А. А. Самарский, А. В. Гулин

140
\A t--- -VQ 
) 
---
Л2/(Л~Г \и-^{ I ^ J 
л 0 
л
2
/
138

---

1. Построение кубического сплайна. Пусть на 
[а, Ь
] задана не­
прерывная функция 
f(x).
Введем сетку
a = x „ < x l< . . . < x N- i < x N — b
и обозначим 
fi=f(Xi), i =
0, 1, . . . ,
N.
Сплайном,
соответствующим данной функции 
fix)
и данным 
узлам {jC;}iLo, называется функция 
s(x),
удовлетворяющая следую­
щим условиям:
а) на каждом сегменте [х*_ь 
х {],
i = l , 2, 
N,
функция s(x) 
является многочленом третьей степени;
б) функция 
s(x),
а также ее первая и вторая производные не­
прерывны на 
[а,
Ь];
в) 
s{xt) = f { x t), i =
0, 1, . . . .
N.
Последнее условие называется 
условием интерполирования,
а сплайн, определяемый условиями а)—в), называется также 
ин­
терполяционным кубическим сплайном.
Докажем существование и единственность сплайна, определяе­
мого перечисленными условиями. Приведенное ниже доказатель­
ство содержит также способ построения сплайна.
На каждом из отрезков [Xj_(, х,], t = l, 
2
, . . . ,
N,
будем искать 
функцию s(x )= S i(x ) в виде многочлена третьей степени
Si (х) = at + bi (х
— 
Xi)
+
Ц- (х
— 
Xi)2 + ~ ( Х — Xi)3,
(1)
2
6
X i-^xs^X i, 
i = l , 2 , . . . , N ,
где 
at, bit cit d
{— коэффициенты, подлежащие определению. Пояс­
ним смысл введенных коэффициентов. Имеем
Si
(X) =
bt
-f 
Ci
(X — 
Xi)
+ - у (х — 
xt)2,
si (х) = d + di
(х — 
Xi), si
(x) =
di,
поэтому
ai = Si(xi), bi —
si (x;), 
a — Si(Xi), di = s"(Xi).
Из условий интерполирования 
s (x {)
= /( x ,) , 
i =
1
, 
2
, . . . ,
N,
полу­
чаем, что
ai=f(Xi), 
i = l ,
2, . . . ,
N.
Доопределим, кроме того, 
a„ = f ( x 0).
Далее, требование непрерывности функции s(x) приводит к 
условиям
Si{Xi)=si+l(Xi), 
i =
1, 2, . . . .
N — \.
Отсюда, учитывая выражения для функций s,(x), получаем при 
г=0, 1,. . . , 
N —
1 уравнения
di
=
0Ul
+
bi+l (Xi
— Х;+1) +
(X; — X
;+1)2
+ ——
(Xi
— XI+1)3.
2
6
H I

---

(2)
Обозначая 
hi=xt—xf-i,
перепишем эти уравнения в виде
h]
 
А?
hibi
-----f
+
=
‘ = 1, 2, . . . , 
N.
2
 
6
Условия непрерывности первой производной
Si (хс
) = Si+i 
(Xi), 
i
=■ 1» 2, . . . , 
N
1,
приводят к уравнениям
dhi - -J- hi = bt
 - Д_х, 
1 = 2,3,
 
(3)
Из условия непрерывности второй производной получаем урав­
нения
dih^Ci—Ci-i, i = 2 , 3 , . . . , N .
 
(4)
Объединяя (
2
) — (4), получим систему 
3N—2
уравнений относи­
тельно 3
N
неизвестных 
bu си dt, 1=
1
,
2
, . . . , 
N.
Два недостающих уравнения получают, задавая те или иные 
граничные условия для 
s(x).
Предположим, например, что функ­
ция 
f(x)
удовлетворяет условиям 
f " ( a ) = f " ( b ) =
0. Тогда естест­
венно 
требовать, 
чтобы 
s "( a) —s"(b) =
0. 
Отсюда 
получаем 
si( * o ) = 0 , 
s n
(
x n
) =
0 ,
т
. 
е. 
c t —
d,AJ=
0
, 
с ы =
0
.
Заметим, что условие с,—d ,/i,= 0 совпадает с уравнением (4) 
при t =l , если положить с
0
=0. Таким образом, приходим к замкну­
той системе уравнений для определения коэффициентов кубиче­
ского сплайна:
М ; = с,—Cj-i, 
i=
1, 2, . . . ,
N,
c
0
= C
jv
= 0, 
(5)
ft;?
kfii
----
—di = b:
h*
2
ft®
hcbi
------ с ; 4-----
di = f,
l
6
b;-i, 
i =
2, 3, . .. , Al,
Л - i,
i = l , 2 , . . . , N .
(
6
)
(7)
Убедимся в том, что эта система имеет единственное решение. 
Исключим из (5) — (7) переменные 
bu dit
i = l , 2, . . . ,
N
—
1
, и по­
лучим систему, содержащую только с,, 7=1, 2, . . . ,Л7— 1. Для этого 
рассмотрим два соседних уравнения (7):
, 
<4
А? , , 
h - f t-г
bi = — Ci
---- -- 
di
н------ ------ ,
2
6
ft£
< 
hi
-1 
^г'-t ^ 
| 
/i-l 7 j-2
bi-1
= ——■
Ci_!----- —
di-.
1 ч------- --------
2 
6 
ft, ,
и 
вычтем второе уравнение из 
первого. Тогда получим
bi — bi-t -
=
1
{hid - hi—
 iCi—i) -
-
(tidi - hUdi-i)
+
-
*
6
k;
142

---

Подставляя найденное выражение для 
bi—b{- 1
уравнения (
6
), получим
hid
“I- 
hi—iCi—
i
h
2
1 - 1
3
di—
i
Г/
1
- /
1-1
hi
в правую часть
f i - r - f i -
(
8
)
Далее, из уравнения (5) получаем
h id - c
=
 
h i
 
( C i 
C i
_ ^ ) , 
/ 1i—i d . i —i
h i —i
(
C i—i
 
£
7
—
2)
и, подставляя эти выражения в (
8
), приходим к уравнению 
/ i i _ i C , - 2 + 2
+
/ l i ) C i - 1 +
hid
=
6 f
V 
Ai 
Ai-i
Окончательно для определения коэффициентов 
ct
получаем си­
стему уравнений
hiCi-
1
 +
2
 
(he
 -(- 
hi+1) Ci
 -(- 
hi
 +icI 
+1
 =
6
 ^ ^ ---- ---------- ——- j , 
(
9
)
i = l
, 2
........Л/—
1
, 
с
0
= с я=
0
.
В силу диагонального преобладания система (9) имеет единст­
венное решение. Так как матрица системы трехдиагональная, ре­
шение легко найти методом прогонки, которая в данном случае 
устойчива (см. п. 7 § 4 ч. I). По найденным коэффициентам с,- ко­
эффициенты 
Ь{
и 
di
определяются с помощью явных формул
di
k;
h;
~ di
+
f t - f t
hi
(10)
Таким образом, доказано, что существует единственный куби­
ческий сплайн, определяемый условиями а) — в) и граничными ус­
ловиями s " (a )= s " (b )= 0 . Заметим, что можно рассматривать и 
другие граничные условия.
2. 
Сходимость процесса интерполирования кубическими сплай­
нами*). 
Покажем, что интерполирование кубическими сплайнами 
является сходящимся процессом, т. е. при неограниченном увели­
чении числа узлов 
N
соответствующая последовательность сплайн- 
функций сходится к интерполируемой функции 
f(x).
Оценки по­
грешности интерполяции 
r ( x ) = f ( x ) —s(x)
зависят от выбора сеток 
и от гладкости 
f(x).
Для простоты изложения будем рассматри­
вать сейчас последовательность равномерных сеток
(Hh={Xi=a + ih,
i =
0
, l ........TV}
*) Изучение этого раздела не обязательно для понимания дальнейшего ма­
териала. Более подробное изложение см. в [201.
143

---

с шагом 
h= (b—a)/N.
В этом случае основная система уравнений 
(9) принимает вид
С
;-1
+ 4
Ci
4- Cin =
6
f-x i , 
i =
1 > 2, . . . , 
N
1, 
(11)
С
 
о — 
С 
к
= 0
,
где обозначено 
f-x j
= ( /i - i -
2
/ ;+ /i+
1
)/ft2.
От функции 
f(x)
будем требовать существования непрерывной 
на 
[а, Ь]
четвертой производной, 
f (х)
e C (i|[a, 
6
]. Кроме того, 
предположим, что выполнены граничные условия 
f " ( a ) = f " ( b ) =
О 
и такие же условия для сплайнов. Обозначим
1 
ё
 W |
\c[a,b] =
 
I 
в (X)
 I. 
М 4 =
 1 /(4) W II
С[а.ЬУ
Пусть 
sh(x)
— кубический сплайн, построенный для функции 
f(x)
на сетке со*. В следующей теореме приведены оценки погрешно­
сти интерполяции для функции 
f(x)
и ее производных 
f'{x), }"{х).
Т е о р е м а 1. 
Д ля
Ь] справедливы оценки
| | / ( * ) -
5
;!(х)||С[а
1
Й]< Л У
1
\
(
12
)
II
Г (х) — s'n 
(X)
 
||qa,b] SS 
M4h \
 
(13)
\ \r ( x ) -s ' : t (x)\\C[aib]^ M 4h \
 
(14)
Из этих оценок следует, что при 
h-*-0
(т. е. при 
N-+-оо)
после­
довательности 
stfix), i =
0
,
1
,
2
, сходятся соответственно к функ­
циям 
f (i> (х)
, i =
0
, 
1
, 
2
.
Для доказательства теоремы 1 потребуется следующая лем­
ма 
1
, в которой даны оценки погрешности 
f"{x^ — s!l(xi)
в узлах 
сетки. Будем обозначать
11<р(-*)1-(Ш
/1, = max 1
ч
>(**)1-
xi
Л е м м а 1. 
Для
Д х ) е С (
1
)[а, Ь] 
справедливы оценки
i r w - s . : w n Cftefc)< - ^ - A a. 
ns )
Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку 
s^{xt) = с и
где с,- — решение 
системы (
1 1
), достаточно получить оценку для погрешности 
zt=
=Ci—f"(X i),
 
t'= 
1,2 , . . . , 
N —
 1. 
Подставляя 
Ci=zt+ fi
 
в 
(1 1 ), 
полу­
чаем для Zjуравнения
z
i- 1
+ 4zi+ z
i+1
= i|ii, i = l , 2, . . . ,
N
— 1, 
20
= zw = 0, 
(16)
где
^■ =
6
/ ^ - ( / / и + 4/: + /м ). 
(17)
Оценим решение системы уравнений (16) через правые части
Для этого перепишем уравнение (16) в виде
4z(= —Zi-i—zi+i+t|}i
144

---

и воспользуемся неравенствами
4 | г ; | =s= I z;-i 1 + I Zi+i | + | г|); | < 2 1 г ||C(<%) + II 'I’ 
|c^ k)
•
Так как это неравенство справедливо при всех i, оно выполня­
ется и в топ точке 
х{= х к,
в которой достигается максимум [z;|, 
т. е. в точке, где
Поэтому выполняется неравенство
4 1 21с(юА) ^ 2 1 2 llc(o);,) + I 'Р Ис(аА)'
т. е.
II 
f " ( x ) - s h (x)
|C((18)
Для того чтобы получить отсюда неравенство (15), осталось 
оценить ||'Р||С(мя). где ч|з( определено согласно (17). Перепишем гр*
в виде
^ =
6
(/b i i - / ' ; ) - / ^ ( n b ,
(19)
и воспользуемся разложениями (см. п. 1 § 4 ч. I)
fxx.i =
/ ' V (b)i 
Ь S
( X i - U X i + l ) ,
(D-xxi = r & ) ,
b e
(xc. u xUl),
справедливыми для / ( r ) e C (
4
)[a,f)]. Тогда из (19) получим 
^ ■ = ^ / ,v ( b ) - / t
2
/ lv (b),
т. е. при любом i = l , 2 , . . . ,
N
— 1 справедлива оценка
|