А. А. Самарский, А. В. Гулин

^2\У 1/ “Ь ^22У‘У ==
^/-1.1^1/ +
+ • • ■ + ^/—
j
,/—1 
У/-1.1 = О.
Учитывая невырожденность матрицы L, отсюда получим
Уи= = У а = = - • •: = */;-1з= = 0-
При этом оставшиеся уравнения системы (4) имеют вид
1цУп —  1.
1цУц + h .i+ iy j+ i.i + • • • • ) “ 1иУа —  О,
* = /+ 1 , У+2, . . . .
т.
Отсюда последовательно находятся неизвестные 
у1}
по формулам
i-l
Уц = - — .
-----, 
t = / + 1 ,/ + 2, 
.. ,,т,
(6)
Уа=
(7)
Подсчитаем число умножений и делений, необходимое для про­
ведения вычислений по формулам (
6
). При фиксированном 
i
д л я
вычислений по формуле (
6
) требуется 
1
деление и 
i—j
умножений. 
Вычисления по формулам (
6
), (7) при фиксированном 
j
потребуют
1 +
2
( t —
/ +
1
)
=
■( т
-
/
+
2
н
«
-
/ + | )
i=/+i
действий. Наконец, решение указанным способом систем (4) при 
всех / =
1
, 2, . . . ,
т
потребует
у
2
(m - / +
2
) ( m - / +
0 = ^ - 2
k(k + l ) = - m{m-+ l)6(m- + 2)
i = l
a
=
i
действий. Общее число действий умножения и деления, необходи­
мое для обращения матрицы указанным способом,
т
(ma — 1) 
, 
т ? ( т —
1) , 
т ( т
-f- i) ( m + 2) _
^
3
' 
2
6
Тем самым обращение матрицы требует не намного больше вре­
мени, чем решение системы уравнений.
§ 5. Метод квадратного корня
1. Факторизация эрмитовой матрицы. 
Метод предназначен 
для
решения систем уравнений
Л х = /
(
1
)
69

---

с симметричной (в комплексном случае — эрмитовой) матрицей. Он 
основан на разложении матрицы 
А
в произведение
A = S fDS,
(2)
где S — верхняя треугольная матрица с положительными элемен­
тами на главной диагонали, S*— транспонированная к ней (или 
комплексно сопряженная) матрица, 
D
— диагональная матрица, на 
диагонали которой находятся числа, равные ±
1
.
Возможность представления (2) можно получить как следствие теоремы
об /.//-разлож ении (см. § 2). Пусть все угловые миноры матрицы 
А отличны
от нуля. Тогда справедливо разложение Л = /./ /, где 
L — нижняя треугольная
матрица, имеющая обратную, и 
U — верхняя треугольная с единичной диаго­
налью.
Представим матрицу 
L в виде произведения L = M K ,  где М — нижняя тре­
угольная матрица с единичной главной диагональю и 
К — диагональная матри­
ца, главная диагональ которой совпадает с главной диагональю матрицы 
L, т. е.
K = d ia g [/ц, 
1
x
2
, . . . . Irnm]. 
(3)
По условию диагональные элементы матрицы 
L отличны от нуля, и, следова­