir hil tenglamalar

Shaklning birinchi tartibli ODE bir hil deyiladi agaralmashtirish u (x) uzgaruvchan y (x) / x uni ayirmali tenglamaga kamaytiradi