A note on extinction for fast diffusive p-Laplacian with sources

---

MATHEMATICAL METHODS IN THE APPLIED SCIENCES

Math. Meth. Appl. Sci.

2008;

31

:1383–1386

Published online 13 December 2007 in Wiley InterScience

(www.interscience.wiley.com) DOI: 10.1002/mma.976

MOS subject classification: 35 B 33; 35 K 55

A note on extinction for fast diffusive

p

-Laplacian

with sources

Wenjun Liu

1

,

2

,

∗

,

†

and Bin Wu

1

1

College of Mathematics and Physics

,

Nanjing University of Information Science and Technology

,

Nanjing 210044

,

China

2

Department of Mathematics

,

Southeast University

,

Nanjing 210096

,

China

Communicated by Y. Shibata

SUMMARY

In this note we illuminate that the small condition on initial data

u

0

in Theorem 4.1 of Yin and Jin

(

Math. Meth. Appl. Sci.

2007;

30

(10):1147–1167) can be removed for the case

p

−

1

<

q

<

1. Precise decay

estimates of solution are also obtained. Copyright

q

2007 John Wiley & Sons, Ltd.

KEY WORDS

:

extinction; fast diffusive equation; decay estimate;

p

-Laplacian

Consider a bounded domain

with smooth boundary in

R

N

, and study the solution

u

(

x

,

t

)

of the

following equation for 1

<

p

<

2

,

q

>

0

,

>

0:

u

t

−

div

(

|∇

u

|

p

−

2

∇

u

)

=

u

q

,

x

∈

,

t

>

0

(1)

with the initial and boundary value conditions

u

(

x

,

t

)

=

0

,

x

∈

*

,

t

>

0

(2)

u

(

x

,

0

)

=

u

0

(

x

)

0

,

x

∈

(3)

∗

Correspondence to: Wenjun Liu, College of Mathematics and Physics, Nanjing University of Information Science

and Technology, Nanjing 210044, China.

†

E-mail: [e-mail]

Contract

/

grant sponsor: Natural Science Foundation of Jiangsu Province Education Department; contract

/

grant

number: 07KJD510133

Contract

/

grant sponsor: Science Research Foundation of Nanjing University of Information Science and Technology

Copyright

q

2007 John Wiley & Sons, Ltd.

Received 4 April 2007

---

1384

W. LIU AND B. WU

We refer to

[

1

]

for the motivation and references concerning the study of problem (1)–(3). In

particular, the authors have the following critical extinction exponent result:

Theorem 1

(

Theorem 4.1 in Yin and Jin

[

1

]

)

Assume that 0

u

0

(

x

)

∈

L

∞

(

)

∩

W

1

,

p

0

(

)

. If

q

>

p

−

1, then any bounded and non-negative weak

solution of problem (1)–(3) vanishes in finite time for appropriately small initial data

u

0

. In addition,

if

q

=

p

−

1 with

<

1

then the weak solution vanishes in the sense of

·

L

2

(

)

as

t

→∞

, and in

particular, if 2

N

/(

N

+

2

)

p

<

2 or 1

<

p

<

2

N

/(

N

+

2

)

with

<

1

(

p

(

N

−

2

)

+

1

)/(

N

−

1

)

p

, then

u

vanishes in finite time too.

In this short note, we are interested in the case of

p

−

1

<

q

<

1. We show the following theorem,

which not only remove the small condition on initial data

u

0

in Theorem 1, but also establish the

precise decay estimates of solution.

Theorem 2

Assume that 0

u

0

(

x

)

∈

L

∞

(

)

∩

W

1

,

p

0

(

)

. If

p

−

1

<

q

<

1 and

satisfies (6), then the non-negative

weak solution of problem (1)–(3) vanishes in finite time for any initial data

u

0

, and

⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

u

(

·

,

t

)

ps

+

2

ps

+

2

B

e

−

t

,

t

∈[

0

,

T

0

)

u

(

·

,

t

)

ps

+

2

u

(

·

,

T

0

)

2

−

p

ps

+

2

−

C

2

(

2

−

p

)

ps

+

2

t

1

/(

2

−

p

)

,

t

∈[

T

0

,

T

1

)

u

(

·

,

t

)

ps

+

2

≡

0

,

t

∈[

T

1

,

+∞

)

for some

T

0

, where

s

0 satisfy

(

ps

+

2

)/(

s

+

1

)

N p

/(

N

−

p

)

, and

T

1

,

C

2

be given by (8), (6),

respectively.

To obtain the above results, we will use the following lemma, which is of crucial importance

in the proof.

Lemma 1

Let 0

<

k

<

p

1, and

y

(

t

)

0 be a solution of the differential inequality

d

y

d

t

+

C y

k



y

p

(

t

0

),

y

(

0

)

=

y

0

>

0

(4)

where

C

>

0

,

is a positive constant such that

C y

k

−

p

0

/

2. Then there exist

>

0,

B

>

0, such that

0

y

(

t

)

B

e

−

t

,

t

0

Proof

Since

y

(

t

)

≡

0 is a subsolution of (4), we only need to choose

,

B

properly such that

y

(

t

)

=

B

e

−

t

is a supersolution of (4). In fact, we first choose

B

=

y

0

. Then, to satisfy

−



B

e

−

t

+

C B

k

e

−

kt



B

p

e

−

pt

∀

t

0

that is

C

e

(

p

−

k

)

t



B

p

−

k

+



B

1

−

k

e

−

(

1

−

p

)

t

Copyright

q

2007 John Wiley & Sons, Ltd.

Math. Meth. Appl. Sci.

2008;

31

:1383–1386

DOI: 10.1002/mma

---

EXTINCTION FOR FAST DIFFUSIVE

p

-LAPLACIAN

1385

we only demand that

e



(

p

−

k

)

t



C

B

p

−

k

+



C

B

1

−

k

∀

t

0

since

p

1. For this purpose, we need

C

y

p

−

k

0

+

C

y

1

−

k

0

1

that is



y

k

−

p

0

(

C

−

y

1

−

k

0

)

Therefore, we only need to choose

=

C y

k

−

1

0

/

2.

Proof of Theorem 2

Multiplying (1) by

u

ps

+

1

, by the embedding theorem and H¨older inequality, we can easily obtain

(see (26) in

[

1

]

or (2.5) in

[

2

]

)

d

y

d

t

+

C

1

(

ps

+

1

)(

ps

+

2

)

(

s

+

1

)

p

y

(

ps

+

p

)/(

ps

+

2

)



(

ps

+

2

)

|

|

(

1

−

q

)/(

ps

+

2

)

y

(

ps

+

q

+

1

)/(

ps

+

2

)

(5)

where we denote

y

(

t

)

=

u

(

·

,

t

)

ps

+

2

ps

+

2

and

C

1

is the embedding constant. By Lemma 1, there exist

>

0

,

B

>

0, such that

0

y

(

t

)

B

e

−

t

,

t

0

provided that

C

1

(

ps

+

1

)

2

(

s

+

1

)

p

|

|

−

(

1

−

q

)/(

ps

+

2

)

u

0

p

−

q

−

1

ps

+

2

(6)

Furthermore, there exist

T

0

, such that

C

1

(

ps

+

1

)(

ps

+

2

)

(

s

+

1

)

p

−

(

ps

+

2

)

|

|

(

1

−

q

)/(

ps

+

2

)

y

(

q

+

1

−

p

)/(

ps

+

2

)

C

1

(

ps

+

1

)(

ps

+

2

)

(

s

+

1

)

p

−

(

ps

+

2

)

|

|

(

1

−

q

)/(

ps

+

2

)

(

B

e

−

T

0

)

(

q

+

1

−

p

)/(

ps

+

2

)

:=

C

2

>

0

(7)

holds for

t

∈[

T

0

,

+∞

)

. Therefore, when

t

∈[

T

0

,

+∞

)

, (5) turns to

d

y

d

t

+

C

2

y

(

ps

+

p

)/(

ps

+

2

)

0

(8)

Using a simple analysis, we obtain

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

y

(

t

)

y

(

0

)

(

2

−

p

)/(

ps

+

2

)

−

C

2

(

2

−

p

)

ps

+

2

t

(

ps

+

2

)/(

2

−

p

)

,

t

∈[

T

0

,

T

1

)

y

(

t

)

≡

0

,

t

∈[

T

1

,

+∞

)

Copyright

q

2007 John Wiley & Sons, Ltd.

Math. Meth. Appl. Sci.

2008;

31

:1383–1386

DOI: 10.1002/mma

---

1386

W. LIU AND B. WU

where

T

1

=

ps

+

2

C

2

(

2

−

p

)

u

(

·

,

T

0

)

2

−

p

ps

+

2

(9)

ACKNOWLEDGEMENTS

The authors would like to express sincere gratitude to Professor Mingxin Wang for his enthusiastic guidance

and constant encouragement. Thanks are also due to the anonymous referee for his

/

her constructive

suggestions.

REFERENCES

1. Yin J, Jin C. Critical extinction and blow-up exponents for fast diffusive

p

-Laplacian with sources.

Mathematical

Methods in the Applied Sciences

2007;

30

(10):1147–1167. DOI: 10.1002

/

mma.833.

2. Liu WJ. Periodic solutions of evolution m-Laplacian equations with a nonlinear convection term.

International

Journal of Mathematics and Mathematical Sciences

2007; 10. DOI: 10.1155

/

2007

/

27368.

Copyright

q

2007 John Wiley & Sons, Ltd.

Math. Meth. Appl. Sci.

2008;

31

:1383–1386

DOI: 10.1002/mma