А. А. Самарский, А. В. Гулин

_ _
У
1
- 1 /
' 2 ^ / ~Ь 
/______
У'у
- 1 
tyjj
~1~ 
У1 h\
 
__
с
h2 
h2 
~ Tih
i, 
/= 1 , 2, . . . ,
N—
1, 
hN =
1, 
(7)
Уи> = Уш = 0,
i = l , 2, . . . ,
N—
1, 
yoj = yNj=
0, / = 1, 2, . . . , TV—1,
в § 1 было показано, что если записать ее в матричном виде (1), то 
матрица 
А
будет симметричной, причем ее наименьшее и наиболь­
шее собственные значения определяются формулами
8
/г2
Та
8 
2 
— COS 
h2
nh
2
Следовательно, систему (7) можно решать с помощью чебышев- 
ского итерационного метода (3), (4). Вычисление 
у
к+1
 = {Уи+1)}с,7^1
целесообразно организовать следующим образом. Сначала по из­
вестным приближениям 
у (ц
находится невязка
г\У = А $ - и , =
да
,т
+i 
,i
h2
д а .
„д а
h2
(
8
)
i, j=
1, 2, . . . , Л7— 1,
а затем досчитываются значения 
yfj+1)
по формуле
Уч+1) = УU -
r \ f
, 
i,
/ = 1, 2, . . . , 
N
 - 1. 
(9)
При этом полагаем
г/!о+1) = г/&+1) = 0, 
4 +1) =
I
= 0, г, / = 1,2,. . . 
, N
 — 1. 
(10)
Скорость сходимости итерационного метода определяется па­
раметром
V T = l / ^ = tg£A
Тг 
2
Поскольку шаг сетки 
h
невелик, можно считать, что ]/£л:0,5л/!. 
390

---

Оценим число итераций п, необходимое для уменьшения началь­
ной погрешности в 1/е раз. Из неравенства (5) и выражения (6) 
для 
qn
следует оценка
\У п —  
г/||'<2рп||г/0 — 
у\.
Поэтому достаточно потребовать 2р” г£^е, т. е. 
При малых 
h
имеем
п
>
п0
(е) 
=
In —/in —
е/ 
Pi
ln-
Pi
2 Y l ~ n h ,
следовательно,
«о («)
In (2/6)
я 
h
(П)
Основной вывод, который можно отсюда сделать, сводится к 
следующему: при решении с помощью чебышевского итерационно­
го метода разностных задач, аппроксимирующих уравнения эллип­
тического типа, число итераций я0(е), необходимых для получения 
заданной точности в, является величиной 
0{h~l).
Напомним, что метод простой итерации и метод Зейделя требу­
ют 
0(h~2)
итераций, что при 
h = 0,l
на порядок больше. Порядок 
числа итераций в чебышевском методе тот же, что и в методе верх­
ней релаксации с оптимальным выбором релаксационного пара­
метра (О.
В данном случае интересно провести сравнение необходимого числа итераций
в методе верхней релаксации и в чебышевском методе по числу е. Согласно (32)
из § 1 в методе верхней релаксации необходимое число итераций определяется
формулой
м(В-Р-)
(в):
2 In е-1
л h
в то время как для чебышевского итерационного метода
п0 (е) ~
In (2е !)
nh
Таким образом,
иоВ‘Р') (®) — 
п0
(е) ~