Ҳабибуллаев Иброҳим, Утанов Бунёд

t

t 1

i

i 1
Бу ерда таклиф функцияси ўсувчи бўлгани учун Е≥0; талаб функцияси камаювчи бўлгани учун эса В≥0; А>С>0, яъни D(0)>S(0)>0 (баҳонинг ноль қийматида талаб таклифдан юқори бўлади). Бундай тизимнинг динамикасини ифодаловчи тенглама қуйидаги кўринишга эга бўлади:

i i
D( p )  S ( p )
ёки
A  Bp
 C  Ep

Аввал мувозанат баҳо
p^ ва мувозанат ишлаб чиқариш ҳажми
Q^ ни

топамиз. Улар қуйидаги тенгламаларни қаноатлантиришлари керак:

бундан
Q^ 
A  Bp^*  C  Ep^*,

_p
келиб чиқади.
 ( A  C ) /( B  E )
ва Q^*  ( AE  BC ) /( B  E )

(9.4.6)

Бошланғич нуқта мувозанат нуқта билан устма-уст тушмаган ҳолатда баҳо ва ишлаб чиқариш ҳажми муносабатларини кўриб чиқайлик. Ушбу масалани «ўргимчак тўри» деб номланган график усулида ечиш мумкин. Аввало мувозанат нуқтаси билан устма-уст тушмайдиган бошланғич товар ҳажми ва баҳосини бериб, кетма-кет мос равишда талаб ва таклиф чизиқларини горизонтал ва вертикал тўғри чизиқлар билан бирлаштириб борамиз.

4. 
   а-расм. 9.6б-расм. 9.6в-расм.
   

Расмдаги биринчи чизмадан кўринадики, агар таклиф чизиғи (D) талаб чизиғи (S)га нисбатан кўпроқ оғишган бўлса у ҳолда бозорда мувозанат турғун бўлади (9.6а -расм). Агар талаб чизиғи (S) таклиф чизиғи (D)га нисбатан кўпроқ оғишган бўлса у ҳолда бозорда мувозанат турғун бўламайди (9.6б -расм). Ва ниҳоят талаб ва таклиф чизиқларининг оғишликлари бир хил бўлганда бозорда баҳо ўзгармас амплетудада доимий равишда тебраниб туради (9.6в-расм).
Энди моделни таҳлил қилиб кўрамиз. p_t ни p_t-1 орқали ифодалаб қуйидаги реккурент муносабатини оламиз.

p _t 

1. 
    C _ E B B
   

^p t  1

Ушбу муносабатни кетма-кет қўллаб қуйидагиларни топамиз:

_{p } A  C E


A  C E _ A  C E _

  p ; p 
¹ B B
 _

2. 
   B B
   

• 
  _ p
  

B

Умумий ҳолда

A  C ^

E _ E _


0 2 _



2
t1_{ E }t1<sub>

</sub> 0

t
_t ^E 

p_t 
 ^1 
^  
 ...  (1) _{ }
^ (1) _
  p
(9.4.7)

B



B
^  ^B 
 ^B  ^
 ^B  ⁰

Қавс ичидаги ифодалар геометрик прогрессия йиғиндисини беради. Агар

^q < 1, бўлса, у ҳолда
limS

n
n
_ a₁ 1 q


бўлади. Ўргимчак тўрисимон модел

учун
q   ^{E ,}
B
A  C
a  _.
1 _B

Бундан ихтиёрий t вақтда P_t учун қуйидагига эга бўламиз:

 
_E t

A  C
1  (1)^{t  }
B
t

E

0
_t  

p_t 

• 
   
  

 (1) _{ }  p
(9.4.8)

^B 1  ^E
B
 ^B 

Маълумки ^E
B


< 1,
 ^E ^t

 0
_{ } ва
B


p_t 
A  C _{ p*} E  B

бўлганда, яъни

 
таклиф чизиғи талаб чизиғига нисбатан кўпроқ оғишган бўлса, мувозанат

турғун бўлади. Агар

 ^E ^t

^E > 1 бўлса, яъни талаб чизиғи ўта оғишган бўлса, у
B

^ҳолда _{ }  0
ва жараён мувозанат нуқтасидан узоқлашади (мувозанат

 ^B 

турғун бўлмайди).

^E =1 бўлганда, яъни B=E ҳолатда P_t қиймати мувозанат
B

қиймати атрофида кетма-кет такрорланади.
Демак, тизимнинг мувозанат ҳолатда бўлишида асосан баҳонинг унча катта бўлмаган ўзгаришга таъсир этувчи ўтган даврдаги омиллар муҳим роль ўйнайди.
Қуйидаги масалаларнинг ечимларини топинг.

1. 
   масала.
   

Фараз қилайлик вақт бўйича кечикиш таклиф функциясида эмас талаб функциясида қатнашсин:

D_t 
A  Bp_t ; S_t
 C 
Ep_t1; D_t
 S_t

Мувозанат нуқтага интилиш шарти қандай бўлади? Ушбу жараённи график кўринишда тасвирланг.

2. 
   масала.
   

Талаб ва таклиф функциялари


D(t)  4  4 p(t),


S (t)  8  4 p(t 1)

кўринишда бўлсин. p(t) нарх учун формулани ва бошланғич нарх р₀ = 4 бўлганда ихтиёрий t учун талаб ва таклиф миқдорини топинг.

Ечиш. Мувозанат нуқтада талаб ва таклифнинг тенглиги шартидан

фойдаланиб
4  4 p(t) 
8  4 p(t 1)
тенгликни ёзиш мумкин. Бундан

p(t)  1 p(t 1) реккурент тенглама келиб чиқади. Мувозанат нуқтада

(9.4.6)га асосан ва (9.4.8)га асосан
p^* 
A  C B  E
4  8

4  4


t
 0,5 _,

_t  ^E 


^{1  (1)} _{ } t

p_t 
A  C

B
 ^B  E
 (1)^{t  E }

 
B

• 
  p₀ 
  

_{1 }  
B
 ⁴ <sup>t


1  (1)</sup>_{ } t

4  8
 
^{ 4 }  (1)^{t  4 }



• 
  4  0,5  4,5(1)^t
  

 
4 _{1 } ⁴ _ 4 _
4
реккурент формула хосил бўлади. Бундан кўринадики вақт ўтиши билан нархнинг тебраниши мувозанат қийматдан 4,5 бирликка тенг бўлган частота билан юз беради. Талаб учун формула қуйдаги кўринишда бўлади:
D(t)  4  4 p(t)  4  4(0,5  4,5(1)t )  6 18(1)t .
Таклиф учун эса формула қуйдаги кўринишга эга бўлади:
S (t)  8  4 p(t 1)  8  4(0,5  4,5(1)t 1 )  6 18(1)t 1.

4. 
   Баҳо мувозанатининг ЭВАНС модели
   

Моделда битта товар бозори қаралиб, вақт омили узлуксиз деб ҳисобланади. D(t), S(t), p(t) – мос равишда t вақтда товарга талаб, таклиф ва шу товарнинг нархи бўлсин. Талаб ҳам таклиф ҳам баҳонинг чизиқли

функцияси ҳисоблансин, яъни
D( p)  A  Bp,
A, B  0 ^{– талаб баҳонинг}

кўтарилиши билан камаяди,
S ( p)  C  Ep,
C, E  0
- таклиф эса баҳонинг

кўтарилиши билан кўпаяди. Табийки A >C, яъни баҳонинг ноль қийматида талаб таклифдан юқори бўлади.

Асосий мушоҳода шундан иборатки, баҳо талаб билан таклифнинг ўзаро
нисбатларига боғлиқ равишда ўзгаради деб қаралади:

p 
 D  S t _,

бунда γ > 0, яъни баҳонинг кўтарилиши талабнинг таклифга нисбатан юқори бўлишига ва шу жараённинг давом этиш даврига пропорционал. Шундай қилиб қуйидаги дифференциал тенгламани оламиз:
dp / dt   (D  S).
Бу тенгламага талаб ва таклифни нархга чизиқли боғлиқлигини қўйиб

p(0) 
бошланғич шарт билан

p

0
dp/ dt   ((B  E) p  A  C)
(9.4.9)

чизиқли бир жинсли бўлмаган дифференциал тенгламани ҳосил қиламиз.

Ушбу тенглама
p^  ( A  C) /(B  E)  0 ^{(стационар) турғун нуқтага эга.}

Кўриниб турибдики p^* > р бўлганда dp/dt>o ва p^* < р бўлганда, dp/dtlim p(t) = р^*. t
p_o< р^*бўлганда нарх кўтарилиб р^* га интилади, p_o> р^* бўлганда маҳсулот баҳоси пасайиб р^* га интилади. р^* мувозанат баҳо бўлганда талаб ва таклиф тенг бўлади:
D( p)  S( p)  A  Bp  C  Ep  p^  ( A  C) /(B  E).
Бир жинсли бўлмаган чизиқли дифференциал тенгламаларни ечишнинг умумий қоидасига асосан (9.4.9) тенгламанинг ечимини қуйидагича ёзиш мумкин:

p(t)  p
e^{ (BE)t}  ( A  C)/(B  E)^1 e^{ (BE)t }.

₀  
 
Бундан яна кўриш мумкинки вақт ўтиши билан товар баҳоси р^* га интилади,

яъни t^ бўлганда lim

p(t )  p ^*

бўлади.

5. 
   Иқтисодий ўсишнинг бир секторли СОЛОУ модели Иқтисодиёт доимо бир бутунликда қаралиб, унда ҳам ишлаб чиқариш,
   

ҳам ноишлаб чиқариш соҳаларида истеъмол қилинадиган ягона универсал маҳсулот ишлаб чиқарилади.

СОЛОУ моделида иқтисодиётнинг ҳолати 5 та ўзгарувчи орқали ифодаланади, яъни: Y- якуний маҳслот, L – меҳнат ресурслари ҳажми, K – ишлаб чиқариш фондлари, I – инвестиция, C – ноишлаб чиқаришдаги истеъмол ҳажми. Барча ўзгарувчилар ўзаро боғлиқ бўлиб вақт бўйича ўзгариб боради, яъни улар t – вақтнинг функцияларидир.
Вақт узлуксиз деб фараз қилиниб, K ва L – кўрсаткичлар мос равишда ишлаб чиқариш фонди ва меҳнат ресурсларининг йиллик ўртача қийматлари деб қаралади. Y,C,I катталикларнинг қийматларини уларнинг йил давомида жамланган ҳажмлари деб олиш мумкин. Ресурслари эса (ишлаб чиқариш ва меҳнат ресурслари) тўлиқ ишлатилади деб фараз қилинади.
Йиллик якуний маҳсулот ҳар бир вақт бирлигида ўртача йиллик фондлар ва меҳнатнинг функциясидан иборат, яъни Y=F(K,L). Шундай қилиб F(K,L) – бутун иқтисодиётнинг ишлаб чиқариш функциясини ифодалайди.
Якуний маҳслот ноишлаб чиқаришдаги истеъмолга ва инвестицияга сарфлансин, яъни Y=C+I. Якуний маҳсулотнинг инвестицияга сарфланадиган улуши (ρ)ни жамғариш меъёри деб аталади, у ҳолда I = ρY, С =(1- ρ)Y. Жамғариш меъёрини ўзгармас деб қабул қиламиз:
ρ =const, 0 < ρ < 1.
Инвестиция ишга яроқсиз ҳолга келган фондларни тиклаш ва уларни кўпайтириш мақсадида ишлатилсин деб олайлик. Агар фондларни яроқсиз ҳолатга келиши ўзгармас коэффицент μ (о<μ<1) бўйича юз берса, у ҳолда
K  K(t  t)  K(t)  Yt  Kt

бўлади, шунинг учун


dK / dt  Y  K.

Агар меҳнат ресурсларининг ўсиши мавжуд меҳнат ресрсларига

0
пропорционал деб ҳисобласак, яъни
L  L  t
бўлса, у ҳолда
dL / dt L

дифференциал тенглама ҳосил бўлади ва уни ечиш натижасида
L  L e^ t

L

0
ифодани оламиз, бу ерда
ресурслари.
 L(0)
t=о бўлганда кузатув бошидаги меҳнат

Шундай қилиб СОЛОУ модели қуйидаги тенгламалар системаси орқали ёзилади:

C  (1 )Y;
Y  F(K, L);

0
L  L e^ t



0
dK / dt  Y  K , K (0)  K .

(9.4.10)

F(K,L) функцияси ишлаб чиқариш функциясига қўйилган талабларни қаноатлантиради ва чизиқли–бир жинсли деб ҳисобланади, яъни

F(K, L)  F(K, L)^.
Функцияни бир жинслигидан фойдаланиб ва ўртача меҳнат

унумдорлигини
y  Y / L ва ўртача фондлар билан қуролланганлигини

k  K / L
билан белгиласак

y  Y / L  F(K, L) / L  F (K / L,1)  F(k,1)
ни ҳосил қиламиз.

Охирги функцияни
f (k) деб ҳисобласак
y  f (k) ни оламиз.

Энди k дан t бўйича ҳосилани топамиз:

dk / dt  d(K / L) / dt  (K^L  KL^)/ L2  K^/ L  K(L^/ L2 ) 
 (Y  K)/ L  K / L  y (  )k.

0 0

0
Демак:

dk / dt
 f (k )  (  )k ,
k (0)  k
 K / L .
(9.4.11)

(9.4.10) моделни макрокўрсаткичлари тўлиғича (9.4.11) тенглама ва

0
L  L e^{ t}
меҳнат ресурслари динамикаси ёрдамида аниқланади.

(9.4.11) – тенглама бошланғич шартга эга бўлган, ўзгарувчилари ажраладиган тенглама, шунинг учун у ягона ечимга эга.

6.