А. А. Самарский, А. В. Гулин

b — a 
N
образует в 
Н
ортонормированный базис. Любой элемент 
у ^ Н
можно единственным образом представить в виде разложения
N
- 1
у = 2 Ск^ к)-
k = \
6. 
Разрешимость и сходимость разностной задачи. 
Обратимся 
к исследованию разностной задачи (16). Прежде всего теперь 
можно утверждать, что система линейных алгебраических уравне­
ний (16) имеет единственное решение. Действительно, в предыду­
щем пункте показано, что матрица системы (16) не имеет нуле­
вых собственных значений. Поэтому отвечающая (16) однородная 
система уравнений
yi-i—2y{+ y i+1=
0, 
i = l ,
2, . . . ,
N—
1, 
Уо~У;я=0
имеет только тривиальное решение и, следовательно, неоднород­
ная система (16) имеет единственное решение.
Исследуем сходимость при 
h
-* 0 решения разностной задачи
(16) к решению исходной дифференциальной задачи (8)— (9). 
Обозначим через
2
j = t/i—
tl[x i) ,
Х;£=(Ол,
погрешность в точке хи
т. е. разность между решениями задач 
(25) и (8)— (9). Подставляя в (16) вместо 
у{
сумму 
г {+ и(х{), i=
= 1, 2, . . . ,
N
—1, получим, что погрешность удовлетворяет разно­
стному уравнению
"г<~1~ « + г<+1 
. . . . Л - 1 ,
20 = гл = 0 ,(3 8 )
И?
г д е
ф; 
=
 U ~ x i
+ /ь
(39)
Сеточная функция ф; называется 
погрешностью аппроксимации
или 
невязкой
разностной схемы (16) на решении задачи (8)— (9).
4 3

---

Записывая 
в виде
'А =
( u x x , i
—
и ''
( * ‘)) +
( и ''
(х ‘) + А)
и учитывая, что согласно (8) выполняется равенство 
u"(xi)+fi =
О, 
получим
b = u7xtl — u"(xi).
Разложение по формуле Тейлора показывает, что если uIV(*) 
ограничена, то ф, = 0(/12) при 
0. По этой причине говорят, что 
разностная схема (16) имеет 
второй порядок аппроксимации на
решении исходной задачи 
(8) — 
(9). 
Наша ближайшая цель — по­
казать, что схема (16) сходится, т. е. 
0 при 
h-*-
0 и, более того, 
имеет второй порядок точности, т. е. z,==0(/i2).
Воспользуемся возможностью получить решение задачи (38) 
в явном виде. Уравнение (38) отличается от изученного ранее 
уравнения (18) только обозначениями. Поэтому согласно (20) ре­
шение задачи (38) представляется в виде
* =
2
h
2
h ^ i
~ 2
h
2
h4t' 
i = 2 ’ 3
........ (4°)
* = i
/ = i
k = i
/= i