8. Modul; Elektr zanjirlarda o‘tkinchi jarayonlar

8.Modul; Elektr zanjirlarda o‘tkinchi jarayonlar.
8.1. Mavzu; Elektr zanjirlarda o‘tkinchi jarayonlar.
Reja.
1.O‘tkinchi jarayonlar to‘g‘risida tushunchalar.
2. Kommutatsiyaning birinchi va ikkinchi qonuni.

1.1. Umumiy mahlumotlar

Elektr zanjiridagi jarayonlarning xarakteri (uning rejimi) e(t) va j(t) energiya manbalarining parametrlariga xam, passiv elementlarning (R,L,C) parametrlariga xam bog’liq. Ko’rsatilgan kattaliklar qiymatlarining xar qanday ko’radigan bo’lsak, maolumki, ularda rezistorning qarshiligi, g’altakning induktivligi va kondensatorning sig’imi o’zgarmas bo’ladi, bunday zanjirlarda tok va kuchlanishlarning o’zgarishi faqat energiya manbalarining tok va kuchlanishlari o’zgarganda ro’y beradi. (Bu zanjirning strukturasi va passiv elementlarning o’zgarishi xollarini xam o’z ichiga oladi. Faqat taxlil qilinayotgan zanjirni xar bir etapda aloxida ko’rish lozim). Bunda zanjirdagi o’rtacha energiyaning qiymati printsipial rol o’ynaydi. Agar o’rtacha energiya miqdori o’zgarmas qolayotgan bo’lsa, zanjirda turg’unmas (o’tish) rejimi kuzatilayotgan bo’ladi.
Yuqoridagi taorif bo’yicha o’zgarmas EYuK va toklarning yetarli darajadagi davomiylikdagi taosiri ostida rejim turg’un bo’ladi. Bunday xolat EYuK manbalarining kuchlanishlari va tok manbalarining toklari xoxlangan miqdorda tez, biroq davriy o’zgarayotgan va zanjirdagi o’rtacha energiya miqdori o’zgarmas qolayotganda xam bo’ladi. SHu sababli bunday taosirlar ostidagi zanjirlardagi jarayonlar xam turg’unlar qatoriga kiritiladi, (masalan, garmonik taosirlar ostidagi jarayonlar xam turg’un xisoblanadi). Biroq, agar aniq qilib aytiladigan bo’lsa, rejim faqat cheksiz davom etayotgan bo’lsa, turg’un bo’ladi. Amalda xar qanday xaqiqiy jarayon xamma vaqt, masalan, energiya manbasining ulanishi va o’chirilishi, boshlanishga va yakuniga ega. SHuning uchun jarayonlarni faqat qatoiy aniqlangan vaqt intervallari uchun turg’un xisoblash mumkin.
SHunday qilib, turg’un rejim turg’unmas rejimning xususiy xoli xisoblanadi. Masalaga jiddiy qaralganda xar qanday real qurilmada jarayonlar xamma vaqt turg’un jarayonlardan farq qiladi va baozan ularga yaqinlashadi. SHu sababli o’tish jarayonlarining taxlili katta qiziqish uyg’otadi, buning ustiga bir qator radioelektron va elektrotexnik qurilmalar (masalan, impulps qurilmalar) uchun o’tish rejimi ish rejimi bo’lib xizmat qiladi. Zanjirlar nazariyasida energiya manbalarining xar qanday ulanishlari va topologiya parametrlarining to’satdan o’zgarishlarini, EYuK va toklarning sakrab o’zgarishlarini kommutatsiyalar deb atash qabul qilingan. Umumiy xolda xar bir kommutatsiya ikkita turg’un rejim o’rtasida oraliq bo’ladigan o’tish jarayoniga olib keladi. Real zanjirlarda bunday o’tish birdaniga sodir bo’lmaydi, chunki bu zanjir energetik xolatining o’zgarishini talab qiladi. U esa o’z navbatida zanjir maydonlari elektromagnit energiyasining o’sishi yoki kamayishi bilan bog’langan. Quvvat energiyaning vaqt bo’yicha xosilasi bo’lgani sababli energiyaning sakrab o’zgarishi energiya manbasining fizik nuqtai-nazardan mumkin bo’lmagan cheksiz quvvatga ega bo’lishini talab qiladi. Energiya manbalarining cheklangan quvvati o’tish jarayoni nazariy jixatdan cheksiz davom etishidan darak beradi. Amalda, qisqa vaqt, sekundning bo’laklari bilan o’lchanadigan davr ichida tok va kuchlanishlarning qiymatlari turg’un qiymatlarga shunchalik yaqinlashadiki, o’tish jarayonlarini tugallangan deb xisoblash mumkin.
O’tish jarayonlarining taxlili turg’un jarayonlarnikidan ancha murakkabroqdir. Turg’un rejimda tok va kuchlanishlarni aniqlash uchun taxlil qilinayotgan zanjir sxemasidagi jarayonlarni ifodalovchi algebraik tenglamalarni yechish yoki differentsial tenglamalarning xususiy yechimini topish kifoyadir. O’tish rejimida esa tok va kuchlanishlarni topish uchun boshlang’ich shartlarni bilgan xolda, differentsial tenglamalarning to’la yechimlarini aniqlash lozim bo’ladi. O’tish jarayonlarini (turg’un rejimdagi kabi) taxlil qilish ikki bosqichda o’tkaziladi, avvalo o’rinbosuvchi sxema quriladi, so’ngra esa bu sxemadagi jarayonlarni ifodalovchi differentsial tenglamalar tuziladi va yechiladi. Sxemani qurishda ikkita soddalashtirishga yo’l qo’yiladi. Ularning birinchisi rezistorlarning qarshiliklari, kondensatorlarning sig’imlari va g’altaklarning induktivliklari, muammoga jiddiy qaralganda, kommutatsiya paytida tok va kuchlanishlarning keskin o’zgarganligi sababli tok va kuchlanishlarning funktsiyasi ekanligi bilan bog’liq. SHu sababli, o’tish jarayonini aniq ifodalash uchun egri chiziqli differentsial tenglamalarni ishlatish lozim. Lekin passiv elementlarning egri chiziqliligini xisobga olish taxlilni xaddan tashqari murakkablashtirib tashlaydi va shuning uchun o’tish jarayonlarini tadqiq qilishda xamma passiv elementlarning parametrlari o’zgarmas deb qabul qilinadi, yaoni taxlil masalasi chiziqliliga keltiriladi.
Ikkinchi soddalashtirish kommutatsiya jarayonining o’zi bilan bog’langan. Kommutatsiyaning amaldagi jarayoni xar doim cheklangan vaqt oralig’i da sodir bo’ladi. Lekin zanjirlar nazariyasida xaqiqiy sharoitlardan chetlanib, kommutatsiya bir onda sodir bo’ladi deb faraz qilinadi, yaoni kommutatsiya momenti o’tish jarayonining boshlanishi (t=0) deb qabul qilinadi va kommutatsiya boshlanishidan oldingi momentdagi qiymati , va kommutatsiyadan keyingi momentdagi u yoki bu tok (kuchlanishning) , qiymatlari eslab qolinadi. Undan tashqari, kommutatsiya kalit yopiq bo’lganda, qarshiligi nulga, kalit uzuq bo’lganda, qarshiligi cheksizlikkacha teng bo’lgan ideal kalitlar – ikkiqutblilar yordamida amalga oshiriladi deb qabul qilinadi. Nixoyat o’tish jarayonlarini taxlil qilish uchun ishlatiladigan sxemalarni kommutatsiyaga qadar tasvirlash qabul qilingan.
O’tish jarayonlarini xisoblash asosida kommutatsiya qonunlari yotadi. Yig’iq parametrli zanjirlardagi o’tish jarayonlarini taxlil qilishda magnit maydonining energiyasi faqat induktivlik g’altaklari, elektr maydonining energiyasi esa faqat kondensatorlar bilan bog’langan deb qabul qilinadi. Xar qanday real energiya manbasining zanjirga uzatadigan quvvati cheklanganligi sababli, zanjirning yig’ma energiyasi faqat oxistagina o’zgarishi mumkin. SHu sababli, sxemaga o’tish paytida induktiv elementdagi kuchlanish cheksizlikka teng bo’lishi va sig’im elementdan esa cheksiz miqdordagi tok oqib o’tishi mumkin emas deb qabul qilinadi. Demak, induktiv elementning oqimchirmashishi va sig’im elementning zaryadi q vaqt davomida uzluksiz kattaliklarga ega. Kommutatsiya momenti uchun bu xolat zanjir umumiy oqimchirmashishi va umumiy elektr zaryadining vaqt davomidagi uzluksizlik qoidasi degan nom bilan maolum (uni umumlashtirilgan kommutatsiya qonuni deb xam atashadi). Xar bir induktiv elementning oqimchirmashishi va xar bir sig’im elementning zaryadi qiymatlari t=0 kommutatsiya paytida kommutatsiya sodir bo’lishidan oldingi ondagi qiymatlariga teng bo’ladi:


yoki ,
_g’ yoki .

Agar kommutatsiya paytida xususiy induktivliklar va sig’imlar o’zgarmaydigan bo’lsa ( , ) biz bundan keyin faqat shunday xollarni taxlil qilamiz, unda kommutatsiya paytida induktiv elementdan oqib o’tayotgan tok va sig’im elementdagi kuchlanish kommutatsiya sodir bo’lishidan oldingi on qiymatlarini saqlaydilar va so’ngra ayni shu qiymatlardan boshlab o’zgaradilar:

(1.1)
(1.2)
(1.1) va (1.2) ifodalar, birinchi va ikkinchi kommutatsiya qonunlari deb ataladi.
Kommutatsiya qonunlaridan induktiv elementdan oqib o’tayotgan tok va sig’im elementdagi kuchlanishning sakrab o’zgara olmasliklari kelib chiqadi. Biroq induktiv elementdagi kuchlanish, sig’im elementdan oqib o’tayotgan tok xamda rezistiv elementdan oqib o’tayotgan tok va undagi kuchlanish sakrab o’zgarishga «xuquqlarini saqlaydilar».
Umumiy xolda o’tish jarayonlarining taxlili tadqiq qilinayotgan zanjirning xamma shoxchalaridan oqib o’tayotgan toklar va kuchlanishlarning kommutatsiyadan keyingi xoxlangan paytdagi oniy qiymatlarini aniqlashdan iborat. Lekin, ko’pchilik xollarda, asosiy o’zgaruvchi deb atalmish faqat bitta tok yoki kuchlanishning qiymatini topish kerak bo’ladi. asosiy o’zgaruvchining oniy qiymatlarini topish uchun avvalo Kirxgof qonunlari, kontur toklar yoki tugun potentsiallari usuli yordamida t>0⁺ uchun sxema elektr xolatining integrodifferentsial tenglamalar sistemasi tuziladi. So’ngra bu tenglamalar sistemasidan (differentsiallab, integrallab, baozi tenglamalarni o’zgarmas koeffitsientlarga ko’paytirib, bir tenglamadan ikkinchisini ayirib yoki ularni qo’shib) asosiy o’zgaruvchidan tashqari boshqa xamma nomaolum kattaliklar chiqarib tashlanadi va qoldirilgan kattalikka nisbatan n-tartibli differentsial tenglama olinadi:


(1.3)

bu yerda y – asosiy o’zgaruvchi;

- passiv elementlarning parametrlari va mustaqilmas energiya manbalarini boshqarish koeffitsientlari bilan aniqlanadigan o’zgarmas koeffitsientlar; - tadqiq qilinayotgan zanjirga taosir etayotgan tashqi kuchlarni va ularning xosilalarini ifodalovchi funktsiyalarning chiziqli kombinatsiyasi. SHundan keyin (1.3) tenglamaning to’la yechimi axtariladi. U n– ta integrallash doimiylarini o’z ichiga oladi. Bu doimiylarni topish uchun esa boshlang’ich shartlarni bilish kerak. Biroq matematikada fizik sistemadagi boshlang’ich shartlarni aniqlaydigan yagona standart usul yo’q. Bunga yana qo’shimcha, matematikada differentsial tenglama yechimining borligi xaqidagi teoremalarning ko’pchiligi asosida boshlang’ich shartlar ixtiyoriydir yoki umuman «berilgan» degan fikr yotadi, shu sababli amaliy tadqiq qilishlarda boshlang’ich shartlarni aniqlash masalasi paydo bo’ladi. Elektr zanjirlaridagi o’tish jarayonlarini tadqiq qilishda bu masala asosiy o’zgaruvchi va uning (n–1) ta xosilalarining kommutatsiya tugagandan keyingi t=0⁺ payti uchun qiymatlarini aniqlashdan iborat bo’ladi.
Zanjirning kommutatsiya paytidagi energetik xolatidan kelib chiqib masalaning ikki xili: - nulli boshlang’ich shartli va nullimas boshlang’ich shartli masalalar farqlanadi. Agarda elektr zanjiri kommutatsiyadan oldin xech qanday energiya zaxirasiga ega bo’lmasa, (xamma induktivlik g’altaklaridan oqayotgan toklar va xamma kondensatordagi kuchlanishlar nulga teng bo’lsa), u xolda nul boshlag’ich shartli masala ko’riladi:
, .

Agarda kommutatsiyadan oldin zanjir energiya zaxirasiga ega bo’lsa, (mabodo birorta induktivlik g’altagidan oqayotgan tok yoki birorta kondensatorda kuchlanish mavjud bo’lsa), u xolda nullimas boshlang’ich shartli masala ko’riladi:

, .

Yana kommutatsiyalar paytida o’tish jarayonlarining vujudga kelmasligi mumkinligini xam taokidlash kerak. Bu ikki xolda: agar kommutatsiya zanjirning energetik xolatini o’zgartirmaydigan va elektr xamda magnit maydonlarning taosirini xisobga olinmaydigan xollarda bo’lishi mumkin. Ikkinchi xolda tadqiq qilinayotgan zanjir sxemasida faqat rezistiv elementlar bo’ladi va zanjirda yangi turg’un rejim birdaniga kuchga kiradi. Biroq bunday sxemalarni ancha qo’pol yondoshilgan model deb qarash lozim.

Zanjirlar nazariyasida o’tish jarayonlarini taxlil qilishning eng ko’p qo’llaniladigan usullari – bu klassik va operator usullaridir.
Klassik usulda (1.3) differentsial tenglamani matematikada yaxshi maolum bo’lgan usul bilan bevosita yechish amali bajariladi. Operator usulda xuddi kompleks sonlar usuliga o’xshab avvalo (1.3) differentsial tenglama to’g’ri integral o’zgartirish yordamida tasvirlar soxasidagi algebraik tenglamaga o’tkaziladi. Keyin qidirilayotgan tok yoki kuchlanishning tasviri – algebraik tenglamaning yechimi topiladi. SHundan so’ng orginal (xaqiqiy funktsiya) lar soxasiga qaytiladi.
Agar shakli bo’yicha murakkab toklar va EYuK lar taosir qilayotgan zanjirlardagi o’tish jarayonlari tadqiq qilinayotgan bo’lsa, u xolda ustlash usuli qo’llaniladi va Furpe integrali yoki Dyuamel integralini qo’llab, o’tish jarayoni xisoblanadi.