Abduvoxidov alisher nuraliyevich

1.3. Aylantirish usuli

Aylantirish usuli parallel harakatlantirish usulining xususiy holi hisoblanadi. Bu usulda geometrik shaklga tegishli nuqtaning trayektoriyasi ixtiyoriy bo‘lmay, balki berilgan biror o‘qqa nisbatan aylana bo‘yisha harakatlanadi. Aylana markazi berilgan o‘qda joylashgan bo‘lib, aylanish radiusi esa harakatlanuvshi nuqta bilan aylanish o‘qi orasidagi masofaga teng bo‘ladi yoki aylanish tekisligini aylanish o‘qi bilan kesishgan nuqtasi bo‘ladi.

Aylanish o‘qlari proyeksiyalar tekisliklariga nisbatan perpendikulyar, parallel, shuningdek, proyeksiyalar tekisligiga tegishli va boshqa vaziyatlarda bo‘lishi mumkin.

Quyida turli vaziyatlarda joylashgan aylanish o‘qlari atrofida aylantirish usullarni ko‘rib shiqamiz.

1.3.1. Geometrik shakllarni proyeksiyalar tekisligiga perpendikulyar o‘q atrofida aylantirish. Nuqtani aylantirish. H va V tekisliklar sistemasida ixtiyoriy A nuqta va i aylanish o‘qi berilgan bo‘lsin (10 a–rasm). Agar A nuqtani i⊥V aylanish o‘qi atrofida harakatlantirsak, mazkur nuqta V tekislikka parallel V₁ tekislikda radiusi OA ga teng aylana bo‘yisha harakatlanadi. Shuningdek, A nuqtaning ko’pyoqliklar trayektoriyasining gorizontal proyeksiyasi V₁ tekislikning V_1N izi bo‘yisha harakat qiladi. Chizmada V₁ tekislik V tekislikka parallel bo‘lgani uchun A nuqtaning frontal proyeksiyasi aylana bo‘yisha, gorizontal proyeksiyasi V_1N∥Ox bo‘yisha harakat qiladi (11–rasm, b).

B nuqtaning H tekislikka perpendikulyar i o‘qi atrofida aylantirilishi 11–rasm, a da ko‘rsatilgan. B nuqta B₁ vaziyayatga radiusi OB ga teng aylana bo‘yisha H tekislikka parallel bo‘lgan N₁ tekislikda harakatlanadi. Bunda N₁ tekislik H tekislikka parallel bo‘lgani uchun B nuqta ko’pyoqliklar trayektoriyasining gorizontal proyeksiyasi aylana bo‘yisha, frontal proyeksiyasi N₁ tekislikning N_1V izi bo‘yisha Ox ga parallel bo‘lib harakatlanadi. (12,b–rasm).



a) b)

10-rasm.



a) b)

11-rasm.
Yuqorida bayon qilinganlardan quyidagi xulosalarga kelamiz:

1-xulosa. Agar A nuqta frontal proyeksiyalar tekisligiga perpendikulyar o‘q atrofida aylantirilsa, mazkur nuqtaning frontal proyeksiyasi aylana bo‘yisha, gorizontal proyeksiyasi Ox o‘qiga parallel to‘g‘ri chiziq bo‘yisha harakatlanadi.

2-xulosa. Agar nuqta gorizontal proyeksiyalar tekisligiga perpendikulyar o‘q atrofida aylantirilsa, nuqtaning gorizontal proyeksiyasi aylana bo‘yisha, frontal proyeksiyasi Ox o‘qiga parallel to‘g‘ri chiziq bo‘yisha harakatlanadi.

Nuqtani proyeksiyalar tekisligiga perpendikulyar o‘q atrofida aylantirish qoidalariga asosan umumiy vaziyatda joylashgan geometrik shakllarni xususiy yoki talab qilingan vaziyatga keltirish mumkin.

Umumiy vaziyatdagi AB(A′B′, A″B″) kesmani V tekislikka parallel vaziyatga keltirilsin. (12–rasm).



12-rasm.

AB kesmaning biror, masalan B ushidan i⊥H aylantrish o‘qi o‘tkaziladi. So‘ngra bu o‘q atrofia kesmaning A′B′ gorizontal proyeksiyasini A′B′∥Ox vaziyatga kelguncha aylantiramiz. Bunda AB kesmaning A″ nuqtasi N_1V∥Ox bo‘yisha harakatlanib, A″₁ vaziyatni egallaydi. Shaklda hosil bo‘lgan AB kesmaning yangi A′₁B′₁ va A″₁B″₁ proyeksiyalari uning V tekislikka parallelligini ko‘rsatadi. Shakldagi α burchak AB kesmani H tekislik bilan hosil etgan burshagi bo‘ladi.

AB(A′B′, A″B″) kesmani i⊥H o‘q atrofida α burchakka aylantirish talab qilinsin (13–rasm). Kesmani α burchakka aylantirish uchun uning A′ va B′ proyeksiyalarini berilgan i o‘qi atrofida A′O′₁ va B′O′₂ radiuslari bo‘yisha α burchakka aylantirish kifoya qiladi.

Aylantirish usulining qoidasiga muvofiq kesma uchlarining A″ va B″ proyeksiyalari N_1V||Ox va N_2V∥Ox bo‘yisha harakatlanadi. Natijada, hosil bo‘lgan A₁B₁(A′₁B′_1,A″₁B″₁)kesma AB kesmaning α burchakka aylantirilgan vaziyati bo‘ladi. Bu misolni quyidagisha Yechish ham mumkin: AB kesmaning A′B′ gorizontal proyeksiyasiga i aylanish o‘qining gorizontal proyeksiyasi i′ dan unga perpendikulyar o‘tkaziladi. (14–rasm). Hosil bo‘lgan E′O′ aylantirish radiusni talab qilingan α burchakka aylantiriladi va E′₁O′ ga perpendikulyar qilib, ′ chiziq o‘tkaziladi. Bu chiziqqa shakldagi A′E′=A′₁E′₁ va E′B′=E′₁B′₁ kesmalar o‘lshab qo‘yiladi. So‘ngra A′₁ B′₁ ning frontal proyeksiyasi A″₁B″₁ yasaladi. Natijada AB kesmaning α burchakka aylantirilgan vaziyatining yangi A′₁B′₁ va A″₁B″₁ proyeksiyalari hosil bo‘ladi.

Izlari bilan berilgan umumiy vaziyatdagi P tekislikni i⊥H o‘qi atrofida α burchakka aylantirilish talab qilinsin (15-rasm). P tekislikning h(h′, h″) gorizontali i aylanish o‘qi orqali o‘tkaziladi va h∩i=>O(O′,O″) aniqlanadi. So‘ngra O′ nuqtadan P_N ga O′E′ perpendikulyar tushiriladi. Hosil bo‘lgan O′E′ berilgan P tekislikni i o‘q atrofida aylantirish radiusi bo‘ladi. Tekislikning P_N gorizontal izi O′E′ radius bo‘yisha α burchakka aylantirilganda, u P_1N vaziyatni egallaydi.



13-rasm. 14-rasm.

Tekislikning yangi P_1V frontal izini aniqlash uchun uning gorizontalidan foydalanamiz. Ma’lumki, P tekislik α burchakka aylantirilganda uning h(h′, h″) gorizontali h₁(h₁′, h₁″) vaziyatni egallaydi. Shuning uchun tekislikning P_1V izini yasashda P_1x va 1₁″ nuqtalar tutashtiriladi.

Umumiy vaziyatdagi P(P_H,P_V) tekislikni i(i′, i″)⊥H o‘q atrofida aylantirib frontal proyeksiyalovchi tekislik vaziyatiga keltirish talab etilsin (16–shakl). P tekislikning h(h′,h″) gorizontali i(i′, i″) o‘qi orqali o‘tkaziladi va gorizontalning i′ o‘qi bilan kesishish nuqtasi O(O′,O″) topiladi. Tekislik bilan uning h(h′,h″) gorizontali O′ atrofida aylantirilib, proyeksiyalovchi, ya’ni h₁′⊥Ox vaziyatga keltiriladi. Gorizontalning h″ frontal proyeksiyasi esa h₁″≡1₁″ vaziyatda bo‘ladi. Tekislikning yangi P_1V frontal izi P_1X va 1₁″ nuqtalardan o‘tadi.



15-rasm. 16-rasm.



17-rasm.

∆ABS(∆A′B′S′, ∆A″B″S″) tekislikning H tekislik bilan tashkil etgan  burshagini aniqlansin (17–rasm). Izlangan α burchakni aniqlash uchun berilgan ∆ABS tekislikni frontal proyeksiyalovchi vaziyatga keltirish kerak bo‘ladi. Buning uchun uchburchakning biror, masalan, S nuqtasidan i′⊥H aylanish o‘qi o‘tkaziladi va bu o‘q atrofida uchburchakni h₁⊥V (epyurda h′₁⊥V) vaziyatga kelguncha aylantiriladi. Bunda, uchburchakning A, B va S nuqtalari ham φº burchakka harakatlanadi. Chizmada uchburchak uchlarning yangi A′₁, B′₁ va S′₁ proyeksiyalari orqali uning A″₁B″₁S″₁ frontal proyeksiyalarini aniqlanadi. Bu nuqtalar o‘zaro tutashtirilsa, A″₁B″₁S″₁ kesma (uchburchakning yangi frontal proyeksiyasi) hosil bo‘ladi. Bu kesmaning Ox o‘qi bilan tashkil etgan α burshagi ∆ABS ni H tekislik bilan hosil etgan burshagiga teng bo‘ladi.

1.3.2. Geometrik shaklni proyeksiyalar tekisligiga parallel o‘q atrofida aylantirish. Umumiy vaziyatda joylashgan tekis geometrik shakllarni proyeksiyalar tekisliklariga parallel bo‘lgan o‘qlar atrofida aylantirib, ba’zi metrik masalalarni Yechish mumkin. Bunda, aylanish o‘qi sifatida umumiy vaziyatda joylashgan geometrik shaklning asosiy chiziqlari – gorizontal yoki frontallaridan foydalaniladi. Geometrik shaklni uning gorizontali atrofida aylantirib, H tekislikka parallel vaziyatga, shuningdek, uni frontali atrofida aylantirib, V tekislikka parallel vaziyatga keltirish mumkin.

Geometrik shakl proyeksiyalar tekisligiga parallel o‘q atrofida aylantirilganda uning har bir nuqtasi aylanish o‘qiga perpendikulyar bo‘lgan tekislikda aylana bo‘ylab harakatlanadi. Masalan, A nuqtani h gorizontal atrofida aylantirilganda radiusi OA ga teng aylana bo‘yisha M⊥h tekislikda harakatlanadi (18,a–rasm). Bunda, uning gorizontal proyeksiyasi gorizontalning h′ gorizontal proyeksiyasiga perpendikulyar to‘g‘ri chiziq bo‘yisha harakatlanadi.

Chizmada tasvirlangan A(A′, A″) nuqtani A₁(A₁′,A₁″) vaziyatga kelguncha aylantirish uchun aylanish markazi O(O′, O″) nuqtani aniqlash kerak (7.18,b–rasm). Bu nuqta aylanish o‘qi h ning M tekislik bilan kesishish nuqtasi bo‘ladi. Chizmada aylantirish radiusi R ning haqiqiy o‘lshamni aniqlash uchun H tekislikda to‘g‘ri burchakli ∆O′A′A₀ yasaymiz. Buning uchun AO radiusning A′O′ gorizontal proyeksiyasini to‘g‘ri burchakli uchburchakning bir kateti, OA kesma uchlari applikatalarining ∆z ayirmasini ikkinshi kateti qilib olamiz. Bu uchburchakning gipotenuzasi izlangan aylantirish radiusi R bo‘ladi. A nuqtaning aylantirilgandan keyingi yangi vaziyatining A′₁ gorizontal proyeksiyasi aylanish markazi O′ nuqtada bo‘lgan va O′A₀=R radiusli aylana yoyining M(M_H) tekislikning izi bilan kesishgan A₁′ nuqtasi bo‘ladi. A nuqtaning yangi A₁″ frontal proyeksiyasi esa h″ to‘g‘ri chiziqda bo‘ladi.



a) b)

18-rasm.

Umumiy vaziyatdagi ∠ABS(∠A′B′S′,∠A″B″S″) ning haqiqiy o‘lshami aniqlansin (19–rasm). Berilgan burchakning gorizontali yoki frontalidan foydalaniladi. Mazkur burchakning haqiqiy o‘lshamini aniqlash uchun chizmada uning f(f′, f″) frontali o‘tkazilgan. Rasmda hosil bo‘lgan ∠ABE(∠A′B′E′, ∠A″B″E″) ning haqiqiy o‘lshamini aniqlash uchun B nuqtani aylantirish radiusining haqiqiy o‘lshamini aniqlash kifoya. Buning uchun B″ nuqtadan f″ ga perpendikulyar o‘tkaziladi va aylanish markazining O_B(O′_B,O″_B), so‘ngra aylantirish radiusining BO_B(B′O′_B, B″O″_B) proyeksiyalari aniqlanadi. To‘g‘ri burchakli ∆O″_BB″B″_O yasash bilan radiusning haqiqiy o‘lshami O″_BB″₁=R aniqlanadi. B nuqtaning yangi vaziyatini yasash uchun O″_B dan R radius bilan O″_BB″₁ perpendikulyarning davomi bilan kesishgunsha yoy o‘tkaziladi va hosil bo‘lgan B″₁ bilan A″ va E″ nuqtalarni tutashtiriladi. Chizmada hosil bo‘lgan α berilgan burchakning haqiqiy o‘lshami bo‘ladi.

19-rasm.
Umumiy vaziyatdagi ∆ABS(∆A′B′S′, ∆A″B″S″) ning haqiqiy o‘lshami aniqlansin. Uchburchak gorizontali h(h′, h″) o‘tkaziladi. ∆ABS ning haqiqiy o‘lshamini aniqlash uchun uning B(B′,B″) va S(S′, S″) uchlari aylantirish radiuslarining haqiqiy o‘lshamlari aniqlanadi.

Chizmada B nuqtaning aylantirish radiusini aniqlash uchun uning O′B′ va O″B″ proyeksiyalaridan foydalanib, to‘g‘ri burchakli ∆O′_oB′B′_o ni yasaymiz. Bu uchburchakning O′B′_o gipotenuzasi B nuqtaning aylantirish radiusi bo‘ladi. B nuqtaning yangi vaziyati aylantirish markazining gorizontal proyeksiyasi O′ dan radiusi O′B_o ga teng qilib o‘tkazilgan yoyning harakat tekisligining M_H izi bilan kesishgan B_o nuqtasi bo‘ladi.

a) b)



v)

20-rasm.
Uchburchakning S va D nuqtalari aylanish o‘qiga tegishli bo‘lgani uchun ularning fazoviy vaziyatlari o‘zgarmaydi. Uchburchak A nuqtasi aylantirish radiusining haqiqiy o‘lshamini ham B nuqta aylantirish radiusining haqiqiy o‘lshamini topish kabi aniqlash mumkin. Ammo uchburchakning A nuqtasi h o‘qi atrofida B nuqta kabi harakatlanganda N(N_H) tekislikka va uchburchakning AB tomoniga tegishli bo‘lib qoladi. Uchburchakning AB tomoni esa qo‘zg‘almas D nuqtadan o‘tadi. Shuning uchun chizmada A nuqtaning yangi vaziyatini aniqlash uchun B₀ va D′ nuqtalar o‘zaro tutashtiriladi va A′ nuqtadan S′D′ ga tushirilgan perpendikulyar bilan kesishgunsha davom ettirilib, A₀ nuqta topiladi. Agar A₀, B₀ va S′ nuqtalar o‘zaro tutashtirilsa, uchburchakning haqiqiy kattaligi hosil bo‘ladi.

Agar uchburchakning biror tomoni (masalan, AS) gorizontal vaziyatda berilgan bo‘lsa, masala 20,b-rasmda ko‘rsatilgan kabi yeshiladi.

20,v-rasmda aylanish o‘qi gorizontal bo‘lib, uchburchak konturidan tashqarida S nuqta orqali o‘tkazilgan. Bu holda uchburchakning haqiqiy kattaligi uning gorizontal proyeksiyasi bilan ustma-ust tushmaydi, natijada, masalaning yeshimi yaqqolroq bo‘ladi.




21-rasm.



1.3.3. Geometrik shaklni proyeksiyalar tekisliklariga tegishli o‘q atrofida aylantirish yoki tekislikning izi atrofida aylantirish. Aylanish o‘qi sifatida umumiy vaziyatdagi tekislikning gorizontal yoki frontal izlaridan biri qabul qilinadi (21–rasm). Bu holda tekislik biror izi atrofida aylantirilib, proyeksiyalar tekisliklarining biriga jipslashtiriladi. Agar aylanish o‘qi sifatida tekislikning gorizontal izi qabul qilinsa, bu tekislikni gorizontal proyeksiyalar tekisligi bilan jipslashtirish mumkin. Shuningdek, tekislikni frontal izi atrofida aylantirib, uni frontal proyeksiyalar tekisligiga jipslashtiriladi.

Tekisliklarni proyeksiyalar tekisligiga jipslashtirish yo‘li bilan mazkur tekislikka tegishli bo‘lgan tekis shakllarning haqiqiy o‘lshamini aniqlash mumkin yoki umumiy vaziyatida berilgan tekislikka tegishli bo‘lgan har qanday geometrik masalalarni Yechish mumkin.

22,a–rasmda umumiy vaziyatdagi Q tekislikni Q_N gorizontal izi atrofida aylantirib, H tekislikka jipslashtirish ko‘rsatilgan. Tekislikning gorizontal izi aylanish o‘qi sifatida qabul qilingani uchun uning vaziyati o‘zgarmaydi. Bu tekislikni H tekislikka jipslashtirish uchun mazkur tekislikka tegishli biror nuqtaning H tekislikka jipslashtirish kifoya. Bunday nuqta sifatida tekislikning frontal iziga tegishli B(B′,B″) nuqtani olish mumkin. Bu nuqta orqali Q_N ga perpendikulyar M gorizontal proyeksiyalovchi tekislik o‘tkaziladi. B nuqta O′B_o=R radiusli yoy bo‘yisha M_N iz bilan kesishgunsha aylantiriladi. Natijada, hosil bo‘lgan B′₁ nuqta bilan Q_x ni o‘zaro tutashtirsak, Q tekislikni H tekislikka jipslashtirilgan vaziyatiga ega bo‘lamiz. Tekislikni bunday jipslashtirganda unga tegishli geometrik shakllar H tekislikka jipslashib, haqiqiy o‘lshamlarida proyeksiyalanadi.



a) b)

22-rasm.

22,a–rasmdan shuni aniqlash mumkinki, Q tekislikni Q_N izi atrofida aylantirib, uni H tekislikka jipslashtirishda Q_V iziga tegishli Q_xB₁ kesma o‘zining haqiqiy o‘lshamiga teng bo‘lgani uchun Q_xB″=Q_xB′₁ bo‘ladi. Demak, chizmada Q(Q_N, Q_V) tekislikni H tekislikka jipslashtirish uchun uning Q_V izida tanlab olingan B ≡ B″ nuqtani va Q_X markazdan Q_x B″ radius bilan yoy shizib, M tekislikning M_N izi bilan kesishgan B₁ nuqta aniqlanadi. So‘ngra B₁ va Q_X nuqtalardan tekislikning Q_V1 izi o‘tkaziladi.

Chizmada P(P_N, P_V) tekislikni P_N izi atrofida aylantirib, H tekislikka jipslashtirish uchun aylantirish radiusining haqiqiy o‘lshamini aniqlash zarur bo‘lsin (22,b–rasm). Ma’lumki, aylantirish radiusi tekislikning aylanish o‘qiga perpendikulyar bo‘ladi. To‘g‘ri burchakning proyeksiyalanish xususiyatiga ko‘ra, tekislikning P_V izida olingan A(A′, A″) nuqtaning A′ proyeksiyasidan tekislikning P_N iziga perpendikulyar o‘tkaziladi va O′ hamda O″ nuqtalarni topamiz. Chizmada hosil bo‘lgan O′A′ va O″A″ aylantirish radiusining proyeksiyalari, O′A₀ esa uning haqiqiy o‘lshami bo‘ladi.

Xuddi shuningdek P(P_H, P_V) tekislikni V tekislikka ham jipslashtirish mumkin (23–rasm). Buning uchun berilgan P tekislikning P_H gorizontal izida ixtiyoriy A nuqta tanlab, uning aylantirish radiusi P_X A′ aniqlanadi va tekislikning P_N izini P_V izi atrofida aylantirib, tekislikka jipslashtiriladi. Chizmadan ko‘rinib turibdiki, P tekislikni P_N izi atrofida aylantirilganda P_xA′ kesma P_xA″₁ ga teng bo‘ladi.

Umumiy vaziyatda berilgan tekislikka tegishli geometrik shaklning haqiqiy o‘lshamini aniqlash uchun uning xarakterli nuqtalarini proyeksiyalar tekisligiga jipslashtirish yo‘li bilan aniqlanadi. Masalan, Q(Q_N, Q_V) tekislikka tegishli ∆ABS(A′B′S′, A″B″S″) ning (24–rasm) haqiqiy o‘lshami uning A, B va S nuqtalarini V tekislikka jipslashtirish yo‘li bilan aniqlanadi.

Tekislikning jipslashgan holati berilgan bo‘lsa, uning dastlabki vaziyatini tiklash mumkin. Tekislikning dastlabki vaziyatini aniqlash natijasida tekislikka tegishli bo‘lgan shakllarning ham proyeksiyalarini aniqlash mumkin.

23-rasm. 24-rasm.
Masalan, P tekislikning H tekislikka jipslashtirilgan vaziyati P_H, P_V, P_1V izlari va shu tekislikka tegishli O₁ markaz va R radiusli aylana berilgan bo‘lsin (25–rasm).

Bu aylananing P tekislikdagi proyeksiyalarini yasash uchun aylana markazidan tekislikning h′₁ gorizontali o‘tkaziladi va 1′₁ nuqta aniqlanadi. Bu nuqtadan tekislikning P_N iziga perpendikulyar o‘tkazib, Ox proyeksiyalar o‘qiga tegishli 1′ nuqta topiladi. Bu nuqtadan h′₁ ning h′ proyeksiyasi o‘tkaziladi. So‘ngra P_x markazdan P_x1′₁ radius bilan o‘tkazilgan yoyning 1′ dan Ox o‘qiga o‘tkazilgan perpendikulyar bilan kesishgan 1″ nuqtasi topiladi. Bu nuqtadan h′₁ ning h″ proyeksiyasini o‘tkaziladi. So‘ngra 1″ va P_x nuqtalar tutashtirilib, tekislikning P_V izi hosil qilinadi. Aylana markazining proyeksiyalarini yasash uchun O′₁ dan P_N ga perpendikulyar o‘tkazib, h′ bilan kesishgan O′ nuqtani va h″ da O″ nuqta topiladi. Shuningdek, bu gorizontalda joylashgan aylananing A′₁ va B′₁ nuqtalarining A′, A″ va B′, B″ proyeksiyalari aniqlanadi.

Tekislikning f′₁ frontalini aylananing markazi O′₁ dan P_1V ga parallel qilib o‘tkazilib, aylananing E′₁ va F′₁ nuqtalarning E′, E″ va F′, F″ proyeksiyalari yasaladi.



25-rasm.
Xuddi shu tarzda aylananing L′₁ va T′₁, S′₁ va D′₁ nuqtalarning proyeksiyalari tekislikning gorizontallari yordamida aniqlanadi. Bu nuqtalarning bir nomli proyeksiyalarini mos ravishda o‘zaro tutashtirsak, aylananing gorizontal va frontal proyeksiyalari – ellipslar hosil bo‘ladi.