9-Ma’ruza. Matritsa tushunchasi. Matritsani elementar almashtirishlar. Matritsanu ustun va satr ranglari. Ushbu tenglik berilgan bo`lib, bu tenglikdagi xaqiqiy sonlar ma`lum, xaqiqiy sonlar esa noma`lum bo`lsa

Xar qanday tenglamalar tizimi biror zinapoya tizimga teng kuchli.
Isbot. Natijaning isboti 2- va 3- teoremalardan kelib chiqadi.
Bu natijadan foydalanib, ixtiyoriy chiziqli tenglamalar tizimini unga teng kuchli bo`lgan zinapoya tizimga keltirib olib, bevosita echamiz.
Ixtiyoriy n ta noma`lumli 5 ta chiziqli tenglamali ( ) tizim berilgan bo`lsin. A va A' mos ravishda bu tizimning koeffitsientlari matritsasi va kengaytirilgan matritsasi bo`lsin. Bu tizimni chekli sondagi elementar almashtirishlar yordamida biror ( ) zinapoya ko`rinishga keltiramiz. va mos ravishda ( ) tizimning koeffitsientlari matritsasi va kengaytirilgan matritsasi bo`lsin. U xolda A p ta ustunli va S ta satrli zinapoya matritsa bo`ladi. esa matritsa ustunlarini o`z ichiga olgan ta ustunli va ta satrli zinapoya matritsa bo`ladi.
A ning nol’dan farqli satrlari soni r ga teng bo`lsin. Uning bosh ustunlarining nomerlari mos ravishda bo`lsin. U xolda quyidagi ikki xolni ayrim ko`ramiz:

1. 
   ya`ni satrda nol’dan farqli yagona element bo`lib, -ustunda yotadi;
   

2) .
Birinchi xol, ya`ni ushbu tenglik o`rinli bo`lsin deb faraz qilamiz. U xolda r-tenglama quyidagi ko`rinishda bo`ladi:

ya`ni bu tenglamaning chap tomonidagi barcha koeffitsientlar nolga teng, ozod xad esa nol’dan farqli. Ammo bunday tenglamaning echimi yo`q, chunki uning chap tomoni xar qanday x₁ x₂, ..., x_p lar uchun nol’ga teng, ammo o`ng tomoni nol’dan farqli. Bundan ( ) tizimning xam echimi yo`qligi kelib chiqadi. 3-teoremaga ko`ra ( ) tizim xam echimga ega emasligi kelib chiqadi. SHunday qilib, xolda ( ) tizim birgalikda emas ekan.
Endi xolni ko`ramiz. Bu xolda ( ) tizim kuyidagi ko`rinishda yoziladi:

bu erda .
Bosh ustunlarga mos keluvchi noma`lum larni