8-Ma’ruza. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi. Kroneker-Kopelli teoremasi. Reja

8-Ma’ruza. CHiziqli algebraik tenglamalar sistemasi. Kroneker-Kopelli teoremasi.
Reja:
1. та ноъмалумли та чизиқли тенгламалар системаси.
2. Кронекер-Копелли теоремаси.

та ноъмалумли та чизиқли тенгламалардан иборат ушбу

(8.1)

Системани қарайлик, Хусусан, бўлган ҳолда, яъни ноъмалумлар сони тенгламалар сонига тенг бўлган ҳолат дастлабки мавзуларда ўрганилди.

(8.1) системани ўрганишдаги асосий масалалардан бири унинг биргаликда бўлиши, яъни ечимнинг мавжуд бўлиши масаласидир.
Бу эса, (8.1) ситема коэффициентларидан тузилган -тартибли

ҳамда кенгайтирилган матрица деб аталувчи - тартибли матрица деб аталувчи

матрицаларнинг рангига боғлиқдир. Қуйида бу ҳақидаги теоремани исботсиз келтирамиз.
Теорема. (Кронекер - Копелли теоремаси). Тенгламалар системаси биргаликда бўлиши учун ва матрицаларнинг ранглари бир-бирига тенг бўлиши, яъни

бўлиши зарур ва етарлидир.

Келтирилган теоремадан қуйидаги хулосалар келиб чиқади:

1⁰.Агар матрицанинг ранги матрицанинг рангидан катта бўлса, яъни

бўлса, у ҳолда, (8.1) система ечимга эга бўлмайди.

2⁰. Агар матрицанинг ранги матрицанинг рангига тенг
бўлса, у ҳолда (8.1) система ечимга эга бўлиб, қуйидаги ҳолатлар юз беради:

а) да (8.1) система ечимга эга бўлади ва у қуйидагича топилади: эканлигидан шундай нолдан фарқли камида битта -тартибли минор мавжуд. Фараз қилайлик улардан бири

бўлсин.

Энди (8.1) системани бу минорга мос ҳолда ушбу

(8.2)
кўринида ёзиб оламиз ва ноъмалумлар қатнашган ҳадларни ўнг томонга ўтказамиз:
(8.3)

ларни ихтиёрий тайинланган сонлар деб қараб, бу системани ечамиз. (8.3) системанинг ечими нолдан фарқли бўлганлиги учун унинг ечимлари

бўлади.
Демак, ҳар бир тайинланган лар учун (8.3) система ягона ечимга эга бўлиб, сонлар (8.2) системанинг ечими бўлади. лар ихтиёрий қийматни қабул қилиши мумкинлиги сабабли, (8.3) система чексиз кўп ечимга эга бўлади.
Топилган сонлар (8.1) системанинг қолган тенгламаларини ҳам қаноатлантирганлиги учун улар (8.1) системанинг ҳам ечимлари бўлади.
б) бўлганда (8.1) система а) ҳолда айтилганларга асосан ягона ечимга эга бўлади.
Демак, бўлгандагина (8.1) система ягона ечимга эга бўлар экан.


Savollar.
1. та ноъмалумли та чизиқли тенгламалар системаси umumiy ko’rinishi qanday?
2. Кронекер-Корелли теоремасini ayting?