9-laboratoriya ishi mavzu: Aniq integral qiymatini taqribiy hisoblash usullari. Kerakli texnik vositalar

9-LABORATORIYA ISHI

Mavzu: Aniq integral qiymatini taqribiy hisoblash usullari.
Kerakli texnik vositalar:
SHaxsiy kompyuter.
Kerakli dasturiy vositalar:
Matlab dasturlash sistemasi va aniq integrallar qiymatlarini taqribiy hisoblash uchun tuzilgan dasturlar.
Ishning maqsadi: Talabalarni aniq integrallarni to’ѓri to’rtburchak, trapetsiya va Simpson usullari yordamida taqribiy hisoblash algoritmlari bilan tanishtirish va unga Paskal tilida tuzilgan dasturda ishlashga o’rgatish.
Topshiriq.
Quyidagi aniq integrallarni to’ѓri to’rtburchak, trapetsiya va Simpson usullari yordamida hisoblang (n=10).
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12. 13. 14.
15.


Nazariy qism.
Masalaning qo’yilishi: [a,b] oraliqda aniqlangan uzluksiz f(x) funktsiya berilgan bo’lib bizdan quyidagi
(1)
integralni hisoblash talab qilingan bo’lsin. Ba’zi hollarda f(x) funktsiyaning berilishiga qarab bu integralni aniq hisoblashimiz mumkin. Amaliy ishlarda f(x) funktsiya shunday ko’rinishga ega bo’ladiki, (1) integralni aniq hisoblab bo’lmaydi. Bunday hollarda (1) integralni berilgan aniqlikda taqribiy hisoblashga to’ѓri keladi.
Quyida aniq integralni hisoblash uchun bir necha taqribiy usullar, ularning algoritmi va unga mos Paskal algoritmik tilida tuzilgan programmalari keltirilgan.
To’ѓri to’rtburchaklar usuli. x₀=a, x_n=b, n – natural son bo’lsin. Ushbu formulalar yordamida (1) integralni taqribiy hisoblash mumkin:

bu erda x_i=x_i-1+h, y_i=f(x_i), i=1,2,…,n.
To’ѓri to’rtburchak usuli uchun xatolik quyidagicha aniqlanadi:
|I-S|
Aniq integralni to’ѓri to’rtburchak usulida hisoblash uchun Paskal tilida tuzilgan dasturning ko’rinishi:
program turt_bur; uses crt;
var a,b,int:real; n:integer;
function f(x:real):real;
begin
f:= { f(x) funktsiyaning ko’rinishi }
end;
procedure turtburchak(a1,b1:real;n1:integer; var int1:real);
var i:integer; h1,c:real;
begin
h1:=(b1-a1)/n1;
c:=0; int1:=0; c:=a1-h1/2;
for i:=1 to n1 do
begin
c:=c+h1; int1:=int1+f(c)
end;
int1:=int1*h1;
end;
begin
read(a,b,n);
turtburchak(a,b,n,int);
writeln('Integr "=',int:10:4);
end.
Trapetsiya usuli. [a;b] oraliq x_i=a+ih nuqtalar bilan (bu erda i=1,2,…,n; x₀=a, x_n=b, n-natural son) n+1 ta oraliqqa ajratiladi va har bir oraliqda egri chiziqli trapetsiya yuzi taqribiy ravishda to’ѓri chiziqli trapetsiya yuziga almashtirilib, quyidagi taqribiy formulani hosil qilamiz

bu erda I-(1) integralning aniq qiymati, S-(1) integralning taqribiy qiymati, y_i=f(x_i)
Xatolikni baholash: , M=max|f’’(z)| , z[a,b]
Aniq integralni trapetsiya usulida hisoblash uchun Paskal tilida tuzilgan dasturning ko’rinishi:
program trap; uses crt;
var n1:integer; a,b,i1:real;
function f(x:real):real;
begin
f:= { f(x) funktsiyaning ko’rinishi }
end;
procedure trap1(a1,b1:real;N:integer; var int:real);
var i:integer; h,s:real;
begin
h:=(b1-a1)/n;
s:=(f(a1)+f(b1))/2;
for i:=1 to n-1 do s:=s+f(a1+i*h);
int:=s*h;
end;
begin
clrscr;
write('a='); read(a);
write('b='); read(b);
write('N='); read(n1);
trap1(a,b,n1,i1);
writeln('i=',i1:10:4);
end.
Simpson usuli. x₀=a, x_2n=b , y_i=f(x_i), i=1,2,…,n. n- natural son bo’lsin. Ushbu yiѓindi yordamida (1) integralni taqribiy hisoblash mumkin:

Xatoliklar:
, M=max|f^IV(z)|, z[a,b].
Misol. integral qiymatini [1;2] oraliqda n=4 da, trapetsiya formulasi bilan hisoblang:

x₀=1, x₁= x₂= x₃= x₄=2;
;



.
Aniq integralni Simpson usulida hisoblash uchun Paskal tilida tuzilgan dasturning ko’rinishi:
program simpson; uses crt;
var a,b,int1:real; n:integer;
function f(x:real):real;
begin
f:= { f(x) funktsiyaning ko’rinishi }
end;
procedure simps(a,b:real;n:integer;var int:real);
var h,s,s1,s2:real; i:integer;
begin
h:=(b-a)/(2*n);
s1:=0; s2:=0;
s:=f(a)+f(b);
for i:=1 to n do s1:=s1+f(a+(2*i-1)*h);
for i:=1 to n-1 do s2:=s2+f(a+2*i*h);
int:=h*(s+4*s1+2*s2)/3;
end;
begin clrscr;
write('a='); read(a);
write('b='); read(b);
write('n='); read(n);
simps(a,b,n,int1);
writeln('integral=',int1:10:4);
end.