Affin almashtirishning analitik ifodasi



Download 19,53 Kb.
Sana17.07.2022
Hajmi19,53 Kb.
#817735
Bog'liq
gggggggggggg


Affin almashtirishning analitik ifodasi
Tekislikda ixtiyoriy ikkita B=(O,e̅₁,e̅₂),B′=(O′₁,e̅′₁,e̅′₂) affin reperni qaraymiz (22-chizma).Ular tekislikda biror A(B)=B′ almashtirishni aniqlaydi.
B reperga nisbatan Mnuqtaning koordinatalarini x,y bilan,M′-A(M) obrazining koordinatalarini esa x′,y′ bilan belgilaymiz.Affin almashtirish ta′rifiga ko′ra M′ nuqta B′ reperga nisbatan x,y koordinatalarga ega.

B′ reperning e̅₁,e̅₂ koordinata vektorlari B reperga nisbatan e̅′₁(a₁,a₂), e̅′₂(b₁,b₂) koordinatalarga ega, ya′ni


e̅′′=a₁e̅₁+a₂e̅₂,
e̅₂=b₁e̅₁+b₂e̅₂, (32)
c₁,c₂ esa O′ koordinatalar boshining B reperga nisbatan koordinatalari bo′lsin.U holda
O͞M′=x′e̅′+y′e̅₂, O͞′M′=xe̅₁+ye̅₂, O͞O′=c₁e̅₁+c₂e̅₂ (33)
Lekin
O͞M′=O͞O′+O͞′M′ (34)
(32),(33) tengliklarni e′tiborga olsak, (34) tenglikdan ushbu munosabatni hosil qilamiz;
x′e̅₁+y′e̅₂=(a₁x+b₁y+c₁)e̅₁+(a₂x+b₂y+c₂),
bundan
x′=a₁x+b₁y+c₁
y′=a₂x+b₂y+c₂ (35)
e̅′₁,e̅₂ vektorlar kollinear bo′lmagani uchun (35) formulalarda ≠0

Shunday qilib, tekislikdagi A almashtirishda B reperga nisbatan M′=A(M) nuqtaning koordinatalari orqali (36) shart bajarilganda (35) formulalar bo′yicha ifodalanadi.


Aksincha,tekislikni biror f almashtirish (35) formulalar bilan aniqlangan va unda ≠0 bo′lsin. Bu almashtirishning affin almashtirish ekanini ko′rsatamiz. Shu maqsaddda B reperga nisbatan Ax+By+C=0 tenglama bilan aniqlangan (bunda A,Bning kamida biri noldan farqli) biror l to′g′ri chiziqni olamiz.
F almashtirish l to′g′ri chiziqni l′ figura o′tkazadi,l′ figuraning to′g′ri chiziq ekanini ko′rsatsak,maqsadga ershgan bo′lamiz(35) ni quyidagicha yozamiz:
a₁x+b₁y=x′-c₁,
a₂x+b₂y=y′-c₂,
bu yerda ≠0 bo′lgani uchun bu sistema birgalikda, uni yechib,x,yni topamiz:
x=b₂/ x′-b₁/ y′- / ,
y=-a₂/ x′+a₁/ y′+ / . (37)
(37) dan x va y ning qiymatlarini Ax+By+C=0 ga qo′yib ixchamlasak,
(Ab₂-Ba₂)/ x′+(Ba₁-Ab₂)/ y′+A / +B / +C=0
Yoki
(Ab₂-Ba₂)x′+(Ba₁-Ab₁)y′+(A +B +C )=0 (38)

(38)da Ab₂-Ba₂,Ba₁-Ab₂ sonlarning kamida biri noldan farqli,chunki aks holda


Ab₂-Ba₂=0,Ba₁-Ab₁=0
Tengliklardan a₁b₂-a₂b₁ bo′lgani uchun A=B=0 kelib chiqadi.Bu esa qilingan farazga zid chunki A²+B²≠0.Shunday qilib (38) tenglama (o′zgaruvchi x,y larga nisbatan birinchi darajali bo′lgani uchun ) to′g′ri chiziqning tenglamasidir.Demak,l figura to′g′ri chiziq.
Biz quyidagi faktni isbotlashga muvaffaq bo′ldik:har qanday affin almashtirish koordinatalarda (35)chiziqli formulalar bo′yicha ifodalanadi,bunda
≠0 (*)
Va aksincha (35) chiziqli formulalar (*) shartda har vaqt tekislikdagi affin almashtirishni ifodalaydi.
Affin almashtirishga misollar
1.Tekislikda shunday ikkita B=(O,e̅₁,e̅₂) va B′=(O,e̅′₁,e̅′₂) affin reperlarni qaraylik, bunda e̅′₁=ke̅₁,e̅′₂=ke̅₂ bo′lsin. Bu ikki affin reper biror A affin almashtirishni aniqlaydi,ya′ni A:B→B′; bu vaqtda ixtiyoriy M va M′=A(M) nuqtalar uchun
O͞M=xe̅₁+ye̅₂, O͞M′=xe̅′₁+ye̅′₂=kxe̅₁+kye̅₂=kO͞M.
Har qanday M,M′ mos nuqtalar jufti uchun O͞M′=kO͞M shartni qanoatlantiradigan almashtirish tekislikda O markazli va k koeffitsientli gomotetiya edi.Demak, gomotetiya affin almashtirishdir.
2.A almashtirish B=(O,e̅₁,e̅₂) va B′=(O′,e̅₁,e̅₂) affin reperlar bilan aniqlangan bo′lsin. U holda har qanday M nuqta va uning A almashtirishdagi M′ obrazi uchun
O͞M=xe̅₁+ye̅₂, O͞′M′=xe̅₁+ye̅₂→O͞M=O͞′M′;
Lekin
M͞M′=M͞O+O͞O′+O͞′M′=O͞O′.
Har qanday M,M′ mos nuqtalar jufti uchun M͞M′=O͞O′ shartni qanoatlantiradigan almashtirish tekislikda O͞O′ vektor qadar parallel ko′chirish edi.Demak,parallel ko′chirish affin almashtirishdir.
3.Tekislikda a to′g′ri chiziq va koordinatalar boshi umumiy bo′lgan shunday ikki B=(O,e̅₁,e̅₂),B′=(O,e̅′₁,e̅′₂) affin reperni olaylikki,O a, e̅₁ǁa, e̅′₁=e̅₁, e̅′₂=λe̅₂ va e̅₁perpendikular e̅₂(λ≠1) bo′lsin (123-chizma)

Bunday ikki affin reper bilan aniqlangan A affin almashtirishda har qanday mos M,M′=A(M) nuqtalar jufti uchun


O͞M=xe̅₁+ye̅₂, O͞M′=xe̅′₁+ye̅′₂=xe̅₁+λye̅₂ (39)
munosabatlarni yoza olamiz.(39) munosabatlardan ko′rinadiki,B reperda M,M′ nuqtalar ushbu koordinatalarga ega:M(x,y),M′(x,λy). Bundan esa Ox=a to′g′ri chiziqning nuqtalari A almashtirishda qo′zg′almas degan xulosa kelib chiqadi.
M͞M′=O͞M′-O͞M=(λ-1)ye̅₂→M͞M′ǁe̅₂→MM′ perpendikula Ox.
MM′ to′g′ri chiziq bilan Ox=a to′g′ri chiziqning kesishgan nuqtasini P bilan belgilaylik.
B reperda P(x,0) bo′ladi, u holda M͞P=-ye̅₂,P͞M′=λye̅₂, bu ikki tenglikdan

Download 19,53 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish