А. А. Самарский, А. В. Гулин

итерационны х м етодов 
с 
сам осопряж енны м и операторам и
А, В.
В основе этой теоремы лежит предположение о том, что опе­
раторы 
А и В
связаны неравенствами
4 , B
s
: : A
s
^ 4 2B ,
(5)
395

---

где -у, и -у
2
— положительные постоянные. Поэтому нам прежде
всего надо доказать неравенства (5) для оператора (3).
Л е м м а 1. 
Пусть существуют положительные постоянные
б, Д 
такие, что выполнены операторные неравенства
А ^ Ь Е ,
 
(6)
4 R 'R ^ A A .
 
(7)
Тогда для операторов A = R ‘+R и В= (E+oiR*) (E+
вы неравенства
(5), 
где
/ 1 . 
. (о2А\-1 
1
v‘ = U + “ + — ) ■ * = - * •
(8>
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим операторы
В = В  (со) =
(Е
+ cotf *) 
(Е +
a R )
= Е + ыА +
В
(—а) =
(Е
— 
<$R
*) 
(Е
— шР) = £ — <оЛ -f- с
a2R’R .
Отсюда получим
В
( а ) —
В
(—а ) = 2аЛ ,
следовательно,
В = В
(а) ^ 2 а Л ,
поскольку 
В {
—а ) ^ 0 . Таким образом, 
A^Zy2B,
где 
72
= (2 а )-1. 
Далее, учитывая предположения (6), (7), получим
В = Е
+ аЛ + a
2R'R
< -L 
А
+ аЛ + —
А,
6 
4
т. е. 
A ^ " f tB,
где константа 
7
, определена согласно (
8
). Лемма 1 
доказана.
З а м е ч а н и е 1. 
В 
качестве константы 
8 в условии 
(6 ) 
можно взять мини­
мальное собственное значение 
Х т т ( Л )
оператора 
А или любую положительную
постоянную, не превосходящую 
Xmin(-d).
З а м е ч а н и е 2. Докажем, что если выполнено условие (7) с некоторой
константой Д > 0 , то при Л = ^ * + . / ? > 0 выполняется 
неравенство Д ^ л т ах (
А ),
где 7 т а х (А ) — максимальное собственное значение оператора 
А. Преобразуем (7)
с помощью следующей цепочки эквивалентных преобразований (см. и. 4 § 1 гл. 3):
+ R),
£ s £ —
(R-1 + R*'1), RR* zc
—
{R
+
R*).
4 
4 
4
Таким образом, из (7) следует неравенство
RR* + R * R ^
y
^R
+ К*)- 
(9)
С другой стороны, воспользовавшись тождеством
2
(R*R + RR*)
= 
(R* + R)2+
(
R*—R
) 
(R*—R)*,
получим
R*R+RR*>0,5(R* + R)2.
Отсюда и из (9) приходим к неравенству
(R*+R)2^A(.R*+R),
396

---

которое эквивалентно неравенству
A = R*+R^AE,
означающему, что А.Ша х И ) ^ Л . Учитывая замечание 1, видим, что если выпол­
нены неравенства (6 ), (7) и A,min 
A,mai ( 4 ) , то Д > б .
Обратимся теперь к исследованию сходимости попеременно­
треугольного итерационного метода.
Т е о р е м а 1. 
Предположим, что A = R"+R и существуют поло­
жительные постоянные
б, А, 
при которых выполнены неравенства
A ^ S E , 4R’R ^.A A . Пусть
_
2
__ 
__ 
2
КбАГ ’ 
Т 
Yi + Ys
(Ю>
где
7i
___ б___
2(1 + Г1) ’
_б
Д
(11>
Тогда итерационный метод
(2), (3) 
сходится, причем для погреш­
ности справедлива оценка
\\Уь—
ylLsSplT/o—
у\\л,
(12)
где
Р =
1 
- V I
1
+ з Г Г
(13>
Д о к а з а т е л ь с т в о . В лемме 1 установлено, что при любом 
а > 0 операторы 
А
и 
В
рассматриваемого итерационного метода 
связаны неравенствами (5), где Y1 = Yi(w) и 
=
определены 
согласно (8). Поэтому выполнены все предположения теоремы 1 
из § 4 гл. 2 ч. II о сходимости стационарных итерационных мето­
дов с самосопряженными операторами 
А
и 
В.
Согласно этой тео­
реме, для выполнения оценки (12) с константой
— Л
1
+
4
’
q L 
Yi (<а)
Y2 И
достаточно положить т =
2
/ (
41
+
42
)- Выберем теперь параметр &> 
так, чтобы минимизировать р. Для этого достаточно найти значе­
ние «в = со0, при котором функция
/ И
= тГ 1 =
Y2(
m
) 
Y
i
И
достигает максимума. Из формул (8) имеем
/ н =
\_
2
2
откуда видно, что /(ш) достигает максимума при о) = со0 = 2/УбА. 
Подставляя м = ю0 в выражения (8) для у, и у2, получим их зна­
чения, совпадающие с (11). При этом для константы