Absolyut va nisbiy xatoliklar, aniq va taqribiy sonlar, xatoliklar

XATOLIKLAR NAZARIYASINING ASOSIY MASALASI

Ko'pincha matematik masalalarni sonli echishda biz doimo aniq echimga ega bula olmasdan, balki echimni u yoki bu darajadagi aniqlikda topamiz. Demak, aniq echim bilan taqribiy echim orasidagi xatolik qanday kilib kelib koladi degan savol tugilishi tabiiydir. Bu savolga javob berish uchun xatoliklarning hosil bo'lish sabablarini o'rganish lozim.

1. 
   Matematikada tabiat xodisalarining miqdoriy nisbati u yoki bu funktsiyalarni bir-birlari bilan boglaydigan tenglamalar yordamida tasvirlanadi va bu funktsiyalarning bir qismi ma'lum bo'lib (dastlabki ma'lumotlar), boshqalarni topishga to'g’ri keladi. Tabiiyki, topilishi kerak bo'lgan miqdorlar (masalaning echimi) dastlabki ma'lumotlarning funktsiyasi bo'ladi. Kerakli echimni ajratib olish uchun dastlabki ma'lumotlarga konkret qiymatlar berish kerak. Bu dastlabki ma'lumotlar, odatda, tajribadan olinadi (masalan, yorug’lik tezligi, Plank doimiysi, Avogadro soni va x.k.) yoki boshqa biror masalani echishdan hosil bo'ladi. Har ikkala xolda ham biz dastlabki ma'lumotlarning aniq qiymatiga emas, balki uning taqribiy qiymatiga ega bo'lamiz. Shuning uchun agar dastlabki ma'lumotlarning har bir qiymati uchun tenglamani aniq, echganimizda ham, baribir (dastlabki ma'lumotlardagi qiymatlar taqribiy bo'lganligi uchun) taqribiy natijaga ega bo' lamiz va natijaning aniqligi dastlabki ma'lumotlarning aniqligiga bog’liq bo'ladi.
   

Aniq, echim bilan taqribiy echim orasidagi farq xato deyiladi. Dastlabki ma'lumotlarning noaniqligi natijasida hosil bo'lgan xato yo'qotilmas xato deyiladi. Bu xato masalani echayotgan matematikga bog’liq. bo'lmasdan, unga berilgan ma'lumotlarning aniqligiga bog’liqdir. Lekin matematik dastlabki ma'lumotlar xatosining kattaligini bilishi va shunga qarab natijaning yo'qotilmas xatosini baxolashi kerak. Agar dastlabki ma'lumotlarning aniqligi katta bo'lmasa, aniqligi juda katta bo'lgan metodni qo'llash urinsizdir. CHunki aniqligi katta bo'lgan metod ko'p mexnatni (hisoblashni) talab kiladi, lekin natijaning xatosi bari bir yo'qotilmas xatodan kam bo'lmaydi.

2. 
   Ba'zi matematik ifodalar tabiat xodisasining ideallashtirilgan modelini tasvirlaydi. Shuning uchun tabiat xodisalarining aniq matematik ifodasini (formulasini, tenglamasini) berib bo'lmaydi, buning natijasida xato kelib chikadi. Yoki biror masala aniq matematik formada yozilgan bo'lsa va uni shu ko'rinishda echish mumkin bo'lmasa, bunday xolda bu masala unga yaqinrok va echish mumkin bo'lgan masalaga almashtirilishi kerak. Buning natijasida kelib chiqadigan xato metod xatosi deyiladi.
   
3. 
   Biz doimo n, e, 1p2 va shunga o'xshash irratsional sonlarning taqribiy qiymatlarini olamiz, bundan tashqari, hisoblash jarayonida oraliq natijalarda ko'p xonali sonlar hosil bo'ladi, bularni yaxlitlab olishga to'g’ri keladi. Ya'ni masalalarni echishda hisoblashni aniq olib bormaganligimiz natijasida ham xatoga yo'l kuyamiz, bu xato hisoblash xatosi deyiladi.
   

Shunday kilib, tulik, xato yuqorida aytilgan yo'qotilmas xato, metod xatosi va hisoblash xatolarining yig’indisidan iboratdir. Ravshanki, biror konkret masalani echayotganda yuqorida aytilgan xatolarning ayrimlari katnashmasligi yoki uning ta'siri deyarli bo'lmasligi mumkin. Lekin, umuman olganda, xato tulik. analiz kilinishi uchun bu xatolarning xammasi hisobga olinishi kerak.