Aes shifrlash algoritmi

+ ( a₁  0)x²+ (a₀ 1) x+1=( a₆  0) x⁷+( a₅  0) x⁶+( a ₄  0) x⁵+
+( a₃ 1) x ⁴ +( a₂ 1) x³ + ( a₁  0)x²+ (a₀ 1) x+1,
bu yerda a₇ =1 bo‘lgani uchun
(a₇1) x⁸ =(11) x⁸ =0.
Agarda a₇ =0 bo‘lsa, u holda natija: a₆ x⁷+…+a₁x²+ a₀ x ko‘phadning o‘zi bo‘ladi.
Ushbu x time ( ) funksiya yuqorida kiritilgan ko‘paytirish amaliga nisbatan berilgan ko‘phadni x ga ko‘paytirishni ifodalasin. Shu funksiyani n marta qo‘llab xⁿ ga ko‘paytirish amali aniqlanadi. Bevosita hisoblash bilan quyidagilarni o‘rinli ekanligiga ishonch hosil qilish mumkin:
{57} {13} = {fe}, chunki
{57} {02}= x time ({57})={ae}
{57} {04}= x time ({ae})={47}
{57} {08}= x time ({47})={8e}
{57} {10}= x time ({8e})={07}, bundan
{57} {13}={57} ({01}{02}{10})={57}{ae}{07}={fe}.
Yuqorida ta’kidlanganidek algoritm akslantirishlari baytlar va to‘rt baytli so‘zlar bilan (ustida) bajariladi. To‘rt baytli so‘zlarni koefisentlari GF(2⁸) chekli maydondan olingan darajasi uchdan katta bo’lmagan ko‘phadlar ko‘rinishida ifodalash mumkin:
a(x) = a₃ x³+ a₂ x ²+a₁x+ a₀ ,
bu yerda , , i=0,1,2,3; j=0, 1, …,7.
Bunday ikkita ko‘phadlarni qo‘shish o‘xshash hadlari oldidagi koeffisiyentlarni amali bilan qo‘shish orqali amalga oshiriladi, ya’ni:
a(x)+b(x)= (a₃  b₃ ) x³+ (a₂ b₂) x ²+(a₁  b₁) x+ (a₀ b₀).
Ko‘paytirish amali quyidagicha amalga oshiriladi. Ikkita to‘rt baytli so‘zlar mos ko‘phadlar bilan ifodalangan bo‘lsin:
a(x) = a₃ x³+ a₂ x ²+a₁x+ a₀ va b(x) = b₃ x³+ b₂ x ²+b₁x+b_{0 .}
Ko‘paytirish natijasi oltinchi darajadan katta bo’lmagan ko‘phad
a(x) b(x) = s(x)= c₆ x⁶+ c₅ x⁵+c₄ x⁴+ c₃ x³+ c₂ x ²+c₁x+ c₀ ,
bo‘lib, bu yerda , c₁=a₁•b₀  a₀•b₁ , c₂=a₂•b₀a₁•b₁a₀•b₂ , c₃=a₃•b₀a₂•b₁a₁•b₂ a₀•b₃ , c₄ =a₃• b₁a₂•b₂ a₁•b₃ , c₅=a₃•b₂ a₂•b₃ , c₆=a₃•b₃
Ko‘paytirish natijasi to‘rt baytli so‘zdan iborat bo‘lishi uchun, uchinchi darajadan katta bo‘lgan har qanday ko‘phadni to‘rtinchi darajali = x⁴+1 keltirilmaydigan ko‘phadga bo‘lganda qoldiqda uchinchi va undan kichik bo‘lgan darajadagi ko‘phadlar hosil bo‘lishini hisobga olgan holda, ular natija sifatida olinadi, bunda bo‘lish jarayonida bajariladigan ayirish amali ikkilik sanoq sistemasida, yuqorida keltirilgani kabi, amali asosida bajariladi.
Quyidagi ifoda o‘rinli: xⁱ mod (x⁴+1)=x^{i mod 4} . Shunday qilib, a(x) va b(x) ko‘phadlarni -ko‘paytmasini ifodalovchi a(x) b(x) = d(x) = d₃ x³+ d₂ x ²+d₁x+ d₀ ,
natijaviy d(x) –ko‘phadning koefisiyentlari quyidagicha aniqlanadi:
d₀=a₀•b₀ a₃•b₁ a₂•b₂a₁•b₃, d₁=a₁•b₀ a₀•b₁ a₃•b₂ a₂•b₃, d₂=a₂•b₀ a₁•b₁ a₀•b₂ a₃•b₃, d₃=a₃•b₀ a₂•b₁ a₁•b₂ a₀•b₃ .
Yuqorida keltirilgan amallarni matrisa ko‘rinishida quyidagicha ifodalash mumkin:

Kvadrat arxitekturaga ega AES blokli shifrlash algoritmi o‘zgaruvchan uzunlikdagi kalitlar orqali shifrlanadi. Kalit va blok uzunliklari bir – biriga bog‘liq bo‘lmagan holda 128, 192 yoki 256 bit bo‘ladi. Biz mazkur o‘quv qo‘llanma ishida AES shifrlash algoritmini bloklar uzunligi 128 bit bo‘lgan holi uchun ko‘rib chiqamiz.
Blok o‘lchami 128 bitga teng kirish , bu 16 baytli massiv 4 ta qator va 4 ta ustundan iboratdir (har bir satr va har bir ustun bu holda 32 razryadli (bitli) so‘z deb qaraladi.)
Shifrlash uchun kirayotgan ma’lumot baytlari:
s₀₀ , s₁₀ , s₂₀ , s₃₀ , s_{01 ,} s₁₁, s₂₁, s₃₁, s₀₂ , s₁₂ , s₂₂ , s₃₂ , s₀₃ , s₁₃ , s₂₃ , s₃₃ ,
ko‘rinishida belgilanadi.
Kirayotgan ma’lumot quyidagi 5.9 – jadvaldagi kvadrat massiv ko‘rinishida kiritiladi. Ya’ni, baytlarni tartib bilan ustun bo‘yicha to‘ldirib boriladi. Birinchi to‘rtta bayt (s₀₀ , s₁₀ , s₂₀ , s₃₀) birinchi ustunga mos tushadi, ikkinchi to‘rtta bayt (s_{01 ,} s₁₁, s₂₁, s₃₁) ikkinchi ustunga mos tushadi, uchinchi to‘rtta bayt (s₀₂ , s₁₂ , s₂₂ , s₃₂) uchinchi ustunga mos tushadi, to‘rtinchi to‘rtta bayt (s₀₃ , s₁₃ , s₂₃ , s₃₃) to‘rtinchi ustunga mos tushadi.
5.9- jadval
Kirayotgan ma’lumotlar holati

s00	s01	s02	s03
s10	s11	s12	S13
s20	s21	s22	s23
s30	s31	s32	s33

Xuddi shunday tartibda shifrlash kaliti ham kvadrat jadval shaklida kiritiladi. Ular 128 bit = 16 bayt = 4 so‘z (to‘rtta 32 bitlik blok) dan iborat:
k₀₀ ,k₁₀ , k₂₀ , k₃₀ , k_{01 ,} k₁₁, k₂₁, k₃₁, k₀₂ , k₁₂ , k₂₂ , k₃₂ , k₀₃ , k₁₃ , k₂₃ , k₃₃ .
5.10- jadval
Shifrlash kaliti holat jadvali

k00	k01	k02	k03
k10	k11	k12	k13
k20	k21	k22	k23
k30	k31	k32	k33

Shuningdek, AES shifrlash algoritmi raundlar soni N_r , kirish bloklar o‘lchami N_b va kalit uzunligi N_k larga bog‘liq holda quyidagi 5.11- jadvalga mos holda qo‘llaniladi.

5.11- jadval

Raundlar soni

Nr	Nb=4 128 bit	Nb=6 192 bit	Nb=8 256 bit
Nk=4 128 bit	10	12	14
Nk=6 192 bit	12	12	14
Nk=8 256 bit	14	14	14

Raund akslantirishlari. Har bir raund shifrlash jarayonlari quyida keltirilgan to‘rtta akslantirishlardan foydalanilgan holda amalga oshiriladi:

1. 
   SubBytes – algoritmda qayd etilgan 16x16 o‘lchamli jadval asosida baytlarni almashtirish, ya’ni S -blok akslantirishlarini amalga oshirish;
   

2) ShiftRows – algoritmda berilgan jadvalga ko‘ra holat baytlarini
siklik surish;
3) MixColumns – ustun elementlarini aralashtirish, ya’ni algoritmda
berilgan matrisa bo‘yicha akslantirishni amalga oshirish;
4) AddRoundKey – raund kalitlarini qo‘shish, ya’ni bloklar mos
bitlarni XOR amali bilan qo‘shish.
Quyida bu keltirilgan akslantirishlarning matematik modellari va ularning umumiy qo’llanish sxemalari ko‘rib chiqiladi.
SubBytes (S -blok akslantirishlari jadvali) – akslantirishi har bir holat baytlariga bog‘liqsiz holda baytlarni chiziqli bo’lmagan amallar asosida o‘rin almashtirishlarni amalga oshiradi. Bu jarayon ikki bosqichdan iborat bo‘lib:
a) har bir s_ij holat baytini mod (x⁸+x⁴+x³+x+1) bo‘yicha teskarisi topiladi
s_ij 1 mod (x⁸+x⁴+x³+x+1);
b) har bir s_ij ni teskarisi bo‘lgan ni b = , deb belgilab olib, bir baytdan iborat bo‘lgan b sonini uning bitlari orqali ko‘rinishda tasvirlab, uning ustida quyidagi afin akslatirishi bajariladi
Cb +c (mod x⁸ +1) =b^’
Bu yerda C = -matrisa va = –vektor algoritmda berilgan o’zgarmas ifodaga ega bo‘lib, keltirilgan afin akslantirishi

ko‘rinishda amalga oshiriladi.
Natijaviy vektorning koordinatalari
, i=0,1,2,…,7; ifoda bilan rasional hisoblanadi.
Yuqoridagi a) va b) qismlarda berilgan barcha mantiqiy va arifmetik amallarni bajarish bilan amalga oshiriladigan o‘rniga qo‘yish akslatirishi 5.12 – jadvaldagi S -blok akslantirishlariga (almashtirishlariga) keltirilgan. Bu esa algoritmning dasturiy ta’minoti va apparat qurilmasini yaratishda qulaylik tug’diradi.
S -blok akslantirishlaridan foydalanib berilgan s –baytni 16-lik sanoq sistemasida s= kabi ifodalab x-satr va y-ustunlar kesishmasidagi baytlar almashtirish natijasi sifatida olinadi. Misol uchun {62} - ni {aa} ga ga almashtiriladi.

5.12- jadval

S blok almashtirish jadvali

X	Y