А. А. Самарский, А. В. Гулин

 — 
« 1
 
Уз — У\
, 
ь = - ^
Хч — JCi
и, — их
«з — 
“ 1
 
Уз — У
1
д
— 
* 1
— 
Ui
(
8
>
где
Уз — Уг
У з ~ У \
Выражения (
8
) и задают искомые приближения к производным 
ди/дх, ди/ду.
Определитель Д данной системы не равен нулю, так как по ус­
ловию точки 
А и А 2, А 3
не лежат на одной прямой.
Заметим, что соотношения (7), (
8
) можно записать в виде
= 0 ,
>50
U — Щ 
X — JCj 
у — у у
ц
2
 — щ 
х2 — хг 
У ч
—
у ,
и 3
— «1 
Х 3
—
X ,
У з
—
у
!

---

т. 
е. в виде уравнения плоскости, проходящей через три заданные
точки 
(хи у и щ),
i = l ,
2
, 3.
2. Общая постановка задачи интерполирования.
резке 
[а, Ь]
задана система функций
Пусть на от-
фо (■«) , ф! (х),. . . , ф„(х)
(9)
,и введена сетка
а ^ х
oCXjC. . . 
< x n^.b.
(
10
)
■•Образуем линейную комбинацию
ф(х)=С
0
фо(х)+С
1
ф
1
(х)4~- • ■
+ Спф„ 
(х)
(И )
с числовыми коэффициентами с0, 
си . . ., сп.
Задача интерполирова­
ния функции 
f(x)
системой функций (9) на сетке (10) состоит в 
нахождении коэффициентов с0, 
си . . . ,
с„, для которых выполнены 
условия
(p(xj)=f(xj),
/ =
0
,
1
, 
(
12
)
Интерполирование алгебраическими многочленами 
является 
частным случаем сформулированной задачи, когда фЛ(х) = х \
k =
=0, 1, . . . .
п.
Возникает вопрос о существовании и единственности 
решения общей задачи интерполирования. Запишем систему (12) 
'более подробно:
с0Фо (хо) + cifPi W + • ■
• +
Ыр* (х0) = f (х0),
соФо (*i) + С
1
Ф
1
(Xl)
 
+ • • • +
СпУп
(*i) =
f (х,),
С0Фо 
(Хп)
+ CjiPx 
(хп)
-f . . . +
С„ф„ 
(хп)
= / (*rt).
Д ля того чтобы эта система имела единственное решение, необхо­
димо и достаточно, чтобы определитель матрицы
'ф о (*о)
ф1 (
Хо
) ■ • Ф „ м
А =
Фо (*])
ф1 
(X,) 
.
■
Ф я ( 0
фо (*д)
ф! (•*■„) ■
• Ф 
п(хп)
был отличен от нуля. Более того, поскольку узлы 
х0, x l t . . . , х п
мо­
гут быть как угодно расположены на 
[а, Ь],
лишь бы среди них 
не было совпадающих, необходимо потребовать, чтобы det 
АФО
при любом расположении узлов. Выполнение или невыполнение 
этого требования зависит от выбора системы функций (ф*.(х)}£=0.
Система функций {
ф
Д
х
)}
а
=
о
называется 
системой Чебышева
на 
[а,Ь],
если определитель матрицы (13) отличен от нуля при 
любом расположении узлов 
xh^ [ a , b], k = 0,
1
, . . . . и, когда среди 
этих узлов нет совпадающих. Таким образом, общая задача ин­
терполирования однозначно разрешима, если 
{q>k(x)}k=o
чебы- 
шевская система функций. Функция 
ф ( х ) ,
определенная согласно
(
1 1
) и удовлетворяющая условиям интерполяции (
12
), называет­
ся 
обобщенным интерполяционным многочленом
по 
системе
(Ф
а
(*)}£=<>■
151

---

Система алгебраических многочленов с
pk( x ) = x
k, 
k = 0,
1, 
п,
является чебышевской системой на любом отрезке 
[а, Ь\.
Система 
тригонометрических многочленов фДх) (см. пример 
1
) является 
чебышевской системой на отрезке периодичности.
Приведем примеры систем функций, не являющихся чебышевскими. Пусть
на отрезке [—
1
, 
1
] задана система функций
Фо 
( х )
Фт М =
Г’
\ X,
—
1
: 
О :
;*<о,
Г* <
1
.
Если в качестве узлов интерполирования взять, например, точки
1
х 1 = — — , то получим
Ха = —
3_
4 '
I О 
1
0 |
oj
т. е. данная система не является чебышевской на [— I, I].
Менее тривиальным является пример системы
ф о ( * ) =
1 ,
< p i ( x ) = x 2—
1 / 4 ,
* < = [ — 1 , 1 ] .
Выбрав в качестве узлов интерполирования корни функции qpi (д:), т. е. точки
Хо =  —0,5, 
* 1
 = 0,5, придем к той ж е самой матрице 
А.
Вообще, из (13) видно, что если какая-либо из функций 
ф0, фь . . . , ф„ обращается на отрезке 
[а, Ь]
в нуль более чем 
п
раз, 
то система не является чебышевской. Действительно, если, напри­
мер, ф;(х
А) = 0
для некоторого / и для /г=
0
, 
1
,. . . , 
п,
то, выбирая 
точки 
ха, х„ . . .
,
хп
в качестве узлов интерполирования, получим, 
что /-й столбец матрицы 
А
содержит только нулевые элементы.
Можно доказать, что справедливо следующее утверждение 
(см., например, [4]). Для того чтобы система 
(ф*(я
)}£=0
была 
чебышевской на [а, 
Ь\,
необходимо и достаточно, чтобы любой об­
общенный многочлен по этой системе, у которого хотя бы один из 
коэффициентов отличен от нуля, имел на 
[а, Ь]
не более 
п
нулей. 
Иногда это свойство принимается за определение чебышевской си­
стемы.
3. Наилучшее приближение 
функции, заданной 
таблично.
Пусть значения функции 
f(x)
и функций фДх), /= 0 , 1, . . . , п, из 
системы (9) известны в точках 
хк^ [ а , b], k = 0,
1, . . . ,
т.
Если 
т>п,
то задача интерполирования становится переопределенной. 
В этом случае можно рассматривать 
задачу о наилучшем прибли­
жении,
которая формулируется следующим образом.
Введем обобщенный многочлен (11) и будем рассматривать его 
значения только в узлах 
хк,
т. е.
Ф (
хк
) = с
0
ф
0
 
(хк) 
+ с у р ,
(хк)