9-ma’ruza: турғунликнинг гурвиц мезони

9-MA’RUZA:ТУРҒУНЛИКНИНГ ГУРВИЦ МЕЗОНИ.

Режа:

1. 
   Гурвиц аниқловчисини тузиш.
   
2. 
   Гурвиц мезонининг таърифи.
   
3. 
   Турғунликнинг зарурий шартлари.
   
4. 
   Киритик кучайтириш коэффициентини аниқлаш.
   

АБС нинг характеристик тенгламаси берилган бўлсин

. (9)
Шу характеристик тенглама коэффициентларидан тузилган жадвалга Гурвиц аниқловчиси ёки детерминанти дейилади.
Гурвиц аниқловчисини тузишда қуйидаги қоидага риоя қилиш керак:

1. 
   бош диаганал бўйича «а₁» дан то «а_n» гача ўсиш тартиби билан ёзиб чиқилади;
   
2. 
   бош диаганалга нисбатан қаторларнинг пастга томон индекслари камаювчи, юқорига томон индекслари ўсиб борувчи коэффициентлар билан тўлдирилади;
   
3. 
   индекслари нолдан кичик ҳамда «n» дан катта бўлган коэффициентлар ўрнига ноллар ёзилади;
   
4. 
   Гурвиц аниқловчисининг юқори тартиби характеристик тенгламанинг даражасига тенг бўлади;
   
5. 
   Гурвиц аниқловчисининг охирги тартиби га тенгдир.
   

Гурвиц мезонининг таърифи:
Агар бўлиб, Гурвицнинг ҳамма аниқловчилари нолдан катта бўлса, у ҳолда система турғун бўлади, яъни бўлганда ; ; бўлиши керак. бўлиши Гурвиц аниқловчисининг тузилиш структурасидан келиб чиқади. Шунга кўра, агар бўлса, система турғунлик чегарасида бўлади. Бу тенглик эса икки ҳолда, яъни ёки бўлганда бажарилиши мумкин.
Агар бўлса, унда текширилаётган система турғунлик ҳолатининг апериодик чегарасида бўлади (яъни характеристик тенгламанинг битта илдизи нолга тенг бўлади).
Агар бўлса, унда текширилаётган система турғунлик ҳолатининг тебранма чегарасида бўлади (яъни характеристик тенглама жуфт мавҳум илдизга эга бўлади).
Энди га тенг бўлган тенгламалар билан ифодаланган системалар учун Гурвиц мезонининг шартларини кўриб чиқамиз.

1. 
   
   

Бунда ; турғунлик шарти бўлади. Демак, биринчи тартибли системалар турғун бўлиши учун характеристик тенглама коэффициентларининг мусбат бўлиши етарлидир.

2. 
   .
   

Бунда турғунлик шартлари қуйидагича бўлади:
a₀=0;

Демак, иккинчи тартибли тенглама билан ифодаланган системаларнинг турғун бўлиши учун характеристик тенглама коффициентларининг мусбат бўлиши етарли шарт ҳисобланади.

3. 
   
   

Турғунликнинг зарурий шартлари:
a₀>0;


Шундай қилиб, учунчи тартибли тенглама билан ифодаланган система турғун бўлиши учун характеристик тенглама коэффициентларининг мусбат бўлиши етарли бўлмай, бунда тенгсизликнинг бажарилиши зарур шарт ҳисобланади.
г)
Турғунлик шартлари:
a₀>0;
;
;
.
Тўртинчи тартибли тенглама билан ифодаланган системалар турғун бўлиши учун характеристик тенглама коэффициентларининг мусбат бўлишидан ташқари яна икки шартлар бажарилиши керак.
Характеристик тенгламанинг даражаси «n» ортган сари юқоридаги каби бажарилиши керак бўлган шартлар ҳам кўпайиб боради. Шунинг учун турғунликнинг Гурвиц мезонининг n≤4 бўлган системалар учун қўллаш мақсадга мувофиқ бўлади.
Мисоллар:


1. 12p³+10p²+8p+10=0 характеристик тенглама берилган бўлсин.
Бунда a₀=12>0, a₁=8>0,
a₂=10>0, a₃=10>0
Гурвиц мезонининг етарли шарти бажарилган. Энди зарур шартини аниқлаймиз. Бунинг учун

Нолдан кичик бўлганлиги сабабли система нотурғун бўлади.
.


2. 0.1p⁴+6p³+4p²+p+4=0 тенглама берилган бўлсин.
Бунда a₀=0.1>0, a₁=6>0, a₂=4>0,
a₃=1>0, a₄=4>0.


=а₁a₂-а₀a₃=6*4-0.1*1=24-0.1=23.9>0;
=1*23.9-2²*4=23.9-16=7.9>0.
=4*7.9=31.6>0.
Гурвиц мезонининг етарли ва зарурий шарти бажарилганлиги сабабли система турғун ҳисобланади.

1. 
   3p⁵+10p⁴+5p³-7p²+p+100=0 тенглама берилган бўлсин.
   

Бунда a₀=3>0, a₁=10>0, a₂=5>0,
a₃=-7<0, a₄=1>0, а₅=100>0.
a₃=-7 манфий ишорали бўлганлиги сабабли Гурвиц мезонининг зарурий шарти бажарилмаяпти. Шунинг учун бу система нотурғун.