А. А. Самарский, А. В. Гулин

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АЛГЕБРЫ И АНАЛИЗА
Г Л А В А 1
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
В главах 1, 2 рассматриваются численные методы решения си­
стем линейных алгебраических уравнений
Ax = f,
(
1
)
где 
А
— матрица 
тУ.т, х = { х и х2,
. . . ,
х
т ) г— искомый вектор, / =
= (f
,, 
f2,
. . . ,
fm) T
— заданный вектор. Предполагается, что опреде­
литель матрицы 
А
отличен от нуля, так что решение 
х
существует 
и единственно. Для большинства вычислительных задач характер­
ным является большой порядок матрицы 
А.
Из курса алгебры из­
вестно, что систему (1) можно решить по крайней мере двумя спо­
собами: либо по формулам Крамера, либо методом последователь­
ного исключения неизвестных (методом Гаусса). При больших 
т
первый способ, основанный на вычислении определителей, требует 
порядка 
т\
арифметических действий, в то время как метод Гаус­
с а — только 
0 { т 3)
действий. Поэтому метод Гаусса в различных 
вариантах широко используется при решении па ЭВМ. задач линей­
ной алгебры.
Методы численного решения системы (1) делятся на две груп­
пы: прямые методы и итерационные методы. В 
пряШых
(или точ­
ных) 
методах
решение 
х
системы (1) находится за конечное число 
арифметических действий. Примером прямого метода является ме­
тод Гаусса. Отметим, что вследствие погрешностей округления при 
решении задач на ЭВМ прямые методы на самом деле не приводят 
к точному решению системы (1) и называть их точными можно 
лишь отвлекаясь от погрешностей округления. Сопоставление раз­
личных прямых методов проводится обычно по числу арифметиче­
ских действий (а еще чаще— по асимптотике при больших 
m
чис­
ла арифметических действий), необходимых для получения реше­
ния. При прочих равных условиях предпочтение отдается методу с 
меньшим числом действий.