А. А. Самарский, А. В. Гулин

pl 
1 + Vi
(17)
Яп.
*mln (g ~M )
Д о к а з а т е л ь с т в о . Погрешность 
zk= x k—х
удовлетворяет од­
нородному уравнению
В
—
+
Azk =
О, Л = 0, 1, . . . .
z
0
=
*0
— *. 
(18)
Т£+1
Умножим уравнение (18) на матрицу 
В~иг
и обозначим 
vk = Binzh.
Тогда получим уравнение
+Ct>t = 0, й =
0
, 
1
, .
.
v0 = Bv‘ (x0- x ) ,
(19)
TA
+1
где 
С = B~inAB~i/2.
Уравнение (19) отличается только обозначе­
ниями от уравнения (7), которому удовлетворяет погрешность яв­
ного итерационного метода. Поэтому нам остается лишь проверить 
выполнение условий теоремы 
1
по отношению к матрице 
С.
Матрица 
С
является симметричной и положительно определен­
ной, причем ее спектр совпадает со спектром обобщенной задачи на 
собственные значения (15). В частности, Xmin(5_
1
A) является ми­
нимальным собственным числом A,min(C) матрицы 
С,
а 
Хтзк(В~1А
)— 
максимальным. Следуя теореме 1, выберем параметры т* согласно 
(3), (4), где l=^m in(C)AmaДС). Тогда для решения уравнения (19) 
будет выполняться оценка
Подставляя сюда 
vk= B l/2zh, k = 0, п,
получим
т. е. придем к требуемой оценке (16). Теорема 2 доказана.
З а м е ч а н и е . При условиях теоремы 2 наряду с оценкой (16) справед­
лива и оценка
(Un— х|| A^^nlUo—*IU.
Для доказательства достаточно переписать уравнение (18) в виде (19), где
v k= A ' llZh, С = А ' 1>В-1А'1’, и повторить рассуждения теоремы 2.
Так же как и в случае явного метода, численная устойчивость 
неявного итерационного метода зависит от способа упорядочения 
итерационных параметров. Алгоритм построения устойчивого на­
бора итерационных параметров тот же, что и для явного метода.
4. 
Случай, когда точные границы спектра неизвестны. В теоре­
мах 1 и 2 фигурируют точные границы спектра матриц 
А
и 
В~1А
соответственно. Очень часто минимальные и максимальные собст­
венные значения не известны точно, а известны лишь оценки для 
них. Например, если выполнены матричные неравенства
'(1В ^ . А ^ ^ гВ
114