А. А. Самарский, А. В. Гулин

ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
§ 1. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент
1. Схема вычислительного эксперимента. 
Эффективное решение 
крупных естественно-научных и народнохозяйственных задач сей­
час невозможно без применения быстродействующих электронно- 
вычислительных машин (ЭВМ). В настоящее время выработалась 
технология исследования сложных проблем, основанная на по­
строении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изу­
чаемого объекта. Такой метод исследования называют 
вычисли­
тельным экспериментом.
Пусть, например, требуется исследовать какой-то физический 
объект, явление, процесс. Тогда схема вычислительного экспери­
мента выглядит так, как показано на рис. 1. Формулируются ос­
новные законы, управляющие данным объектом исследования (I) 
и строится соответствующая 
математическая модель
(II), 
пред­
ставляющая обычно запись этих законов в форме системы урав­
нений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и т. д.).
' 
Рис. 1. Схема вычислительного эксперимента
При выборе физической и, следовательно, математической модели 
мы пренебрегаем факторами, не оказывающими существенного 
влияния на ход изучаемого процесса. Типичные математические мо­
дели, соответствующие физическим явлениям, формулируются в 
виде уравнений математической физики. Больш инство реальны х
процессов описывается нелинейными уравнениями и лишь в пер­
вом приближении (при малых значениях параметров, малых от­
клонениях от равновесия и др.) эти уравнения можно заменить 
линейными.
1

---

После того как задача сформулирована в математической фор­
ме, необходимо найти ее решение. Но что значит решить матема­
тическую задачу? Только в исключительных случаях удается най­
ти решение в явном виде, например в виде ряда. Иногда утверж­
дение «задача решена» означает, что доказано существование и 
единственность решения. Ясно, что этого недостаточно для прак­
тических приложений. Необходимо еще изучить качественное по­
ведение решения и найти те или иные количественные характери­
стики.
Именно на этом этапе требуется привлечение ЭВМ и, как след­
ствие, развитие численных методов (см. III на рис. 1). Под 
числен­
ным методом
здесь понимается такая интерпретация математиче­
ской модели («дискретная модель»), которая доступна для реали­
зации на ЭВМ. Например, если математическая модель представ­
ляет собой дифференциальное уравнение, то численным методом 
может быть аппроксимирующее его разностное уравнение совме­
стно с алгоритмом, позволяющим отыскать решение этого раз­
ностного уравнения. Результатом реализации численного метода 
на ЭВМ является число или таблица чисел. Отметим, что в на­
стоящее время помимо собственно численных методов имеются 
также методы, которые позволяют проводить на ЭВМ аналитиче­
ские выкладки. Однако аналитические методы для ЭВМ не полу­
чили пока достаточно широкою распространения.
Чтобы реализовать численный метод, необходимо составить 
программу для ЭВМ (см. IV на рис. 1) или воспользоваться гото­
вой программой. После отладки программы наступает этап про­
ведения вычислений и анализа результатов (V). Полученные ре 
зультаты изучаются с точки зрения их соответствия исследуемому 
явлению и при необходимости вносятся исправления в численный 
метод и уточняется математическая модель.
Такова в общих чертах схема вычислительного эксперимента. 
Его основу составляет триада: 
модель
— 
метод
(
алгоритм)
—
про­
грамма.
Опыт решения крупных задач показывает, что метод ма­
тематического моделирования и вычислительный эксперимент со­
единяют в себе преимущества традиционных теоретических и 
экспериментальных методов исследования. Можно указать такие 
крупные 
области применения 
вычислительного эксперимента, 
как энергетика, аэрокосмическая техника, обработка данных на­
турного эксперимента, совершенствование технологических про­
цессов.