А. А. Самарский, А. В. Гулин

*i = h (b — a)-12 h 2 Лф/.
* = i
/ = i
Из разложения по формуле Тейлора
+ (
j k
,v &)
и ограниченности 
h
iv (*) следует, что существует постоянная 
M t>
> 0 , не зависящая от А и от / и такая, что
/= 1 , 2, . . . , У - 1 .
Поэтому из формулы (40) следует оценка
|zi |< ( M 1A*) 
\
№ (Л/ ~ 1} 
N
+ A2 (t~ ~-'-А 1 ,
L й — а 
2 
2 
J
Т. е.
I* i:< 
(Mth2)
 [ j
(N -
 1) 
N
 + t (t - 1)] 
^
 .
Выражение в квадратных скобках равно 
i(N+i
—2) и оценива­
ется сверху числом 2АД Таким образом,
| z,| 
(Mth2)N2h2 = Mt (b—a )2h2,
т. e. |
2
(| 
= 0 ( h z)
при A->-0, i = l , 2........У—1. В этом случае говорят,
что 
схема имеет второй порядок точности.
Отметим, что приведенный здесь способ исследования сходи­
мости, основанный на явном представлении решения разностной 
задачи, непригоден для более сложных задач. Другие методы ис­
следования сходимости разностных схем излагаются в части III.
44

---

7. 
Метод прогонки. Система уравнений (16) представляет со­
бой частный случай систем линейных алгебраических уравнений
Ay = f
с трехдиагональной матрицей 
А = [ а
й], т. е. с матрицей, все эле­
менты которой, не лежащие на главной и двух побочных диагона­
лях, равны нулю 
(а^=
0 при /> Н -1 и / C t —1).
В общем случае системы линейных алгебраических уравнений 
с трехдиагональной матрицей имеют вид
с}у}+Ьдш
= — /,, 
/ = 1, 2, . . . . Л — 1, 
(41)
=
Ук
=
(42)
Для численного решения систем с трехдиагональными матри­
цами применяется 
метод прогонки,
который представляет собой 
вариант метода последовательного исключения неизвестных. Осо­
бенно широкое применение метод прогонки получил при решении 
систем разностных уравнений, возникающих при аппроксимации 
краевых задач для дифференциальных уравнений второго по­
рядка.
Приведем вывод расчетных формул метода прогонки. Будем 
искать решение системы (41) в виде
t/j= aJ+iyJ+I+Pj+1, 
/ — 0, 1, . . . ,
N
1, 
(43)
где a i+i, Ря
-1
— неизвестные пока коэффициенты. Отсюда найдем
Уt-i
= > /* //1 + Р/ =
Щ
(a /+i*//+i + Р/+0 + Р/ =
= a / a /+i*//+i + (а/Р/+1 + Р/), 
/ = 1, 2, . . . ,
N
— 1.
Подставляя полученные выражения для 
yh yj^i
в уравнение 
(41), приходим при / = 1, 2 , . . . ,
N
—1 к уравнению
[
C L j+ i
О )
^ j ] У
j
+ I~П [ P j + i ( £ijCXj 
Cj) ^ 
' / j ] 
0 .
Последнее уравнение будет выполнено, если коэффициенты 
a j+i,
pm выбрать такими, чтобы выражения в квадратных скоб­
ках обращались в нуль. А именно, достаточно положить
й/
*/-1-1 ■
Р/э
aj$i+ fj
/ = 1 , 2 ,
, 
N —
1. (44)
Соотношения (44) представляют собой нелинейные разностные 
уравнения первого порядка. Для их решения необходимо задать 
начальные значения 
a lt
р,. Эти начальные значения находим из 
требования эквивалентности условия (43) при / = 0, т. е. условия 
ya= a ly l + $i,
первому из уравнений (42). Таким образом, получаем