9 3-§. Фазода аффин координаталар системасини алмаштириш

Курс ишининг мақсади. Аффин алмаштиришлар ва уларининг тадбиқини ўрганиш ва амалиётга жорий этиш.
Курс ишининг вазифалари. Курснинг мақсадидан келиб чиққан ҳолда қуйидаги вазифалар белгиланди:

• 
  Аффин алмаштиришлар ва уларининг тадбиқининг асосий тушунчаларини таҳлил қилиш;
  
• 
  Аффин алмаштиришлар ва уларининг тадбиқини ўрганиш бўйича адабиётлар тўплаш, таҳлил қилиш ва уларнинг имкониятлари билан танишиш;
  
• 
  Аффин алмаштиришлар ва уларининг тадбиқини ўрганиш тавсифини ишлаб чиқиш;
  
• 
  Аффин алмаштиришлар ва уларининг тадбиқини ўрганиш метод ва воситаларини яратиш
  

Курс ишининг объекти. Аффин алмаштиришлар ва уларининг тадбиқи мавзусини ўқитиш жараёни.
Курс ишининг предмети Аффин алмаштиришлар ва уларининг тадбиқини ўрганишнинг усул, воситалари ва ўқитиш технологияси.
Курс иши тузилмасининг тавсифи. Курс иши кириш, учта параграф, хулоса, фойдаланилган адабиётлар рўйхати ва иловалардан иборат.


1-§. Аффин алмаштиришлар. Аффин алмаштиришлар группаси ва унинг қисм группалари
Аффин алмаштиришлар
А_п да икки ва пенеп берилган бўлсин. Бу реперлар ёрдамида А_п нинг нуқталари орасида шундай ф мослик ўрнатамизки, ихтиёрий нуқта Б реперда қандай координаталарга эга бўлса, унинг образи Мъ = ф (М) нуқта Бъ реперда худди шундай координаталарга эга бўлсии, равшанки, бу мослик ўзаро бир қийматли бўлиб, А_п ни ўз-ўзига ўтказади, демак, ф бирор алмаштиришдир.
1-таъриф. Юқоридагича аниқланган ф алмашгириш А_н ни аффин алмштирииш деб аталади.
Бу таърифдан кўринадики, аффин алмаштириш бир жуфг аффин реперларнинг берилиши билан тўла аниқланади.
Энди аффин алмаштиришнинг қатор хоссалари билан танишайлик.
1°. ф аффин алмаштиришда вектор шу фазонинг бирор
векторига алмашади, чунки ИВ₂ га асосана десак, М, Н нуқталарнинг образлари ф(М) = Мъ, ф(Н) = Нъ бўлиб, бу нуқталар ҳам А_п га тегишли бўлгани учун уларга мос келган авектор бўлади.
Хусусий ҳолда, ноль вектор яна ноль векторга алмашади.
2°. ф аффин алмаштиришда векторнинг координаталари В қандай бўлса, унга мос келган векторнинг ҳам координаталари Въ да худди шу сонлардан иборат бўлади.
Бу хосса ф нинг таърифи ва 1° дан бевосита келиб чиқади.
3°. ф аффин алмаштиришда икки векторнинг йиғиндисига мос келган вектор қўшилувчи векторларга мос келган векторлар йиғиндисидан иборат, яъни .
Бу хоссанинг ўринли эканлигига ишонч ҳосил қилиш учун координаталар
билан берилгаа векторларни қўшиш қоидасини эсласак ф нинг таърифини эътиборга олсак, кифоядир.
4°. векторга мос келган вектор вектордир.
Бу икки 3°, 4° хоссадан ф алмаштиришда векторга векторнинг мос келиши келиб чиқади, яъни ф да векторларнинг чизиқли комбинатсияси сақланади, демак, чизиқли эркли векторга яна чизиқли эркли векторлар мос келади. Бу хоссаларни ва 4- § даги икки аффин фазонинг изоморфлиги таърифини эътиборга олсак, аффин алмаштиришнинг қуйидаги иккинчи таърифи келиб чиқади.
2 - т а ъ р и ф. А_п фазонинг ўз-ўзига изоморф аксланиши А_н даги аффин алмаштириш деб аталади.
3 - т а ъ р и ф. [ М Н ] кесмани Р нуқта нисбатда бўлса ( яъни бўлса ), у ҳолда сон М, Н, Р нуқталарнинг оддий нисбати деб аталиб, уни одатдагидек кўринишда белгиланади.
Демак, у ҳолда 4-хоссани эътиборга олсак, аффин алмаштиришда нуқта берилган кесмани қандай нисбатда бўлса, унинг образи хам берилган кесма образини шу нисбатда бўлади, деган хулосага келамиз, демак, аффин алмаштиришда уч нуқтанинг оддий нисбати сақланади.
5°. ф аффин алмаштиришда к ўлчовли П_к теккислик яна к ўлчовли текисликка алмашади, яъни текисликнинг ўлчови ф учун инвариантдир.
6°. ф аффин алмаштиришда параллел текисликлар яна параллел текисликларга ўтади.
Бу хосса аффин алмаштиришнинг ўзаро бир қийматли эканлигидан келиб чиқади (буни тўлиқ исботлашни ўқувчига топширамиз).

35-§. Аффин алмаштиришлар группаси ва унинг қисм груопалари

Маълумки, алмаштиришлар тўпламининг группани ҳосил қилиши учун қуйидаги икки шарт бажарилиши керак.

1. 
   Шу тўпламдаги ихтиёрий икки алмаштириш кўпайтмаси (композитсияси) яна шу тўпламга тегишли алмаштириш;
   
2. 
   Шу тўпламдаги ҳар бир алмаштиришга тескари алмаштириш
   ҳам шу тўпламга қарашли.
   

А_п нинг барча алмаштиришлари тўпламини А билан белгилайлик. Бу тўплам бўш бўлмасдан, балки унинг элементлари аввалги параграфдаги муҳокамамизга асосан чексиз кўпдир. А тўпламнинг элементлари юқоридаги икки шартни қаноатлантиришини кўрсатамиз.
Равшанки, ф аффин алмаштириш бўлса, у бир жуфт аффин реперларнинг берилиши билан тўла аниқланади (аффин алмаштириш таърифига асосан) ва, аксинча.
1. Агар ф аффин алмаштириш реперлар билан аниқланган
бўлиб, г аффин алмаштириш реперлар билан аниқланса, у
ҳолда реперлар билан аниқланган аффин алмаштириш берилган аффин алмаштиришлар кўпайтмасидан иборат:
.
2. ф аффин алмаштириш билан аниқланса, билан
аниқланган аффин алмаштириш ф нинг тескариси ф^-1, яъни
.
Демак, А тўплам группа ташкил қилади, уни қисқача аффин группа деб аталади.
Енди алмаштиришлар группасининг инварианта тушунчасини киритамиз. Г бирор алмаштириш группаси бўлиб, Ғ ихтиёрий фигура бўлсин. Г нинг исталган алмаштиришида Ғ фигура бирор Ғъ фигурага алмашганда Ғ нинг Ғъ учун ҳам ўринли бўлиб қоладиган хоссалари Ғ нинг Г группага нисбатан инвариантлари деб аталади. У ҳолда аффин группанинг инвариантлари олдинги параграфдаги хоссаларини эътиборга олсак қуйидагилар бўлади:

1. 
   Ҳар қандай аффин алмаштиришда к ўлчовли текислик яна к
   ўлчовли текисликка ўтгани учун текисликнинг ўлчови А га нисбатан
   инвариантдир. А
   
2. 
   Ҳар қандай аффин алмаштиришда уч нуқтанинг оддий нисбати
   А га нисбатан инвариантдир.
   
3. 
   Аффин алмаштиришда параллел текисликлар яна параллел
   текисликларга ўтгани учун параллеллик муносабати А га нисбатан
   инвариантдир.
   

Бу тушунчаларга асосланиб аффин геометрия нимани ўрганади деган саволга жавоб бериш мумкин.
Аффин геометрия п ўлчовли аффин фазо фигураларининг шундай хоссаларини ўрганадики, бу хоссалар аффин группага нисбатан инвариант бўлади (ёки геометриянинг аффин алмаштиришда фигураларнинг шу алмаштириш группасига нисбатан ўзгармай қоладиган хоссаларини ўрганадиган бўлими аффин геометрия деб аталади).